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高中数学数列考试分析与复习应对策略


东莞高级中学高三数学备课组

目录
一、知识结构 二、近三年高考(广东)数列内容分布统计 三、数列新旧大纲的比较 四、考点预测 五、题型示例 六、关于数列应用题 七、2007年高考数学复习策略

数列

一、知识结构
等 差 数 列 数列 等 比 数 列 通项公式 前n项和公式 通项公式 前n项公式 数列的应用

函数思想
函数列
推广 函数 特殊化 一次函数 指数函数 类比 类比

数列
特殊化 等差数列 等比数列

类比

实数

二、近三年高考(广东)数列内容分布统计表
年号 题号 所占分值 重点考察的知识点及知识点交汇情况 所占比例
4 5 12 5 数列求和,数列的极限

2004

17 10

数列与三角的交汇:等比数列的性质, 11.3% 三角变换
递推数列,数列的极限 数列与几何的交汇:在几何问题下归 纳数列的通项公式 等差数列前n项和的性质 数列的通项公式,现实问题中归纳数 列的通项公式 等比数列的前n项和,等差数列的概 念,等差数列的前n项和,数列的 极限 6.7%

2005

14
6 14

5
5 5 14

2006
19

16%

内容

2006年考试大纲

2007年考试大纲(送审稿)

变化分析

理解数列的概念

了解数列的概念
了解数列的几种简单的表示方法 (列表、图像、通项公式) 了解数列是自变量为正整数的一类 函数

数列的概念由“理解”变为“了解”;
①增加了数列的列表和图像表示; ②突出了数列的函数属性 事实上课本35—36页已给出了递推公 式的概念,并明确指出,递推公式也 是数列的一种表示方法;紧接着,例 3给定了递推公式,要求写出这个数 列的前5项 没有变化 没有变化

三 数 列 新 旧 大 纲 的 比 较

数列 的概 念和 简单 表示 法

了解数列通项公式的 意义.

了解递推公式是给出 数列的一种方法,并 能根据递推公式写出 数列的前几项. 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项 公式与前n项和公式

无 (实际上要求并没有变化)

理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前n项和 公式 能在具体的问题情境中,识别数列 的等差关系,并能用有关知识解决 相应的问题 了解等差数列与一次函数的关系 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式 能在具体的问题情境中,识别数列 的等比关系,并能用有关知识解决 相应的问题 了解等比数列与指数函数的关系

等差 数列

能利用等差数列解决 简单的实际问题
无 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项 公式与前n项和公式

没有变化
增加等差数列与一次函数的关系 没有变化

没有变化
没有变化 增加等比数列与指数函数的关系

等比 数列

能利用等比数列解决 简单的实际问题 无

综上可见,新的考试大纲突出了数列的函数属性的考察。

(一)总体预测

四、考点预测

2007年的高考命题既有国家考试中心命题, 同时也有部分省市自主命题,但是他们都必须遵 循《考试大纲》的要求。按照“在考查基础知识的 基础上,注重对数学思想和方法的考查,注重对 数学能力的考查,注重展现数学的科学价值和人文 价值”的原则,确立以能力立意命题的指导思想。 2007年数学科高考题型仍是选择题、填空题、解 答题,整卷设计由易到难,每种题型亦由易到难的编 排方式,以充分发挥三种题型的区分选拔功能。选择 题侧重于双基的考查,同时贯穿数学思想方法的

考查,例如:函数与方程的思想、数形结合的思想、 分类讨论的思想、化归与转化的思想等。对于填空题 而言,可能出现开放题或小综合题,主要表现为多项 选择、试验发现、归纳猜想等问题。对于新内容的考 察将以选择填空题为主,解答题还是以老内容为主, 解答题的考查仍然形式灵活多样,而且内涵及其丰富, 既可在多个层次上考查基本知识、基本技能和基本思 想方法,又能深入地考查数学能力和数学素质(突出 应用意识、创新精神的考察),在知识点的考查上, 解答题将主要集中在以下几个方面命题: ① 三角函数的有关求值计算问题; ② 数学应用题; ③ 立体几何中平行与垂直的证明问题;

④ 平面向量与平面解析几何(椭圆或圆为主)的 综合题; ⑤ 数列函数综合题; ⑥导数的性质及其应用。 在设问方式上,还是以一题多问,层层推进的 方式为主(个别大题不排除各问之间的独立性)。设 问的起点较低,解题的突破口较易,解答题更加注重 在知识网络的交汇点处设计试题。凸现知识在各自的 发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。 从近几年的高考试卷中可以看出,高考对教材 中的新增内容的考察是递进式的,非一步到位的,所 以预测2007年对新增内容,如幂函数、算法、

统计案例、程序框图等难度将不会很大,但肯定会 有所体现,这一命题趋势在今后的高考中将不会有大 的改变。2007年数学高考试题分为必做题和选做题, 必做题考查必考内容,选做题考查选考内容,其中选 做题为填空题,分数约占全卷的4%,考生在试卷给出 的两道选做题中选择其中一道作答. 试卷包括容易题、中等题和难题,以中等题为 主. 试卷的难度系数在0.55左右. 但基础题的题量 将不会改变,难题主要以解答题压轴题的形式出 现,这样更有利于高校选拔优秀人才。

命题趋势预测: ① 选择题或填空题仍以考查等差数列、等比数列的 概念(要注意数列的图表、图像表示)以及基本性质, 同时,也考查数列通项公式的求法,尤其要注意归 纳—猜想题型。 这种利用归纳和类比进行推理的题型在历届的高考 中已经出现过(主要出现在填空题的最后一题,即16 题,如今年的第16题),估计在2007年的高考试题中 会将这种思想方法体现得更加林淋漓尽致.因而,在 复习过程中加大对这种题型的训练是很有必要的. ② 解答题主要考查数列的综合应用为主,可能考到的 题型有:等差数列和等比数列的综合题,与数列相关 的归纳、猜想、证明问题,同时注重在数列与函数、

(二)数列预测

数列与不等式、数列与几何、数列与向量等知识网络 的交汇点命制试题,具有较强的考查思维能力的功能。 ③ 数列中 S n 与a n 的关系一直是高考命题的亮点。要掌 握在如下三种递推关系下,数列通项公式的求法。 S S 即 an?1 ? f (an ),n?1 ? f (S n ) ,n ? f (an )( n ? N ?) 。构造等差或 等比数列是解决此类问题的有效方法。 ④ 求和问题也是常见的试题。等差数列、等比数列以 及可转化为等差、等比数列的求和问题应熟练掌握。另 外,还应掌握一些特殊数列的求和方法,例如错位相减 法、倒序相加法、拆(并)项求和法、裂项求和法。 ⑤ 数列应用题。尤其对于文科来说,概率出解答题的 几率微乎其微,或许预示着应用题的考察将要作一次历 史的回归。

题例1

五、题型示例


等差数列{an }中,a3 ? a4 ? ? ? a2007 ? 4020 , 则a10 ? a2000 ? (

A.1

B.2

C.4

D.8

评析:此题重点考察等差数列的性质,几乎所有学 生都能做出此题,但显然不同水平的学生所采用的 方法是不同的,所用的时间也是不同的,有的学生 可能会选择设出通项公式,整体代换去做,有的同 学可能选择利用“中项”的性质去做,还有的同学 会根据选择题“四选一”答案唯一的特点,利用 “特殊数列(如常数列)法”来做,但这显然是本 题最简洁实用的解法。所以尽管此题简单,但仍然 显示了良好的区分度。

题例2

题型示例

图1

图2

图3

图4

如上图所示,第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的。 记第n个图形的顶点数为 a n (n ? 1,2,3,........) , 则 a 2005 = 。 解:由图易知:

a1 ? 12 ? 3 ? 4, a2 ? 20 ? 4 ? 5, a3 ? 30 ? 5 ? 6, a4 ? 42 ? 6 ? 7,
从而易知,

an ? (n ? 2)(n ? 3) (n ? 1,2,3......) ? a2005 ? 2007 ? 2008 ? 4030056

题型示例
评析:求解几何计数问题通常采用“归纳—猜 想—证明”解题思路。本题也可直接求解。第n个 图形由第n+2边形“扩展”而来的,这个图形共由 n+3个n+2边形组成,而每个n+2边形共有n+2个顶 点,故第n个图形的顶点数为

an ? (n ? 2)( n ? 3) (n ? 1,2,3......), ? a2005 ? 2007 ? 2008 ? 4030056
解决此类问题需要较强的观察能力及快速探求规 律的能力。因此,它在高考中具有较强的选拔功能。

题例3

题型示例

如图是一个类似“杨辉三角” 1 的图形,第n行共有n个数,且该行 2 2 的第一个数和最后一个数都是n,中 3 4 3 间任意一个数都等于第n-1行与之 a n,1 , a 相邻的两个数的和, n,2 ,....... an,n (n ? 1,2,3,.....) 4 7 7 4 5 11 14 11 5 分别表示第n行的第一个数,第二 .......... .......... .......... .......... .... 个数,…….第n 个数。 。 a n, 2 (n ? 2且n ? N ) 的通项式为 解:由图易知 a2, 2 ? 2, a3, 2 ? 4, a4, 2 ? 7, a5, 2 ? 11,......... . 从而知 {a n , 2 }是一阶等差数列,即

a3, 2 ? a2, 2 ? 2......(1) a4, 2 ? a3, 2 ? 3......( 2) a5, 2 ? a4, 2 ? 4......( 3) .......... .......... .......... . an , 2 ? a( n ?1), 2 ? n ? 1.......( n ? 1)

以上n-1个式相加即可得到:
(n ? 1)( n ? 2) an , 2 ? a2, 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ....... ? (n ? 1) ? 2 (n ? 1)( n ? 2) ? an , 2 ? ?2 2 n2 ? n ? 2 即an , 2 ? (n ? 2且n ? N ) 2

评析:

杨辉三角在选修教材的练习题中出现过, “杨辉三角”型数列创新题也是近年高考 创新题的热点问题。求解这类题目的关键 是仔细观察各行项与行列式的对应关系, 通常需转化成一阶(或二阶)等差数列结 合求和方法来求解。有兴趣的同学不妨求 * 出 aij (i, j ? N ,i 的通项式。 ? j)

题例4 已知函数f(x)满足ax· f(x)=b+f(x)(ab≠0),f(1)=2, 且对定义域中的任意x,有f(x+2)=-f(2-x). (1)求函数f(x)的解析式; (2)若数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}满足:
2 1 2 当 当n=1时,a1=f(1)=2, n ? 2时,S n ? f (a ) ? 2 (n ? 5n ? 2). n

题型示例

试写出数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明( 文科不作要求)。 分析: 对(1),由条件知f(x)与参数a、b有关,这显然 可利用方程的思想来解决,求解(2)的首要问题时 探求an的表达式,一个本能的念头是怎样促使条件

明朗化,显然这只须将 f (a n ) 具体化即可。不难想到在(1)中我们已获得了函数 f(x)的解析式,那么f(an)当然极易写出来了.当我们 获得Sn与an的明显关系式后,便可通过试验、归纳、 猜想出an的表达式,再用数学归纳法证明即可. 解:(1)由ax· f(x)=b+f(x),得(ax-1)f(x)=b. 若ax-1=0,则b=0,这与b≠0矛盾. b f ( x) ? 故 ax ? 1 ? 0 ,于是, ax ? 1 由于f(1)=2,故有2a=b+2 (1) 又 f(x+2)=-f(2-x),
b ?b ? . 即 a( x ? 2) ? 1 a(2 ? x) ? 1 2 1 . 化简得 a ? 2 代入(1)得 b ? ?1,? f ( x) ? 2? x

Sn ?

2 1 ? (n 2 ? 5n ? 2) f ( an ) 2

(2)当 n ?

2 时,将 f (a n ) ?

2 2 ? an

代入 S n ?

2 1 ? (n 2 ? 5n ? 2) f (a n ) 2

1 2 整理得 S n ? a n ? (n ? 5n ? 2). 2 1 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? a2 ? (4 ? 10 ? 2) 2 由于a1=f(1)=2,所以a2=3. 同理可得 a3=4,a4=5. 由此猜想:通项公式为an=n+1,(n∈N*).

下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,a1=2,n+1=1+1=2,猜想正确. (2)假设n=k时,猜想正确,即ak=k+1成立. 1 2 此时必有 Sk ? ak ? (k ? 5k ? 2)则当 n ? k ? 1 时,有
2

1 S k ?1 ? ak ?1 ? [( k ? 1) 2 ? 5(k ? 1) ? 2]. 2 1 故 S k ? 2a k ?1 ? [( k ? 1) 2 ? 5(k ? 1) ? 2] 2 1 2 ? 2a k ?1 ? [( k ? 1) ? 5(k ? 1) ? 2] ? S k 2 1 1 2 2 ? [( k ? 1) ? 5(k ? 1) ? 2] ? (k ? 5k ? 2) ? a k 2 2 1 2 1 2 ? (k ? 7 k ? 8) ? (k ? 5k ? 2) ? (k ? 1) ? 2k ? 4 2 2 ? a k ?1 ? k ? 2 ? (k ? 1) ? 1

即当n=k+1时猜想也正确, ∴ 对一切n∈N,an=n+1.

评析: 探求与函数解析式有关的数列通 项问题,具有一定的综合性.利用求 得的函数f(x)的解析式确定f(an),为 顺利求出an奠定了基础. 数列是一类特殊的函数,因而数 列问题常与函数、方程有关.善于调 用函数与方程的思想研究数列问题, 必将使我们对数列的认识更加全面, 理解更加深刻, 也将更能把握问题的 实质。

六、关于数列应用题
从1993年起,高考数学试题强调了数学的应用 意识,并连续两年在选择题、填空题中出现了应用 题.自1995年起,每年在解答题中均安排了一个应 用题大题,选材贴近生活,有很强的实际意义,而 且解决这些实际问题所用的知识又都是中学数学的 重点内容,因此每年应用题的考察成为试题中的亮 点。 在新教材中,几乎每章都有一定的应用题,考 纲中也明确表示考察学生的应用意识,所有这一切 似乎预示着些什么。对于文科来说,概率明显的弱 化了,这可能意味着近三年来高考应用题的概率一 统天下的局面将被打破。应用题的考察可能会走向 一种历史的回归。今天我们很有必要研究一下往年 应用题考察的方向与发展趋势。

关于数列应用题
年份 实际背景 数学知识 教育功能 难度

1997

全程运输成本问 题

函数、不等式、最值

最优化意识

0.48

1998

污水处理的质量 分数问题

二次函数最值

环保意识

0.37

1999

带钢冷轧问题

等比数列、对数计算

社会实践意识

0.11

2000

西红柿种植与成 本问题

分段函数、最值

经营管理意识

0.30

2001

旅游业的投入产 出问题

数列求和、不等式

投入产出意识

0.47

关于数列应用题
年份 实际背景 数学知识 教育功能 难度 2002 汽车保有量问题 数列与极限 圆的方程、不 等式 环境污染意识 0.41

2003

台风预报问题

关注社会意识

0.42

2004

爆炸点的定位问题

双曲线

南大门人更加 关注突发点定 位问题

0.43

2005

取球问题

概率

问题预测

0.62

2006

运动员射击问题

概率

优化、预测

0.65

备注:1997年—2003年为全国卷,2004年—2006 年为广东卷。

纵观十年高考数学应用(解答)题,由于应 用题的形式、内容、背景的多样性,数学应 用题考察不断呈现多元化的趋势。 已经形成引领中学数学教学向着培养学生的 数学应用意识——市场经济、环境保护、资 源利用、社会服务意识发展,突出的表现在 中学生要建立经济活动中追求最优化的思想, 数学内涵从以函数、数列为主要模型向数学 其他模块(近三年尤其以概率为甚)渗透。

数学来源于实践,又在应用于实践的过程中得到发 展和完善,运用数学知识解决实际问题,既是数学的 起源,又是数学的归宿,也是学习数学的目的所 在.现实中的应用问题千姿百态、千变万化,要体现 数学的应用价值,使数学服务于生产、生活实际,首 先应学会从实际问题中抽象出数学问题.建立适当的 数学模型,然后运用所学过的数学知识解决之.因此, 解数学应用题,需过好三关:文理关、事理关以及数 理关.不少同学因对普通文字语言的阅读理解能力低 而过不了“文理关”;长期闭门读书,不接触(或接 触甚少)社会和生活实际又使一部分学生不明事理而 难过“事理关”;缺乏对普通语言、数学符号语言和 图形语言进行互相转换的能力以及运算能力弱,使不 少考生无法建立数学模型而过不了“数理关”.三关 挡道是近几年数学应用题得分低下的重要原因.

要提高解应用题的水平,首先要提高自己的阅读理解能力, 并注意弄清一些诸如至少、至多;不少于、不大于;增长到、 增长了;都不是、不都是等关键词语的确切含意.因为正确理 解题意是解应用题必须迈好的第一步. 其次,解应用题必须将普通语言翻译成(内隐或外显的)数学 语言.数学语言是数学思维的载体,是解决问题的工具,要提 高数学思维能力,离开娴熟的数学语言是不可思议的.只有提 高语言的运用和转化能力,善于舍弃问题中与此同时数学无关 的非本质因素,抽取出涉及问题本质的数学结构,才能将具体 实际问题准确的转化为数学问题或已知的数学模型. 第三,要注意对运算程序的调控,使运算程序做到合理、简 捷.合理的运算程序能缩短思维的长度,因而它是运算达到准 确、简捷的前提和保证.运算应达到要求是“熟练、准确、合 理、简捷”. 总之,“通”文理、“明”事理、“精”数理,增强应用意识 和提高数学化能力,是提高解数学应用题能力的根本出路.

题例:
某鱼塘养鱼,由于改进了饲养技术,预 计第一年的增长率为200%,以后每年的增长 率是前一年的一半,设原来的产量为a. (1)写出改进饲养技术后的第一年、第二 年、第三年的产量,并写出第n年与第n-1 年(n≥2,n∈N)的产量之间的关系式; (2)由于存在池塘老化及环境污染等因素, 估计每年将损失年产量的10%,照这样下去, 以后每年的产量是否始终逐年提高的?若是, 请给予证明,若不是,请说明从第几年起,产 量将不如上一年.

1 解: 第一年增长2,第二年是2× 2 =……第n年增长 1

(1)设第n年的年产量为 a n ,则a =a(1+2)=3a, 1 a2=a1(1+2× 2 )=6a,a3= a 2 [1+2× ( 1 ) 2 ]=9a, 2 1 n ?1 2?n )(n≥2). an=an-1[1+2× ( ) ]=an-1(1+ 2
1

( ) n ?1= 2 2?n . 率为2× 2

2

(2)设第一年实际产量为b,第n年的实际产量为bn, 9 1 1 9 则b1=a(1+2)×(1- 10 )=3a× , b2=b1(1+2×2 )?
10

10

1 9 1 9 9 b3 ? [1 ? 2 ? ( ) 2 ] ? ,?, bn ? bn?1[1 ? 2 ? ( ) n?1 ] ? ? bn?1 (1 ? 2 2?n ) ? 2 10 2 10 10

即 年提高的,设第n年产量不如上一年,则

bn 4 9 ? (1 ? n ) ? .显然,产量不可能是始终逐 bn ?1 10 2

bn ? 1,? 2 n ? 36,? n ? N *,? n ? 6 即从第6年起,产量不如上一年. bn?1

七、2007年高考数学复习策略
1、注意研究近几年的高考命题方向,认真 研读考试大纲和考试说明,比较新旧大纲的 差异,把握好复习的侧重点,有目的有计划 的开展复习。 2、复习过程以课本为主,以知识模块为主 线开展复习,不能脱离课本仅凭某本参考资 料复习。其实,往往很多高考题都是课本习 题或例题的再加工或者就是原型。从A组题到 B组题,如果课本的每一题都过关,则基本上 可以满足高考的需要了。

3、复习内容以基础知识为主,严格按照新课程标准 要求,有针对性地编写复习资料进行复习。从1999 年开始,高考内容都以基本知识为主,突出了能力 和素质的考查,因此复习过程要严格按照新课程标 准的实施要求对需要掌握的知识强化应用,对只需 一般了解的知识要求掌握基本概念而淡化应用,提 高复习的针对性。事实上,2006年高考广东卷就很 好地体现了这一点,填空和选择题的难度都不高, 大部分考生都能在较短的时间完成,在解答题中一 向被学生认为较难的圆锥曲线综合题和函数应用题 都没有出现,2006年的高考题甚至可以看作是2007 年高考的样题。

4、复习过程尽量以知识体系为主,把同一 知识体系及相关知识结合起来复习。努力 做到知识系统化。 在知识梳理的过程中,要注意提取和 归纳重要的数学思想和数学方法,让学生 站在数学思想和数学方法的高度上来认识 数学问题;同时还要特别注意对易错知识 点的梳理,如:在《数列》一章中最容易 产生错误的知识点有两个: ①已知数列的前n项和Sn,求通项an。学
生只知道会用公式an=Sn-Sn-1去求an,而忘记了这 个公式有一个适用范围,它只适用于当n≥2的情

形,对于n=1时,应该单列求解,a1=S1。 在梳理知识的时候,为了纠正学生的这一 错误认识,可举一些简单的反例,例如, 已知数列{an}的前n项和Sn= 3n ? 2 ,求数 列{an}的通项公式an。学生很容易利用公式 an=Sn-Sn-1求得

an=Sn-Sn-1=

(3 ? 2) ? (3 ? 2) ? 2 ? 3 。
n
n ?1

n ?1

n ?1

学生完成之后,我们反问:a n ? 2 ? 3 对于n=1时适合吗?这时学生就会发现自 己的解答错在什么地方。

②等比数列的求和公式。在学生的头脑中,提到
等比数列的求和公式,他们可以很快闪现出来,就 a1 (1 ? q n ) 他们完全忘记了这个公式的适 是 Sn ? 1? q 用范围

q ? 1 。当 q ? 1 时,等比数列的求和公式
S n ? na1 。为了让学生

a1 (1 ? q n ) 不再是 S n ? ,而是 1? q

纠正这一错误,可设计一些简单的反例。例如:设 等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,已知 2S 5 , S10 , S 20 ? S10 成等比数列,试判断 S 5 , S15 , S10 是否构成等差数列?学生容易给出这个问题的解答:

由 S 210 ? 2S 5 ( S 20 ? S10 ) 得

a1 (1 ? q ) 2a1 (1 ? q ) a1 q (1 ? q ) ? ? ? 2 1? q 1? q (1 ? q ) 1 5 10 5 1 ? q ? 2q ? q ? ? ? S 5 ? S10 ? 2 a1 (1 ? q 5 ) a1 (1 ? q 10 ) a1 ? ? (2 ? q 5 ? q 10 ) ? 1? q 1? q 1? q
2 10 2 5 10 10

2a1 (1 ? q 15 ) 9 a1 9 a1 ? ,2 S15 ? ? ? ? 4 1? q 1? q 4 1? q S 5 ? S10 ? 2 S15 , 所以,S5,S15,S10构成等差数列。

学生得出结论之后,我们反问,当公比 q ? 1时, 所得出的结论还成立吗?此时学生会发现当 q ? 1 S 时, 5 , S15 , S10不构成等差数列。因此上述结论 是片面的,是错误的。通过这样一个过程,让学 生从错误中清醒的做好会收到较好的效果。
5、在复习过程中,要注意 “四化”原则。 ①方法大众化,注重通性通法。 ②题型模型化。 ③答题规范化 ④思维策略化


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