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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体章末知识方法专题小结课件


第一章
空间几何体

章末知识方法专题小结

[重难 记录]

一、几何体的三视图及其应用 1.由几何体的三视图识别几何体 [例1] 如下图,网格纸的小正方形的边长是1,在其

上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的 一条棱的长为________.

[解析]

由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后

的一部分(四棱锥C1—ABCD),还原在正方体中,如上 图.多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线,由正方 体棱长AB=2知最长棱的长为2 3.
[答案] 2 3

2.由几何体的三视图计算几何体的表面积或体积

[例2]

已知某几何体的三视图如图所示,其中正视

图、侧视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接 三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为 ( )

2π 1 A. 3 +2 2π 1 C. 6 +6
[解析]

4π 1 B. 3 +6 2π 1 D. 3 +2

由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱

?4 ? 2? ? 1 1 ? 1 ?1 ? ?3? π 锥,下方是半球,∴V= ×?2×1×1? ×1+ ? ?3 ? 2 ? ? × 2 = 6 3 ? ? ? ? ? ? 2π + ,故选C. 6

[答案] C

[例3]

一个半径为2的球体经过切割后,剩余部分几

何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ________.

1 [解析] 该几何体是从一个球体中挖去 4 个球体后剩余 2 π × 2 3 的部分,所以该几何体的表面积为 4 ×(4π×22)+2× 2 =16π.
[答案] 16π

二、空间几何体的表面积与体积 1.空间几何体的表面积 [例4] 一个直角梯形的上底、下底、高的比为

1:2: 3 ,求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面 积和侧面面积的比.

[解]

如图,设上底面半径、下底面半径、高分别为

x、2x、 3x(x>0),则母线长l= ?2x-x?2+? 3x?2=2x, ∴S上底面=πx2,S下底面=π(2x)2=4πx2,S侧=π(x+2x)· 2x =6πx2. ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为 1:4:6.

[点评]

圆台的轴截面是等腰梯形,作辅助线构造直

角梯形和直角三角形,从而利用直角梯形和直角三角形的 性质求解.

2.空间几何体的体积 空间几何体的体积计算公式在实际生活中有着广泛的 应用,但只记住公式是远远不够的,我们还应把握图形的 内在因素,灵活选择合理的方法加以求解.只有这样才能 把所学到的知识灵活运用到现实生活中,才能有效地解决 一些问题,达到事半功倍的效果. (1)公式法 公式法的思想是:根据题意直接套用体积公式,求出 体积.

[例5] a3 A. 3 a3 C. 6
[解析]

棱长为a的正方体中,连接相邻面的中心,以 ) a3 B. 4 a3 D.12
连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长

这些线段为棱的八面体的体积为(

2 a 为 a的正四棱锥组成,正四棱锥的高为 ,则八面体的体积 2 2 1 2 2 a a3 为V=2× ×( a) ·= . 3 2 2 6

[答案] C

[点评]

内接问题为高考常考内容,注意相接点的位置是

解决此类问题的关键. (2)割补法 割补法的思想是:通过分割或补形将原几何体分割成或补 成较易计算体积的几何体,从而求出原几何体的体积.

[例6]

已知三棱锥A-BCD的表面积为S,其内有半径为r

的内切球O(球O与三棱锥A-BCD的每个面都相切,即球心O 到三棱锥A-BCD每个面的距离都为r),求三棱锥A-BCD的 体积.

[解]

连接AO,BO,CO,DO,则三棱锥A-BCD被

分割成为四个小三棱锥:O-ABC,O-ABD,O-ACD, O-BCD, 并且这四个小三棱锥的顶点都为O,高都为r,底面分 别为△ABC,△ABD,△ACD,△BDC. 故我们有: VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD 1 1 1 1 = S△ABC· r+ S△ABD· r+ S△ACD· r+ S△BCD· r 3 3 3 3 1 1 =3(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)r=3Sr.

[点评]

如果三棱锥A-BCD改为其他棱锥或棱柱、

棱台,只要存在内切球,那么就有与本题类似的结论.

(3)等积变换法 等积变换法的思想是:从不同的角度看待原几何体, 通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理,来求原几何 体的体积.

[例7]

如图所示的三棱锥O-ABC为长方体的一角.其中OA, OB,OC两两垂直,三个侧面OAB,OAC,OBC的面积分别为 1.5 cm2、1 cm2、3 cm2,求三棱锥O-ABC的体积.

[ 解]

设OA,OB,OC的长依次为

x cm,y cm,z cm, 则由已知可得 1 1 1 2xy=1.5,2xz=1,2yz=3. 解得x=1,y=3,z=2. 显然三棱锥O-ABC的底面积和高是不易求出的,

于是我们不妨转换视角,将三棱锥O-ABC看成以C为顶 点,以OAB为底面. 易知OC为三棱锥C-OAB的高. 于是VO-ABC=VC-OAB 1 1 =3S△OAB· OC=3×1.5×2=1 cm3.

[点评]

等积变换法有很广泛的应用,它并不仅仅可

用来求三棱锥的体积.

三、球的问题 [例8] 已知在半径长为2的球面上有A,B,C,D四

点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 ( ) 2 3 4 3 A. 3 B. 3 8 3 C.2 3 D. 3

[解析]

如图,设O为球心,OA,OB,OC,OD四条

线段把四面体ABCD分成四个三棱锥,且三棱锥B-ODC 与A-ODC同底,三棱锥D-AOB与C-AOB同底.在三 3 2 棱锥B-ODC和A-ODC中,底面积为 ×2 = 3,高分 4

别为B到平面ODC的距离与A到平面ODC的距离,只有 AB⊥平面ODC时(下一章会讲到),两距离之和才能取得最 1 2 大值2,所以其体积和最大值为 × 3 ×2= 3 .同理可得 3 3 2 三棱锥D-AOB与C-AOB的体积和的最大值为 3 3 .所以 4 四面体ABCD的体积的最大值为3 3.
[答案] B

[点评]

球与多面体的位置关系问题突出考查了立体

几何的核心能力——空间想象力,在其求解过程中,除了 用到球体与多面体的性质外,还要用到平面几何的知识, 综合性很强,是高考试题命题者青睐的一个考点.求球体 与多面体的组合体问题的关键是将空间问题转化为平面问 题解决.


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