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内蒙古一机一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年内蒙古一机一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1. (5 分)设集合 A={1,3,5},B={3,9},C={1,2},则(A∩B)∪C=() A.{2} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{1,2,3,5,9} 2. (5 分)如图所示的图象对应的函数可能是()

A. C. y=2
x

B. y=( ) 的反函数 D.y=2 的反函数
2 x

x

3. (5 分)已知二次函数 y=x ﹣kx+k+5 在(﹣∞,1]上为减函数,则 k 的取值范围是() A.k≥2 B.k>2 C.k>﹣2 D.k≥﹣2 4. (5 分)三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B. 0.7 <6 <log0.76 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 5. (5 分)f(x)是定义在[﹣6,6]上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式一定成立的() A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2) C.f(﹣1)<f(3) D.f(2)>f(0) 6. (5 分)函数 f(x)=a
x+b 6 0.7

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是()

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0

7. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意实数 x、y,恒有 f(x)f(y)=f(x+y) , 且 f(1)=2,则 f(10)=() A.256 B.512 C.1024 D.2048

8. (5 分)已知集合 A={x|y=log2(x+1)},B={y|y=

,x≥﹣1},则 A∩B=()

A.(﹣∞,2]

B. ?

C.(﹣1,2]

D.(0,2]

9. (5 分)已知是 R 上的奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,当 0≤x≤1 时,则 f(x)=x,则 f(7.5) =() A.0.5 B.1.5 C.﹣0.5 D.﹣1.5 10. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D. 11. (5 分)出租车按如下方法收费:起步价 7 元,可行 3km(不含 3km) ;3km 到 7km(不含 7km)按 1.6 元/km 计价(不足 1km 按 1km 计算) ;7km 以后按 2.2 元/km 计价,到目的地结算 时还需付 1 元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程 12.2km) ,需付车费(精确到 1 元) () A.28 元 B.27 元 C.26 元 D.25 元 12. (5 分)已知函数 f(x)=loga(3﹣ax)在[0,2]上是减函数,则 a 的取值范围是() A. B. C. D.

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13. (5 分)已知集合 A 到集合 B 的映射 f:x→y=2x +1,则 B 中元素 9 在 A 中对应的元素是. 14. (5 分)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(3,1) , 则 =.

15. (5 分)已知

+b=1,则

=.

16. (5 分)当 1<x<2 时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围是.

2

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) . 2 17. (10 分)设集合 U={2,3,a +2a﹣3},A={|2a﹣1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 18. (12 分)求值:lg50+lg2lg5+lg 2. 19. (12 分)已知定义在(﹣1,1)上函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(1﹣a)+f(1 2 ﹣a )<0,如果 f(x)是(﹣1,1)上的减函数,求 a 的取值范围. 20. (12 分)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[﹣2,2]上函数值总小于 2,求实数 a 的取值 范围.
* x 2

21. (12 分)已知函数 f(x)= 求满足 <

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且 f(3)>f(5) , 的 a 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f(x)=loga

是奇函数. (a>0,且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明. (3)当 a>1,x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 与 r 的值.

2014-2015 学年内蒙古一机一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1. (5 分)设集合 A={1,3,5},B={3,9},C={1,2},则(A∩B)∪C=() A.{2} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{1,2,3,5,9} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 按照集合的交集和并集的定义解答. 解:因为集合 A={1,3,5},B={3,9},C={1,2},所以 A∩B={3},

所以(A∩B)∪C{1,2,3}; 故选 C. 点评: 本题考查了集合的运算,交集就是公共元素组成的集合,并集就是所有元素组成的 集合. 2. (5 分)如图所示的图象对应的函数可能是()

A. C. y=2 考点: 专题: 分析: 解答:
x

B. y=( ) 的反函数 D.y=2 的反函数 函数的图象. 函数的性质及应用. 根据指数函数和对数函数的图象和性质即可得到答案. 解:由图象可知函数为减函数,定义域为(0,+∞) ,值域为(﹣∞,+∞)且过定点
x x

x

(1,0) ,故图象符合对数函数的图象,且底数为大于 0 小于的 1 的数,而选项 B:y=( ) 的反函数即为 ,

选故:B. 点评: 本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,属于基础题. 3. (5 分)已知二次函数 y=x ﹣kx+k+5 在(﹣∞,1]上为减函数,则 k 的取值范围是() A.k≥2 B.k>2 C.k>﹣2 D.k≥﹣2 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的对称轴,结合二次函数的单调性,从而得到答案. 解答: 解:∵对称轴 x= ,∴ ≥1, ∴k≥2, 故选:A. 点评: 本题考查了二次函数的性质问题,考查了函数的单调性问题,是一道基础题. 4. (5 分)三个数 0.7 ,6 ,log0.76 的大小关系为() 6 0.7 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B. 0.7 <6 <log0.76 0.7 6 6 0.7 C. log0.76<6 <0.7 D.log0.76<0.7 <6 考点: 指数函数单调性的应用.
6 0.7 2

专题: 计算题;转化思想. 分析: 由对数函数的图象和性质,可得到 log0.76<0,再指数函数的图象和性质,可得 0.7 0.7 <1,6 >1 从而得到结论. 解答: 解:由对数函数 y=log0.7x 的图象和性质 可知:log0.76<0 x x 由指数函数 y=0.7 ,y=6 的图象和性质 6 0.7 可知 0.7 <1,6 >1 6 0.7 ∴log0.76<0.7 <6 故选 D 点评: 本题主要考查指数函数,对数函数的图象和性质,在比较大小中往往转化为函数的 单调性或图象分面来解决.
6

5. (5 分)f(x)是定义在[﹣6,6]上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式一定成立的() A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2) C.f(﹣1)<f(3) D.f(2)>f(0) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由于 f(x)是偶函数,所以 f(1)=f(﹣1) ,结合 f(3)>f(1) ,于是“一定成立的” 的选项为 C. 解答: 解:∵f(x)是偶函数, ∴f(1)=f(﹣1) ,又 f(3)>f(1) , ∴“一定成立的”的选项为 C. 故选 C. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,关键在于准确理解题意,易错点在于题目中没有给出 函数的单调性质,由 f(3)>f(1)错误的认为 f(x)在(1,3)上单调递增,从而认为 B 正确,属于中档题. 6. (5 分)函数 f(x)=a
x+b

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是()

A.a>1,b<0

B.a>1,b>0

C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由单调性可知 a>1,由图象变换可知 b<0. x+b x 解答: 解:由题意,函数 f(x)=a 的图象可看成 f(x)=a 向右平移得到, 故 a>1,b<0; 故选 A. 点评: 本题考查了指数函数的单调性及函数图象变换,属于基础题.

7. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对于任意实数 x、y,恒有 f(x)f(y)=f(x+y) , 且 f(1)=2,则 f(10)=() A.256 B.512 C.1024 D.2048 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)f(y)=f(x+y)反复应用可得 f(10)=f(1) =2 =1024. 解答: 解:由 f(x)f(y)=f(x+y)可得, 2 f(10)=f(9)f(1)=f(8)f(1) =… 10 10 =f(1) =2 =1024, 故选 C. 点评: 本题考查了学生对新知识的接受能力,属于中档题.
10 10

8. (5 分)已知集合 A={x|y=log2(x+1)},B={y|y= A.(﹣∞,2] B. ? C.(﹣1, 2]

,x≥﹣1},则 A∩B=() D.(0,2]

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 分别求解函数的定义域和值域化简集合 A,B,然后直接利用交集运算求解. 解答: 解:A={x|y=log2(x+1)}={x|x>﹣1}, B={y|y= ,x≥﹣1}={y|0<y≤2},

则 A∩B=(0,2]. 故选:D. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域和值域的求法,是基础题. 9. (5 分)已知是 R 上的奇函数,且 f(x+2)=﹣f(x) ,当 0≤x≤1 时,则 f(x)=x,则 f(7.5) =() A.0.5 B.1.5 C.﹣0.5 D.﹣1.5 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数定义与条件 f(x+2)=﹣f(x) ,把 f(7.5)的自变量转化到[0,1]的范围 内即可. 解答: 解:因为 f(x+2)=﹣f(x) , 所以 f(7.5)=﹣f(5.5) ,f(5.5)=﹣f(3.5) ,f(3.5)=﹣f(1.5) ,f(1.5)=﹣f(﹣0.5) , 所以 f(7.5)=f(﹣0.5) . 又 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(﹣0.5)=﹣f(0.5) , 因为 0≤x≤1 时,f(x)=x, 故 f(7.5)=﹣f(0.5)=﹣0.5 故选:C.

点评: 本题考查奇函数的性质 f(﹣x)=﹣f(x) ,及反复应用 f(x+T)=﹣f(x) ,属于基 础题. 10. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题. 分析: 根据函数图象的对称变换,可以将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 并将其关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象. 解答: 解:函数 y=f(|x|)= ,是偶函数,

因此将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 利用函数 y=f(|x|)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的对称变换,其本质是去绝对值符号,属基础题. 11. (5 分)出租车按如下方法收费:起步价 7 元,可行 3km(不含 3km) ;3km 到 7km(不含 7km)按 1.6 元/km 计价(不足 1km 按 1km 计算) ;7km 以后按 2.2 元/km 计价,到目的地结算 时还需付 1 元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程 12.2km) ,需付车费(精确到 1 元) () A.28 元 B.27 元 C.26 元 D.25 元 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 设路程为 x,需付车费为 y 元,则有 y=

,由此能求出

从甲地坐出租车到乙地需付车费.

解答: 解:设路程为 x,需付车费为 y 元,则有

y=



由题意知从甲地坐出租车到乙地, 需付车费:y=13.4+2.2(12.2﹣7)=24.84≈25(元) 故选:D. 点评: 本题考查从甲地坐出租车到乙地需付车费的求法,是基础题,解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用. 12. (5 分)已知函数 f(x)=loga(3﹣ax)在[0,2]上是减函数,则 a 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,a>0,则使复合函数为减函数可知 ,从而求解.

解答: 解:∵a>0 且函数 f(x)=loga(3﹣ax)在[0,2]上是减函数, 则 ,

解得,a∈



故选 A. 点评: 本题考查了对数函数的单调性与复合函数的单调性的应用,属于基础题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A 到集合 B 的映射 f:x→y=2x +1,则 B 中元素 9 在 A 中对应的元素是 ±2. 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意令 2x +1=9,解方程即可. 2 解答: 解:由题意,令 2x +1=9, 解得,x=±2, 故答案为:±2. 点评: 本题考查了映射的概念,属于基础题. 14. (5 分)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(3,1) , 则 =2.
2 2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由图形知,f(3)=1,由此能求出 解答: 解:由图形知,f(3)=1, =f(1)=2. 故答案为 2. .

点评: 本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

15. (5 分)已知

+b=1,则

=3.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,化简 = = ?3 =
b

=3 =3.

1

解答: 解:∵ ∴ =

+b=1, = ?3
b

=

=3 =3,

1

故答案为:3. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,属于基础题.

16. (5 分)当 1<x<2 时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围是(1,2]. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 分析: 根据二次函数和对数函数的图象和性质,由已知当 x∈(1,2)时,不等式(x﹣1) <logax 恒成立, 则 y=logax 必为增函数,且当 x=2 时的函数值不小于 1,由此构造关于 a 的不等式,解不等式 即可得到答案. 2 解答: 解:∵函数 y=(x﹣1) 在区间(1,2)上单调递增, 2 ∴当 x∈(1,2)时,y=(x﹣1) ∈(0,1) , 2 若不等式(x﹣1) <logax 恒成立, 则 a>1 且 1≤loga2 即 a∈(1,2], 故答案为: (1,2]. 点评: 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据二次函数和对数函数的 图象和性质,结合已知条件构造关于 a 的不等式,是解答本题的关键. 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤) . 2 17. (10 分)设集合 U={2,3,a +2a﹣3},A={|2a﹣1|,2},?UA={5},求实数 a 的值. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 根据 CUA?U,可得 a +2a﹣3=5,求出 a 的值,再进行验证,即可求得实数 a 的值. 2 解答: 解:∵集合 U={2,3,a +2a﹣3},CUA={5}, 2 ∴a +2a﹣3=5,∴a=2 或﹣4. 当 a=2 时,A={2,3}符合题意. 当 a=﹣4 时,A={9,3}不符合题意,舍去. 故 a=2. 点评: 本题考查集合的补集运算,考查集合的关系,明确 CUA?U 是解题的关键. 18. (12 分)求值:lg50+lg2lg5+lg 2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数的运算法则求解即可. 解答: 解:lg50+lg2lg5+lg 2 2 =2lg5+lg2+lg2lg5+lg 2 =2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2) =2lg5+2lg2 =2. 点评: 本题考查对数的运算法则,基本知识的考查. 19. (12 分)已知定义在(﹣1,1)上函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,且 f(1﹣a)+f(1 2 ﹣a )<0,如果 f(x)是(﹣1,1)上的减函数,求 a 的取值范围.
2 2 2

2

考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可. 2 2 解答: 解、由 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0 得 f(1﹣a)<﹣f(1﹣a ) , ∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴不等式等价为 f(1﹣a)<f(a ﹣1) , 由于 f(x)是(﹣1,1)上的减函数,
2



,即 0<a<1,

故 a 的取值范围是 0<a<1. 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行 转化是解决本题的关键. 20. (12 分)已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[﹣2,2]上函数值总小于 2,求实数 a 的取值 范围. 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 问题等价于 x∈[﹣2,2]时 f(x)max<2,分 a>1,0<a<1 两种情况讨论,借助指数 函数的单调性可得其最大值. x 解答: 解:要使函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[﹣2,2]上的函数值总小于 2,只要 f(x) x =a (a>0,a≠1)在[﹣2,2]上的最大值小于 2, ①当 a>1 时, ②当 0<a<1 时, 所以 a∈( ,1)∪(1, ) . <2,解得 1<a< <2,解得 ; <a<1;
x

点评: 本题考查指数函数单调性的应用,考查分类讨论思想,属中档题.
*

21. (12 分)已知函数 f(x)= 求满足 <

(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且 f(3)>f(5) , 的 a 的取值范围.

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数在(0,+∞)上是减函数,可以确定 m﹣3<0,再根据的图象关于 y 轴对 称,即可得到 f(x)为偶函数,从而确定 m 的值,构造函数 g(x)=,利用幂函数的性质, 即可列出关于 a 的不等式,求解不等式可以求得 a 的取值范围.

根据幂函数在(0,+∞)上函数值随 x 增大而减小,得到 3m﹣9<0,然后根据函数图象关于 y 轴对称,得到函数为偶函数,确定 m 的值,然后解不等式即可. 解答: 解:解:∵函数 f(x)= ∴m ﹣2m﹣3<0,解得﹣1<m<3, ∵m∈N+, ∴m=1,2, 又∵函数的图象关于 y 轴对称, ∴f(x)为偶函数, 2 ∴m ﹣2m﹣3 是偶数, 2 又 m=1 时,m ﹣2m﹣3=﹣4 为偶数; 2 m=2 时,m ﹣2m﹣3=3 为奇数, ∴m=1, 令 g(x)=x ∴g(x)=x ∵ , 在(﹣∞,0)和(0,+∞)上均为减函数, < ,
2

(m∈N )在(0,+∞)上递减,

*

∴a+1>3﹣2a>0,或 0>a+1>3﹣2a,或 a+1<0<3﹣2a, 解得 a<﹣1,或 <a< , 故 a 的取值范围为{a|a<﹣1 或 <a< ,}. 点评: 本题主要考查幂函数的图象和性质,利用条件求出 m 是解决本题的关键. 22. (12 分)已知函数 f(x)=loga 是奇函数. (a>0,且 a≠1)

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明. (3)当 a>1,x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值域是(1,+∞) ,求 a 与 r 的值. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由函数 f(x)是奇函数,可得出 f(x)=﹣f(x) ,由此方程恒成立,可得出参 数 m 的方程,解出参数的值即可; (2)由于本题中参数 a 的取值范围未定,故应对它的取值范围分类讨论,判断函数的单调性 再进行证明; (3)由题设 x∈(r,a﹣2)时,f(x)的值的范围恰为(1,+∞) ,可根据函数的单调性确定 出两个参数 a 及 r 的方程,解方程得出两个参数的值. 解答: 解: (1)由 f(x)=loga 即 loga +loga =0 是奇函数得 f(﹣x)=﹣f(x)

loga

=0 即 m=﹣1(m=1 舍去)

(2)由(1)得,f(x)=loga

(a>0,a≠1) , ,

任取 x1,x2∈(1,+∞) ,且 x1<x2,令 t(x)=

则 t(x1)﹣t(x2)= ∵x1>1,x2>1,x1<x2 ∴x1﹣1>0,x2﹣1>0,x2﹣x1>0 ∴t(x1)>t(x2) ∴当 a>1 时,loga >loga

=



f(x)在(1,+∞)上是减函数;当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. (3)因为 x∈(r,a﹣2) ,定义域 D=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 1°当 r≥1 时,则 1≤r<a﹣2,即 a>3,…(14 分) 所以 f(x)在(r,a﹣2)上为减函数,值域恰为(1,+∞) , 所以 f(a﹣2)=1,…(15 分) 即 loga =loga =1,即 =a,…(16 分)

所以 a=2+ 且 r=1 …(18 分) 2°当 r<1 时,则(r,a﹣2)?(﹣∞,﹣1) , 所以 0<a<1,这与 a>1 不合, 所以 a=2+ 且 r=1. 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.


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