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第3课时 函数的性质xs


第 3 课时
一.知识梳理

函数的性质

1.函数的单调性:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任 意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ,那么就称函数 y ? f

( x) 在区间 I 上 是单调 ( )函数,区间 I 称为 y ? f ( x) 的 ( )区间.

2.判断函数单调性的常用方法: (1)定义法: (2)图象法: (3)利用复合函数的单调性:

3.关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_ ____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有____ 4.函数的奇偶性: (1)对于函数 f ( x) ,其定义域关于原点对称 : ......... 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为奇函数; 如果______________________________________,那么函数 f ( x) 为偶函数. (2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称. (3)奇函数在对称区间的增减性 ;偶函数在对称区间的增减性 . __的单调性

(4)若奇函数 f ( x) 在 x ? 0 处有定义,则必有 ... f (0) ? 0 二.课前检测 1. 函数 f ( x) ? x 和 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 的递增区间依次是( A. ? ??, 0? , ? ??,1? B. ? ??, 0? , ?1, ?? ? ) D. ? 0, ?? ? , ?1, ?? ? )

C. ? 0, ?? ? , ? ??,1?

2. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ? a 2 ? 4a ? 1? x ? 2 在 ? ??,1? 内单调递减,则 a 的取值范围是( A. ? ?3, ?1? B. ? ??, ?3? ? ? ?1, ?? ? C. ?1, 3? D. ? ??,1? ? ?3, ?? ? )

3. 下列函数中,在其定义域内即是奇函数又是减函数的是(

R f ? x ? ? sin x x ? R R A. f ? x ? ? ? x3 x ? B. C. f ? x ? ? x x ? D . f ( x) ? x
4.若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a=( A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 ) )

5. f ( x) 在 R 上是奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x 2 , 则f (7) ? (
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A. ?2 6. 求证:函数 f ( x) ? x ?

B.2

C.-98

D.98

1 ( x ? 0) ,在区间 (0,1] 上为减函数,且在 [1,??) 上为增函数;拓展: x

对 “对钩函数”的认识。

7. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? ? x ? 1?
1? x 1? x

(2) f ? x ? ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

2 ? ? x ? x ? x ? 0? (3) f ? x ? ? ? 2 ? ? x ? x ? x ? 0?

(4) f ? x ? ? 3 ? x 2 ? x 2 ? 3

8. 判断并证明下列函数的奇偶性: (1) y ?
2x ? 1 2x ?1

(2) y ? lg

1? x 1? x

9.已知定义在 ? ??, ?? ? 上的函数 y ? f ? x ? ,当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? (1)若函数 y ? f ? x ? 是奇函数,当 x ? ? ??, 0 ? 时,求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)若函数 y ? f ? x ? 是偶函数,当 x ? ? ??, 0 ? 时,求函数 y ? f ? x ? 的解析式;

10. 奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 5 ? x ? ? 1 ,求 f ? x ? 在 R 上的解析式;

11.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ?

?2 x ? b 是奇函数,求 a , b 的值; 2 x ?1 ? a

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?3 ? ?3 ? 12.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对于 ?x ? R, 都有 f ? ? x ? ? ? f ? ? x ? 成立。 ?2 ? ?2 ?

(1)证明 f ( x) 是周期函数,并指出周期;(2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f ? 3? 的值。

13. 设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于 ( A . 0.5 ) B. ? 0.5 C. 1.5 D. ? 1.5
1 ,若 f ?1? ? ?5, f ? x?

14. 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? 则 f ? f ? 5 ? ? ? __________。

作业: 1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( A . (??, 2] ). C. [3, ??) ). C. D. (??,3]

B. [2, ??)

2.在区间(0,2)上是增函数的是( A.

y=-x+1

B.

y= x

y= x2-4x+5
).

D.

y=

2 x

3.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是( A. (??,0],(??,1] B. (??,0],[1, ??)

C. [0, ??), (??,1]

D. [0, ??),[1, ??) ).

4.已知 f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 ,则 F ( x) 是 R 上的( A.增函数 B.减函数 . . C.先减后增

D.先增后减

5.函数 y ? 3x ? 2 ? x 的最大值是 6.已知 f ( x) ?

3x , x ? [4,6] . 则 f ( x) 的最大值与最小值分别为 x?3

7.已知函数 f (x)= x2-2x+2,那么 f (1),f (-1),f ( 3 )之间的大小关系为 : 8.函数 f(x)=x3+sinx+1 A.3 ( x?R B.0 ),若 f(a)=2, 则 f(-a)的值为 ( C.-1
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)

D.-2

9.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 10.定义在[-2,2]上的偶函数 g ( x), 当x ? 0 时, g ( x) 单调递减,若 g (1 ? m) ? g (m) ? 0, 则实 数 m 的取值范围是 。
4 ,且当 x ? [?3,?1] 时 n ? f ( x) ? m 恒成 x 4 3

11.己知 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 立,则 m ? n 的最小值是( A
1 3

)
2 3

B

C

1

D
3

12. 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f ( 1 ) ? 2 , 则不等式 f (log 1 x) ? 2 的解集为___
8

· 2 ?a?2 13. 若 f ( x) ? a 为奇函数,则实数 a =___ x
x

2 ?1

. ;

14. 如已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是___

15. 若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4) 上是减函数,那么实数 a 的取值范围 是 ;

16. 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范 围。 17. 函数 y ? log 1 ? ? x 2 ? 2 x ? 的单调递增区间是________。
2

18.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

4 ? ,则该函 19.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??,

数的解析式 f ( x) ?

. ( )

20.关于函数 f ( x) ? 3 x ? 3? x ( x ? R), 下列三个结论正确的是:

(1) f ( x) 的值域为 R,(2) f ( x) 是 R 上的增函数,(3) ?x ? R, f (? x) ? f ( x) ? 0 成立. A. (1)(2)(3) B. (1)(3) C. (1)(2) D. (2)(3)

21 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x)满足f (? x) ? ? f ( x ? 4), 当x ? 2时, f ( x) 单 调 递 增 , 如 果
x1 ? x2 ? 4, 且( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值





A.恒小于 0

B.恒大于 0

C.可能为 0

D.可正可负

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