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第二章


第二章_随机变量及其分布 例 1 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目. 如果 成功,一年后可获利 12%;一旦失败,一年后将失去全部 资金的 50%.下边是过去 200 例类似项目开发的实施结 果: 投资成功:192 次;投资失败:8 次. 则该公司一年后估计可获收益的期望是 (万元). 解析:获得收益 ξ 的概率分布为:

例 4(2009 山东卷理)在

某校组织的一次篮球定点 投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球 得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之 和超过 3 分即停止投篮, 否则投第三次.某同学在 A 处的 命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择 先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投 篮训练结束后所得的总分,其分布列为

(1)求 q 2 的值; Eξ=

3 192 5 8 ? × ? 0.476(万元). × 5 200 2 200

(2)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (3) 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分 与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小. 解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投 中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25,

例 2(2009 年安徽卷)某地有 A、B、C、D 四人先 后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯 定是受 A 感染的.对于 C,因为难以断定他是受 A 还是 受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是

1 1 .同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 .在 2 3
这种假定之下,B、C、D 中直接 受 A 感染的人数 X 就是 .. 一个随机变量. 写出 X 的分布列 (不要求写出计算过程) , 并求 X 的均值(即数学期望). 分析一:X 的所有可能取值为 1,2,3.

P( A) ? 0.75 ,P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 .根据分布列
知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 )2 =0.03, 所以 1 ? q2 ? 0.2 ,q 2 =0.8. (2) 当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

1 2 1 ? ? ; 2 3 3 1 2 1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? ? ? ; 2 3 3 2 2 1 1 1 P( X ? 3) ? ? ? . 2 3 6 P( X ? 1) ?
例 3 某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下:

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75q 2
( 1 ? q2 )× 2=1.5q 2 ( 1 ? q2 )=0.24. 当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 )2 =0.01, 当 ? =4 时,P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22 =0.48, 当 ? =5 时,P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)
? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数 作为他的成绩,记为 ? . (1)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (2)求 ? 的分布列. 解:( 1 )求该运动员两次都命中 7 环的概率为

P(7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04;
(2) ? 的可能取值为 7、8、9、10.



P(? ? 7) ? 0.04;

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21; P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39 ; P(? ? 10) ? 2 ? 0.2 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.36

? 表示,.椐统计,随机变量 ? 的概率分布如下:

例 5

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用

(Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互 不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的 概率. 解 : ( Ⅰ ) 由 概 率 分 布 的 性 质 知 ,

0.1 ? 0.3 ? 2a ? a ? 1? a ? 0.2 则 ? 的分布列为:

例6 (2008 年广东卷) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得 的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品 率降为 1%,一等品率提高为 70%.如果此时要求 1 件 产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多 少? 解:( 1 ) ξ 的所有可能取值有 6 , 2 , 1 ,- 2 ;

P(? ? 6) ?

126 50 ? 0.63 , P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1 , P(? ? ?2) ? ? 0.02 . 200 200

故 ξ 的分布列为:

E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 1.7 .
(Ⅱ)设事件 A 表示“2 个月内共被投诉 2 次”, 事件 A 1 表示“2 个月内有一个月被投诉 2 次,另一个月 被投诉 0 次”,事件 A2 表示“2 个月内每个月均被投诉 1 次”,则由事件的独立性可得:
1 P( A1 ) ? C2 P(? ? 2)P(? ? 0) ? 2 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.08 ;



2



E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 ;
(3)设技术革新后的三等品率为 x,则此时 1 件产品的 平均利润为:
E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)

P( A2 ) ? [ P(? ? 1)]2 ? (0.3)2 ? 0.09 ;

依题意,E(x)≥4.73,即 4.76-x≥4.73,解得 x≤0.03.所 以三等品率最多为 3%.

P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17 .
故该企业在这两个月共被投诉 2 次的概率为 0.17.


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