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高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结


高中数学必修 1 知识点
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法
N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Q 表示有理数集, Z 表示整数集,

R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M

的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ? ).

【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A
A? B

性质

示意图

(2) ? ? A A 中的任一元 素都属于 B (3)若 A ? B 且 B ? C ,则
A?C
A(B)
B A

子集

(或
B ? A)



(4)若 A ? B 且 B ? A ,则
1

A?B

(1) ?? A (A 为非空子 A?B 真子 集
?

?

A ? B ,且 B

集)
B A

(或 B

? A)
?

中 至 少 有 一 (2) 若 A ? B 且 B ? C ,则 ? ? 元素不属于 A A? C
?

A 中的任一元 集合 相等
A?B

素都属于 B, (1)A ? B
A(B)

B 中的任一元 (2)B ? A 素都属于 A

(7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2n 个子集,它有 2 n ? 1 个真子集,它有
2 n ? 1 个非空子集,它有 2n ? 2 非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 (1) A ? A ? A
A ? B {x | x ? A, 且
x ? B}

示意图

(2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A
A? B ? B
A B

交 集

⑷ Α?B?A∩B=A

2

(1) A ? A ? A
A ? B {x | x ? A, 或
x ? B}

(2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A
A? B ? B
A B

并 集

⑷A ? B ? A ∪ B = B ⑴ (?uA) ∩ A = ?, 补 集 ⑵ ?uA ∪ A = U, ?uA {x | x ?U , 且x ? A} ⑶ ?u ?uA = A, ⑷ ?u A ∩ B = ?uA ∪ ?uB , ⑸ ?u(A ∪ B) = (?uA) ∩ (?uB) ⑼ 集合的运算律: 交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律: A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) 0-1 律: ? ? A ? ?, ? ? A ? A,U ? A ? A,U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律:A∩?uA = ? A∪CuA=U ?uU = ??u? = U ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB)

反演律:?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB)

第二章函数
§1 函数的概念及其表示

一、映射 1. 映射: 设 A、 B 是两个集合, 如果按照某种对应关系 f, 对于集合 A 中的元素, 在集合 B 中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作. 2.象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的叫 做象,叫做原象。
3

二、函数 1.定义:设 A、B 是,f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射,则映射 f:A→B 叫做 A 到 B 的,记作. 2. 函数的三要素为、 、 , 两个函数当且仅当分别相同时, 二者才能称为同一函数。 3.函数的表示法有、 、 。

§2 函数的定义域和值域
一、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式的集合. 2.常见的三种题型确定定义域: ①已知函数的解析式,就是. ②复合函数 f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数 g(x)的域是外函数 f (x) 的域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合. 二、值域: 1.函数 y=f (x)中,与自变量 x 的值的集合. 2.常见函数的值域求法,就是优先考虑,取决于,常用的方法有:①观察法; ②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧ 有界性法;⑨换元法(又分为法和法) 例如:①形如 y=
1 2? x
2

,可采用法;②y=

2x ? 1 2 ( x ? ? ) ,可采用法或法;③y= 3x ? 2 3
1? x

a[f (x)]2+bf (x)+c,可采用法;④y=x-
可采用法;⑥y=
sin x 2 ? cos x

,可采用法;⑤y=x-

1 ? x2



可采用法等.

§3 函数的单调性

一、单调性 1.定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量 的值 x1、 、x2,当 x1、<x2 时,①都有,则称 f (x)在这个区间上是增函数,而这个 区间称函数的一个 ;②都有,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间 称函数的一个.
4

若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f(x)称为. 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:①;②;③. (2) 导数法,若函数 y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若,则 f (x) 在这个区间上是增函数;②若,则 f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若 f (x), g(x)均为增(减)函数,则 f (x)+g(x)函数; 2.若 f (x)为增(减)函数,则-f (x)为; 3.互为反函数的两个函数有的单调性; 4.复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同, 则 f [g(x)]为,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为. 5.奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区间上的单调性.

§4 函数的奇偶性
1.奇偶性: ① 定义: 如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有, 则称 f (x)为奇函数; 若, 则称 f (x)为偶函数. 如果函数 f (x)不具有上述性质,则 f (x)不具有. 如果

函数同时具有上述两条性质,则 f (x). ② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称;一个 函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称. 2) 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称. 2.与函数周期有关的结论: ①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、或 f ( x ? a) f ( x) ? m ( a 、 m 均为 非零常数, a ? 0 ) ,都可以得出 f ( x) 的周期为; ② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线
x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f ( x) 周期

第三章

指数函数和对数函数
5

§1 §2 1.正整数指数函数

正整数指数函数

指数扩充及其运算性质

函数 y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)叫作________指数函数;形如 y=kax(k∈R,

a>0,且 a≠1)的函数称为________函数.
2.分数指数幂 (1)分数指数幂的定义: 给定正实数 a, 对于任意给定的整数 m, n(m, n 互素), 存在唯一的正实数 b,使得 b =a ,我们把 b 叫作 a 的 次幂,记作 b= a n ;
m n
n m

m n

m

(2)正分数指数幂写成根式形式: a = am(a>0);
a (3)规定正数的负分数指数幂的意义是:
? m n

n

=__________________(a>0, m、

n∈N+,且 n>1);
(4)0 的正分数指数幂等于____,0 的负分数指数幂__________. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)aman=________(a>0); (2)(am)n=________(a>0); (3)(ab)n=________(a>0,b>0).

§3 1.指数函数的概念

指数函数(一)

一般地,________________叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 是____. 2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像和性质

a>1

0<a<1

图像

6

定义域 值域 过定点

R (0,+∞) 过点______,即 x=____时,y=____

性 函数值 当 x>0 时,______; 当 x>0 时,________; 质 的变化 当 x<0 时,________ 单调性 是 R 上的________ 当 x<0 时,________ 是 R 上的________

§4
1.对数的运算性质

对数(二)

如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,则: (1)loga(MN)=________________; (2)loga =________; (3)logaMn=__________(n∈R). 2.对数换底公式 logbN= logaN (a,b>0,a,b≠1,N>0); logab

M N

特别地:logab·logba=____(a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1).

§5

对数函数(一)

1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________________叫 做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是________.________为常用 对数函数;y=________为自然对数函数. 2.对数函数的图像与性质 定义 底数 图像

y=logax (a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1

7

定义域 ______ 值域 ______ 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 共点性 图像过点______,即 loga1=0 x∈(0,1)时, x∈(0,1)时, 函数值 y∈______; y∈______; 特点 x∈[1,+∞)时, x∈[1,+∞)时, y∈______. y∈______. 对称性 函数 y=logax 与 y= log 1 x 的图像关于______对称
a

3.反函数 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)和指数函数____________________互为反函 数.

第四章 §1 1.1

函数应用

函数与方程

利用函数性质判定方程解的存在

2.函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根,也就是函数 y=f(x)的 图像与 x 轴的交点的横坐标. 3.方程 f(x)=0 有实数根 ?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有________ ?函数 y=f(x)有________. 4.函数零点的存在性的判定方法 如果函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的 函数值符号相反,即 f(a)·f(b)____0,则在区间(a,b)内,函数 y=f(x) 至少有一个零点, 即相应的方程 f(x)=0 在区间(a, b)内至少有一个实数解.

1.2

利用二分法求方程的近似解

1.二分法的概念 每次取区间的中点,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小 区间的方法称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来 _________________________________________________________________ .
8

2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤(给定精确度 ε)

(1)确定区间[a,b],使____________. (2)求区间(a,b)的中点,x1=__________. (3)计算 f(x1). ①若 f(x1)=0,则________________; ②若 f(a)·f(x1)<0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1)); ③若 f(x1)·f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1,b)). (4)继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间 [an,bn] 上, 当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就 是函数 y=f(x)的近似零点,计算终止.这时函数 y=f(x)的近似零点满足 给定的精确度.

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