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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练29


题组层级快练(二十九)
1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站南偏 东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° 答案 B 2.有一长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现要将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为( A.1 千米 C.2cos10° 千米 答

案 C 解析 由题意知 DC=BC=1,∠BCD=160° , ∴BD2=DC2+CB2-2DC· CB· cos160° B.2sin10° 千米 D.cos20° 千米 ) ) B.北偏西 10° D.南偏西 10°

=1+1-2×1×1×cos(180° -20° ) =2+2cos20° =4cos210° . ∴BD=2cos10° . 3.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小 时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° ,另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这艘船的速度是( A.5 海里/时 C.10 海里/时 答案 C OO′ OO′ 解析 如图,A,B 为灯塔,船从 O 航行到 O′, =tan30° , =tan15° , BO AO B.5 3 海里/时 D.10 3 海里/时 )

∴BO= 3OO′,AO=(2+ 3)OO′. ∵AO-BO=AB=10,∴OO′· [(2+ 3)- 3]=10. ∴OO′=5. 5 ∴船的速度为 =10 海里/时. 1 2 4.在某次测量中,在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B,C 间的距离为( )

A. 16 C. 18 答案 D 解析 ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3,

B. 17 D. 19

∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120° =19. ∴BC= 19. 5.某人在地上画了一个角∠BDA=60° ,他从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后,拐弯 往另一边的方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点,我们将该点记为点 N,则 N 与 D 之间 的距离为( A.14 米 C.16 米 答案 C 解析 如图,设 DN=x 米, ) B.15 米 D.17 米

则 142=102+x2-2×10×xcos60° , ∴x2-10x-96=0. ∴(x-16)(x+6)=0. ∴x=16 或 x=-6(舍去). ∴N 与 D 之间的距离为 16 米. 6.如图所示,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是( )

A.10 米 C.10 3 米 答案 D

B.10 2 米 D.10 6 米

解析 在△BCD 中, CD=10, ∠BDC=45° , ∠BCD=15° +90° =105° , ∠DBC=30° , ∵ CDsin45° ∴BC= =10 2. sin30° 在 Rt△ABC 中,tan60° = AB , BC

BC CD = , sin45° sin30°

∴AB=BCtan60° =10 6 米.

7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正 西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶 端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB=100,BC= 3h, 根据余弦定理得( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos60° ,即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 8.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后, 船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________ km. 答案 30 2 解析 如图所示,依题意有: ) B.100 m D.150 m

AB=15×4=60,∠MAB=30° ,∠AMB=45° , 在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理,得 = . sin45° sin30° 解得 BM=30 2(km). 9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15° 的看台的某一列的正前方,从这一列的 第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° , 第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示), 旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.

答案 0.6 解析 在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° , CDsin45° CD=10 6,由正弦定理,得 BC= =20 3. sin30° 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× AB 30 所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). t 50 3 =30(米). 2

10.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

答案 缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船 思路 本例考查正弦、 余弦定量的建模应用. 如图所示, 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等, 若在 D 处相遇,则可先在△ABC 中求出 BC,再在△BCD 中求∠BCD. 解析 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t, 在△ABC 中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC =( 3-1)2+22-2· ( 3-1)· 2· cos120° =6. ∴BC= 6. AC 2 3 2 且 sin∠ABC= · sin∠BAC= · = . BC 2 2 6 ∴∠ABC=45° .∴BC 与正北方向垂直. ∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD 中,由正弦定理,得 BD· sin∠CBD 10tsin120° 1 sin∠BCD= = = . CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船. 11.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标 志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米, ∠C=∠D.

(1)求 AB 的长度; (2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较 低(请说明理由)?较低造价为多少?( 3=1.732, 2=1.414) 答案 (1)7 米 (2)小李的设计建造费用低,86 600 元

解析 (1)在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cosC= = .① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理,得 72+72-AB2 cosD= .② 2×7×7 由∠C=∠D,得 cosC=cosD. ∴AB=7,∴AB 长为 7 米. (2)小李的设计建造费用较低,理由如下: 1 1 S△ABD= AB· BD· sinD,S△ABC= AC· BC· sinC. 2 2 ∵AD· BD>AC· BC,∴S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. ∵AD=BD=AB=7,∴△ABD 是等边三角形,∠D=60° .∴S△ABC=10 3=10×1.732=17.32. ∴总造价为 5 000×17.32=86 600(元). 12.(2015· 盐城一模)如图所示,经过村庄 A 有两条夹角为 60° 的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公 路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M,N(异于村庄 A),要求 PM=PN=MN= 2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

答案 当设计∠AMN=60° 时,工厂产生的噪声对居民影响最小 MN AM 解析 设∠AMN=θ,在△AMN 中, = . sin60° sin?120° -θ? 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120° -θ). 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60° +θ). AP2=AM2+MP2-2AM· MP· cos∠AMP= sin2(θ+60° )- 16 3 sin(θ+60° )cos(θ+60° )+4 3 16 2 4 3 16 sin (120° -θ)+4-2×2× sin(120° -θ)cos(60° +θ)= 3 3 3

8 8 3 = [1-cos(2θ+120° )]- sin(2θ+120° )+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ+120° )+cos(2θ+120° )]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ+150° ),θ∈(0° ,120° ). 3 3

当且仅当 2θ+150° =270° ,即 θ=60° 时,AP2 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 所以设计∠AMN=60° 时,工厂产生的噪声对居民影响最小.

1.为了测量两山顶 M,N 之间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量.A,B,M,N 在同一 个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离.请设计一个方案,包括:①指出 需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤.

解析 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 α1,β1,B 点到 M,N 的俯角 α2,β2;A, B 间的距离 d(如图所示). dsinα2 ②第一步:计算 AM.由正弦定理,得 AM= ; sin?α1+α2? dsinβ2 第二步:计算 AN.由正弦定理,得 AN= ; sin?β2-β1? 第三步:计算 MN.由余弦定理,得 MN= AM2+AN2-2AM×ANcos?α1-β1?. 方案二:①需要测量的数据有:A 到 M,N 点的俯角 α1,β1;B 点到 M,N 点的俯角 α2,β2;A,B 间 的距离 d(如图所示).

dsinα1 ②第一步:计算 BM.由正弦定理,得 BM= ; sin?α1+α2? dsinβ1 第二步:计算 BN.由正弦定理,得 BN= ; sin?β2-β1? 第三步:计算 MN.由余弦定理,得 MN= BM2+BN2+2BM×BNcos?β2+α2?. 2.要测底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ,在 D 点测得塔顶 A 的 仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m,求电视塔的高度. 答案 40 米 解析 如图设电视塔 AB 高为 x,则在 Rt△ABC 中,

由∠ACB=45° ,得 BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB=30° ,∴BD= 3x.

在△BDC 中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos120° . 即( 3x)2=x2+402-2· x· 40· cos120° , 解得 x=40,∴电视塔高为 40 米.


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