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高中数学人教版必修1知识点总结梳理


一 集合 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的对象的全体。 2、集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示: (1)用大写字母表示集合:A,B? (2)集合的表示方法: a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c??} b、描述法:集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合, c、维恩图:用一条封闭曲线的内部表示. 4、集合的分类: (

1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系:(A; 注意:常用数集及其记法: 非负整数集: (即自然数集)N 正整数集: N*或 N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 6、集合间的基本关系 (1) “包含”关系—子集 定义:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集。记作: (或 BA) 注意:有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA (2) “包含”关系—真子集 如果集合,但存在元素 x(B 且 xA,则集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或 BA) (3“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等” ,如果 A(B 同时 B(A 那么 A=B 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (4)集合的性质 ① 任何一个集合是它本身的子集,A(A ②如果 A(B, B(C ,那么 A(C ③如果 AB 且 BC,那么 AC ④有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义

由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 AB(读作‘A 交 B’ ) 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:AB(读作 ‘A 并 B’ ) 全集:一般,若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素,我们就称这个集合为全集,记 作:U 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集)记作,

韦恩图示

性 质 A ∩ A=A A ∩Φ =Φ A ∩B=BA A ∩BA A ∩BB A U A=A A U Φ=A A U B=B U A A U BA A U BB AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ .

二 函数 1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法: (1)解析法: (2)图象法: (3)列表法: 4.函数的基本性质 a、函数解析式子的求法 (1)代入法: (2)待定系数法: (3)换元法: (4)拼凑法: b、定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数大于等于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)零次 幂式的底数不等于零; (5)分段函数的各段范围取并集; (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有

意义的 x 的值组成的集合; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. c、相同函数的判断方法;(定义域一致②对应法则一致 d.区间的概念: e.值域 (先考虑其定义域) 5.分段函数 6.映射的概念 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意:函数是特殊的映射。 7、函数的单调性(局部性质) (1)增减函数定义 (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 取值; 作差; 变形; 定号; 结论. (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其 并集. 8、函数的奇偶性(整体性质) (1)奇、偶函数定义 (2)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (3)利用定义判断函数奇偶性的步骤: a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函 数;若对称,则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x), 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x),则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 首先看函数的定义域 是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. (4)函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值 9、 基本初等函数 一、一次函数 二、二次函数:二次函数的图象与性质,注意:二次函数值域求法 三、指数函数 (一)指数

1、有理指数幂的运算法则 2、根式的概念 3、分数指数幂 正数的分数指数幂的 , (二)指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

定义域 R 定义域 R 值域 值域 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)

四、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作: (— 底数,— 真数,— 对数式) 两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数; 自然对数:以无理数为底的对数的对数. (二)对数的运算性质 如果,且, , ,那么: ·+; -; . 注意:换底公式 (,且; ,且; ) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) ; (2) . (三)对数函数 1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

定义域 定义域 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)

五、幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象 下凸;当时,幂函数的图象上凸; (3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 10、方程的根与函数的零点 (1)函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。 (2)函数零点个数的求法: (代数法)求方程的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的 方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二次函数的零点:判断 (4)二分法可用来求变号零点.


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