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《整式乘法与因式分解》教教学心得


西城区教育研修学院·初一数学研修活动

2014.4.17

第十四章 《整式乘法与因式分解》 教材分析
教院附中 一、本章内容及地位、作用:
整式乘除与因式分解是建立在有理数的运算、 运算律以及整式加减法的基础上, 它是整式运算的重要内容, 是后续学习分式、根式、方程、函数以及进一步学习其 他数学内容的基础,同时也是学

习其他学科不可或缺的数学工具。

宿秀杰

二、课标要求:
(1)了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上 表示) 。 (2) 能进行简单的整式乘法运算 (其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二 次式相乘) 。
2 2 (3)能推导乘法公式:(a+b)( a-b) = a - b ; ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2 2

2

了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算。 (4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是 正整数) 。

三、课时安排
本章教学时间约需 14 课时,具体分配如下: (仅供参考) 14.1 整式乘法 6 课时 14.2 乘法公式 2 课时 14.3 因式分解 3 课时 数学活动 小结 2 课时

四、教学建议
1. 明确重点、突破难点,把握好教学要求 整式的乘法,尤其乘法公式是进一步学习因式分解、分式及其运算的基础,是 第十四章的重点. 在整式的乘除中,单项式的乘法是关键,幂的运算是基础. 乘法公式的结构特征以及字母的广泛含义学生不容易掌握,运用时容易混淆, 因此乘法公式的灵活运用是本章的难点. 要突破这一难点,教学要引导学生分析公 式的结构特征,用通俗易懂的语言揭示公式的本质.
2 2 例如:完全平方公式: ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b 2

b a a b a b

b a

记忆口诀:首平方,尾平方,首尾 2 倍放中央, 首尾同为正,首尾异为负。

1

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课标要求“理解整式乘法的运算法则,会进行简单的整式乘法运算(其中的多 项式相乘仅指一次式相乘) ” ,因此题目的选择避免过繁、过难. 因式分解是一种重要的代数恒等变形,在分式、解高次方程及一些函数问题中 经常使用。因此,因式分解同样是本章重点。作为整式乘法的逆向变形,需要学生 有较强的观察能力与归纳能力,恰当的选择方法也是教学的难点。 例如: (1) 4x 2 ? 16y 2

(2)9x 2 ? 30xy ? 25y 2

(3)a x 2 ? 7ax ? 12a
一提二套,两项式选择平方差,三项式选完全平方或十字相乘 2.重视运算性质和公式的发生和归纳过程的教学 数的运算
归 纳

式的运算性质

整式乘除这部分内容一般都是从特殊到一般,从具体到抽象的过程,学生只有 经历了这样的过程,才能更好地理解、记忆公式. 3. 重视新旧知识的联系,引导学生理解运算法则 一方面,从本质上来说,有理数的乘法、除法和乘方运算法则与整式乘除运算 法则有许多类似之处。在学习式的运算的时候,类比数的运算,可以使学生更好地 理解、掌握运算法则。 另一方面,本章内容自身之间也有着密切的联系。同底数幂乘法、幂的乘方和 积的乘方三种运算,对于理解幂的除法非常有帮助;公式法分解因式完全可以看成 乘法公式的逆用。有意识的做好铺垫,可以为后续学习提供方便。 4.注意纠正学生在运算中的易错点 熟练掌握整式乘除和因式分解这两项基本技能,必然需要一定量的练习。然而 这种练习并不意味着简单机械的重复。引导学生及时发现并改正自己的计算错误, 可以使学生纠正错误认识,正确的理解、运用运算法则,从而提高练习的效率。 ※5.根据学生的实际情况,适当补充一些内容 有一些与本章密切相关的内容,可以酌情加以补充。如:十字相乘法;分组分 解法;如果学生的能力较强,还可以适当添加配方法;立方和、立方差公式等内容。

( x ? p)( x ? q) ? x 2 ? ( p ? q) x ? pq ; (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b 3 ;

(a ? b) 3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3
(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc



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新旧教材对比
新教材 14.1.1 同底数幂乘法 14.1 整式乘 法 练习:第(2)题由底数由 10 变为 ? 第(3)题去掉“—”号 14.1.3 积的乘方 15.1.3 积的乘方
3

旧教材 15.1.1 同底数幂乘法 例题中的底数均为正数

例题中第三题把底数为 2 改为, 底数为 -2

1 2

练习中的底数均为正数

? 1 ? 练习 第(2)题变为计算 ? ? xy ? ? 2 ?
14.1.4 整式的乘法 把整式除法调整到乘法公式前

练习第(2)题

计算

(?2 xy)3
15.1.4 整式的乘法 在乘法公式后, 分为同底数 幂除法,单项式除以单项 式,多项式除以单项式三 节。 每一节后面配有一个课 堂练习。 习题 15.1 在整式乘法后, 无整式除法 的内容。 习题 15.2 15.3 整式的除法移到乘法 公式前 习题 15.3 删去部分习题, 整 合后调到 14.1

同底数幂除法单项式除以单项式, 多项 式除以单项式合并为一节。 将原书课后 练习也合并为一个练习。 对练习题也有 所删减 习题 14.1 新增整式除法练习题 6 大题 新增第 12 题,第 13 题 习题 14.2 原旧教材最后一段变为备注 阅读与 思考 新教材移至整式乘法后

14.3 因 式分解 小结 复习题

14.3.1 练 习 1 增 加 两 个 小 题

(1)ax ? ay, (2)3m x ? 6m y
知识结构图与知识回顾更详细 调整题目顺序,新换 5,10 题 删去 8,10,11 题

五、具体处理建议
14.1 整式的乘法 (一) 幂的运算:在教材中,幂的运算法则的引入过程基本上都体现出了由数到 式逐步推进的过程,是一个由特殊到一般的过程;同时,幂的运算也都退回成乘法 运算的形式,以体现运算的真实含义。
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1.同底数幂的乘法 (1)注意: ①底数可以是数,也可以是式.例如: ?b ? 2a? ?2a ? b? ?b ? 2a?
3 5

②带有负号的幂的运算,先化简符号. 底数相同时,直接运算,再利用负数的偶次方为正,奇次方为负; 例如: (- y) 3 ? (? y) 2 ? (? y) ? (? y) 6 ? y 6 底数不相同时, 利用负数的偶次方为正, 奇次方为负把底数化相同后计算.例如:

(- y) 3 ? y 2 ? (? y) 4 ? ? y 3 ? y 2 ? y 4 ? ? y 9
③法则适用于三个或三个以上的同底数幂的乘除法,即

am ? an ? a p ? am?n? p ? m,n, p为正整数? .
(2)常见的错误 ① a 3 ? a 3 ? 2a 3 ② a 2 ? a 3 = a 6 ;③ a ? a m ? a m ④ ?x

?

2

? ? ?? x?

3

? ? x5

⑤ ? a ? b ? 与 ? b ? a ? 的关系不清.
n n

?a ? b?

n

n ? ? ? ? b ? a ? (n为奇数时) ?? n ? ?? b ? a ? (n为偶数时)

(3)逆用法则常可以简化运算,是本节的难点. 例如:已知 2
x?2

? 6, 求2x ?5的值

例 1 填空:

102 ? 104 =____

(?2) ? (?2) 4 ? (?2) 3 =____

a·a =____
1 3

6

x 2 ? x5 =
1 3

x m ? x3m?1 =
1 3 1 3

2 3 4 例 2 计算: (1) ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ;

(2) ?b ? 2a? ?2a ? b? ?b ? 2a?
3 5
4 3 2 4 5 2 7 (4) x ? x ? x ? 2 x ? x ? x ? x

(3) (2x ? y) ? ( y ? 2x) ? (2x ? y)
2 3
6 4 (5) 5 ? 2 ? 6 ? 2 ?

4

1 ? 27 4

例 3 (1)已知 x

m? n

? x 2n?1 ? x11,且y m?1 ? y5?n ? y6 , 求m, n 的值.

4

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(2)已知 2x ? 2 ? 6, 求2x ?5的值 . (3)已知 3 ? 5 , 3
a a?b

? 35 , 求 3b 的值.

2.幂的乘方及其意义 (1)区分 a ? a ? a
m n m? n

与 (a m ) n ? a mn

(2)遇到负号先化简.
5 例如: (- x 3) ; 4 (- 3xy 2 z 3) 利用负数的偶次方是正的,奇次方是负的化简

符号 (3)推广:[ ( a ) ] =a 例 4 计算: 103
m

m

n

p

mnp

(m,n,p 为正整数).

?

?

5

? ?

?a ?
4

4

?
4 3

?a ?

2



?x ?

?

例 5 计算: (1) [(a ? b) 2 ]3 ; (2) (c 2 ) n ? c n?1 ; (3) a ? (a 2 ) 3 ? (?a 2 ) ; (4) [( x 2 ) 3 ]2 ?3( x 2 ? x 3 ? x) 2 ; (5) 3(a 2 ) 4 ? (?a) ? (a 4 ) 4 ? (a 4 ) 2 ? (?a 3 )(a 2 ) 3

例 6 (1)若 n 是正整数,且 a 2n ? 3,求(a 3n ) 2 ? 8(a 2 ) 2n 的值
10n ?1 ? 5,求10m? n 的值 (2)已知 10m?1 ? 3,

3.积的乘方 进行积的乘方运算时,常见的错误有: 底数为多个因数时,漏掉某个因式的乘方。如 ( xy 2 ) 2 ? xy 4 ; 符号易出现错误,如易忽略“-”号: (? x 3 y) 2 ? ? x 6 y 2 ;

1 1 进行积的乘方时,系数直接与幂指数相乘,如: ( ab3 ) 3 ? a 3b 9 。 2 6
n n n 推广: ? abc ? ? a b c n

? n为正整数 ?
(2)(?3 ?103 )3 ? (?3)3 ? (103 )3 ? _____ (4)(?2x3 ) 4 ? _____
5

例题 7 填空

(1)(xy 2 ) 2 ? ( x) 2 ? ( y 2 ) 2 ? ___

(3)(?5ab) 2 ? (?5) 2 ? (a) 2 (b) 2 ? ___a 2b 2

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(5)若 2 x ?1 ? 16 ,则 x ? ________; (6)若 a 5 ? (a y ) 3 ? a 11 ,则 y = _____. 例 8 计算: (1) (?2ab c ) ;
2 3 3

(2) (?2a n b 3n ) 2 ? (a 2 b 6 ) n ; (4) ? [?(?2a) 2 ]3

(3) (?3x 3 ) 2 ? (? x 2 ) 3 ? (?2x) 2 ? (? x) 3 ;

5 3 例 9 计算: (1) (?0.125) 9 ? (?8)10 ; (2) ( ) 2005 ? (?2 ) 2006 ; 13 5 1 (3) ( ? 105 ) 3 ? (9 ? 103 ) 3 3
(二)整式的乘法 1.单项式与单项式相乘 运算中应当注意: (1)注意系数的计算,尤其是确定系数的符号; (2)相同字母相乘时,利用同底数幂的法则; (3)对于只有一个单项式中出现的字母,应连同它的指数一起写在积里,应特别注 意不能漏掉这部分因式。 (4)三个或三个以上的单项式相乘,法则仍适用。

2 3 2 例 10 计算: (1) (?5a b)( (2) a 3 b 2 ? (? ab 2 ) 2 ; (3) (2 x) 3 ? (?5x 2 y) ? - 3a) ; 3 2 例 11 计算:
(1) (?8ab2 ) ? (?ab) 2 ? (?3abc) ; (2) (4 ? 103 ) ? (?2 ? 102 ) ? (5 ? 104 ) 2 ;

3 1 (3) ? (?2 x 2 y) 2 ? (? xy) ? (? xy) 3 ? (? x) 2 4 3
2.单项式乘以多项式 单项式乘以多项式,实际上是把单项式与多项式乘法问题利用乘法分配律转化 为单项式的乘法。 对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目,要注意运算顺序,也要注意 合并同类项,得出最简结果。 例 12 计算: (1) ? 2ab(a 2 ? 3a ? 1) ; (3) (?3ab)(?5ab) ? 例 13 化简求值:
6

1 (2) (? ab ? 1) ? (2a) 2 ; 2
(4) 2 xy( x 2 ? 3 y 2 ) ? 4 xy(2 x 2 ? y 2 )

2 2 7 ab ( ab ? 2a) ; 3 3

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(1)已知 a 2 b ? 2,求代数式 ?

1 ab(a ? a 3b ? a 5b 2 ) 的值; 2

(2)已知 a ? 2b ? 0,求a 3 ? 2ab(a ? b) ? 4b 3 ? 8 的值。

3.多项式乘以多项式 多项式乘以多项式的运算法则是由一个计算面积的问题引出的。这一类问题在 代数和几何之间建立了联系。后续的乘法公式同样可以利用面积计算加以说明。 易错点: ①符号错误; ②系数和指数出现错误; ③运算时漏项; ④在去括号后,由合并同类项产生的错误. 例 14 计算: (1) (2 x ? 3 y)(3x ? 4 y) ; (2) (2a ? 1)( ?a ? 2) ; (3) (4m ? 5n)(4m ? 5n) ; (4) ( x ? 1)( x 3 ? x 2 ? x ? 1) 例 15 求值: (1)若 x 3 ? 6 x 2 ? 11x ? 6 ? ( x ?1)( x 2 ? mx ? n) ,求 m, n 的值. (2)已知( x ? ay)( x ? by) ? x 2 ? 4xy ? 6 y 2,求代数式的值 3(a ? b) ? 2ab . (3)若 ( x 2 ? nx ? 3)( x 2 ? 3x ? m) 的乘积中不含 x 2 和x 3 项,求 m, n 的值.

(三)整式的除法 1、同底数幂的除法 在本章节的公式中,底数和指数的取值存在着一定要求。由于本章是在整式范 围内讨论问题,所以 a m ? a n ? a m?n 中,要求 m, n 是正整数,且 m ? n ,即 a m?n 是整 式。但在学习了分式后, a m ? a n ? a m?n 中, m, n 在全体整数范围内成立。此外,底 数 a 不能为 0,否则除法没有意义。 在同底数幂的除法与幂的乘法、整式加减的混合运算中,注意运算顺序。

例 16. 填空:
a4 ? a =

(ab) 5 ? (ab) 2 =
107 ? 10 2 ? 103 =
7

(x+y) 7 ? (x+y) 3 =

-a 6 ? ( -a) 3 =

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例 17 计算: (1) ( x 3 ) 5 ? ( x 2 ) 4 ? x 3 ; (2) [( x 4 ) 2 ? ( x 3 ) 2 ] ? [( x 2 ) 2 ? x] ;

3 3 (3) ( )10 ? ( ) 9 ? (? ? 3) 0 4 4
例 18(1)若 ( x ? 2) 0 ? 1 ,则 x 的取值范围________. (2) 若多项式 (m ? 2) x m ? 2 x ? 3( x ? 0) 是一次整式, 则 m 的取值范围是_______.

2.单项式除以单项式,多项式除以单项式 (1)单项式除以单项式的法则;单项式除以单项式实质上是单项式乘法的逆运算。 (2)多项式除以单项式的法则; 运算思路:先将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式,再运用单项式除 以单项式的法则计算,最后把所得的商相加。 例 19 计算 (1) ? 5a 5 b 3 c ? 15a 4 b ; (2) 27x 4 y 5 z 3 ? (?3xy 2 z) ? (?4 x 6 y 3 z 3 ) ? (?2 x 3 z)

1 1 (3) (2a 2 b 2 ? 5ab3 ) ? 2ab ; (4) (0.25a 2 b ? a 3b 2 ? a 4 b 3 ) ? (?0.5a 2 b) 2 6 例 20 计算:
(1) [2(2a 2 ? b) 2 ? (2a 2 ? b)(2a 2 ? b) ? (2a 2 ? b) 2 ] ? (?4a 2 ) ; (2) [(?3x 2 y 4 ) 2 ? x 3 ? 2 x(3x 2 y 2 ) 3 ?

1 2 y ] ? 9x 7 y 8 2

(3) [4( x ? 2) 2 ? 12( x ? 2)( x ? 2) ? 8( x ? 1) 2 ( x ? 2)] ? [4( x ? 2)]
A a D b Q

14.2 乘法公式 (一)平方差公式 平方差公式: (a ? b)(a ? b) ? a ? b
2 2

a E b B G F b H C P

在这里, a , b 既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式。这实际上要求学 生具备一定的整体思想。 抓住公式的几个变形形式利于理解公式。但是关键仍然是把握平方差公式的典 型特征:既有相同项,又有“相反项” ,而结果是“相同项”的平方减去“相反项” 的平方。常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如 (a ? b)(?b ? a) ,利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化:如 (3x ? 5 y)(3x ? 5 y)

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(3)指数变化:如 (m3 ? n 2 )(m3 ? n 2 ) (4)符号变化:如 (?a ? b)(a ? b) (5)增项变化:如 (m ? n ? p)(m ? n ? p) (6)增因式变化:如 (a ? b)(a ? b)(a 2 ? b 2 )(a 4 ? b 4 ) 公式的特征:

( a +

b)

(

a

– b)

= a2 – b2

相同的项 互为相反数的项 例 21 填空:

相同的项 互为相反数的项

?? x ? y ??x ? y ? ? __________; (3x ? ______)(3x ? ______)? 9x 2 ? 4 y 2 ;
(a ? ____)( a ? ____)? (a ? c) 2 ? b 2; (?2x ? 1)(________ _) ? 1 ? 4x 2; ( x ? 2 y)(x ? 2 y) ? (____)? ?4 y 2 ? 2xy; ( x ? 2a)( x ? 2a)(_______) ? x4 ?16a4;
2 2

? 3x ? 2 y ? 5 z ? 1?? ?3x ? 2 y ? 5 z ? 1? ? ? ________ ? ? ? ________ ?
例 22 如图,在边长为 a 的正方形中剪去一个边长 是 b 的小正方形(a>b) ,把剩下的图形拼成一个 梯形,分别计算这两个图形的面积,验证了公式 _______________. (二)完全平方公式 1、完全平方公式: ? a ? b ? ? a ? 2ab ? b
2 2 2

b b b a a

b

b

a

a

a

b a

b a b b

几何解释: 2、 注意 a ①公式中的 a,b 可以是常数,也可以是单项式、多项式.

a

②完全平方公式与平方差公式的综合应用.如计算: ? a ? b ? 2c ?? a ? b ? 2c ? ③幂的运算性质与公式的综合应用.如计算: ? a ? b ? ④几个常用的公式变形:
2

?a ? b?

2

a 2 ? b2 ?? a ? ? b

2

? 2 ab

a 2 ? b2 ?? a ? ? b ? 2 ab
2

?a ? b?

2

? ? a ? b ? ? 4ab
2

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ab ?

? a ? b ? ? ? a 2 ? b2 ? ? a ? b ?2 ? ? a ? b ?2
2

2
2

?

4

?a ? b ? c?

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac

易错点 1:丢掉最后一项系数的平方。 例如 ( x - 4 y) 2 ? x 2 ? 8xy ? 4 y 2 易错点 2:丢掉中间乘积项或漏了系数 2 倍。 例如 (a ? 3b) 2 ? a 2 ? 9b 2 易错点 3:不能正确区分符号特征。 例如 9.982 ? ( 10 ? 0.02) 2 ? 100? 0.4 ? 0.0004? 100.4004 例 23 填空:
x 2 ? 2 x ? ____ ? ?__________ _? ;
2

?; x 2 ? 4 x ? _____ ? ?__________
2

2 _____ ? 2 xy ? y 2 ? ?__________ __ ? (a ? 2b ? 3c) ? __________ __________ ____
2

9 x 2 ? 3xy ? ______ ? ?__________ ___ ? 9 x 2 ? ________ ? 4 y 2 ? ?__________ _ ? ;
2 2

x 2 y 2 ? 2 xy ? _______ ? ?____________ ? _______ ? 4 xy ? 1 ? ?_____________ ?
2

2

例 24 计算: (1) (2a ? 3b) 2 ; (2) (?2a ? b 2 ) 3 ; (3) ( x ? 1)( x ? 1)( x 2 ? 1) ; (4) (a ? b ? 2c) 2 ; (5) ( x ? 例 25 求值: (1)已知 ( x ? y) 2 ? 16 , (x ? y) 2 ? 4,求xy的值; (2)已知 x 2 ? y 2 ? 25,x ? y ? 7,求x ? y 的值。 (3)若 x ? 4 x ? y ? 6 y ? 13 ? 0 ,求 x,y 的值.
2 2
2 2 2 (4)已知 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,求证: a ? b ? c .

1 2 1 (6) (a ? b ? 2c)(?a ? b ? 2c) y) ( x ? y) 2 ; 2 2

※(三)补充公式
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( x ? p)( x ? q) ? x 2 ? ( p ? q) x ? pq ; (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b 3 ;
3 3 2 3 (a ? b) ? a ?3 a b? 3 a 2b ? ; b(a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc

14.3 分解因式 (一)因式分解的意义 因式分解是多项式的一种变形, 与整式的乘法是正好相反, 两者是互逆的关系。 以下问题需要注意: (1) 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式, 这与整式的乘法正好相反。 (2)因式分解要到不能再分解为止。 (3)并不是所有的因式都可以进行因式分解。如 a 2 ? b 2 等不能进行因式分解。 (4)分解因式是恒等变形。 (二)提取公因式法 注意的问题: (1)提公因式式时要提“全”提“净” 。 (2)注意避免分解因式的漏项问题。如 4 x 2 ? 6 xy ? 2 x ? 2 x(2 x ? 3 y) ,漏掉“1” (3)在把含有字母的式子作为公因式提出来时,要注意统一字母的排列顺序。如: m(a ? b) ? n(b ? a) ? m(a ? b) ? n(a ? b) ? (m ? n)(a ? b) 。 (4)如果多项式的首项系数是负数时,一般应先提出“-” ,使括号内的第一项系 数是正数,然后再对括号内的多项式提取公因数。 如: ? 12a 2 b ? 16ab2 ? ?(12a 2 b ? 16ab2 ) ? ?4ab?3a ? 4b? 例 26 分解因式 (1) 9a 2 b ? 3a 2 c 2 ? 6abc ; (2) ? 10x 2 y ? 5xy 2 ? 15xy ; (3) 6a( x ? y) 2 ? 8( y ? x) 3 (4) ? 8a m b 3 ? 12a m?1b 2 ? 16a m?2 b ;

(5) x( x ? y)(a ? b) ? y( y ? x)(b ? a) 例 27 分解因式 (1) ( x ? y)( x ? 1) ? xy ? y 2 ; (2) (ax ? by) 2 ? (bx ? ay) 2

(三)运用公式法 1.平方差公式: a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) 2.完全平方公式: a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2
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3.用配方法对多项式变形,如:

x 4 ? 4 ? ( x 2 ) 2 ? 2 2 ? 4x 2 ? 4x 2 ? ( x 2 ? 2) ? 4x 2 ? ( x 2 ? 2x ? 2)( x 2 ? 2x ? 2)
在学习了多种方法之后,应当注意因式分解的步骤: (1)先看是否可以用提取公因式法分解因式; (2)观察是否可以使用公式; *(3)尝试十字相乘法; *(4)尝试分组分解法; (5)观察是否可以继续分解。 例 28 因式分解 (1) ? 25x 2 y 2 ? 49 ; (2) 1 ? 4ab ? 4a 2 b 2 ; (3) (a ? b) 4 ? 1 ; (4) a 5 ? a ; (5) 8a ? 4a 2 ? 4 ; (6) ? a 4 ? 4a 2 b 2 ? 4b 4 ; (7) a 2 ? 2ab ? b 2 ? 1 例 29 因式分解 (1) (a ? b) 2 ? 4ab (3) ( x 2 ? 2 x) 2 ? 2( x 2 ? 2 x) ? 1
2 2 (5) a ? 1 ? 6ab ? 9b

(2) ( p ? 4)( p ? 1) ? 3 p

(4) x 2 (m ? 2) ? 9 y 2 (2 ? m) (6) 4m 2 ? 4m3 ? m 4 (8) 9x2-y2-4y-4 (10) 4x 2 ? 4xy ? 3 y 2 ? 4x ? 10y ? 3 (12) ( x 2 ? 1) 2 ? 4x 2

(7) ?3x ? y ?2 ? ?x ? 3 y ?2
(9)ax2 ? bx2 ? bx ? ax ? a ? b

(11) (x + y)2 + 4 (x + y) ? 21 (13)(a ?1)(a +1)(a +3)(a + 5) + 16

例 30(1)若 a 2 b 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 2ab ? 2ab ,则 a ? b ? _______. (2)已知 4 y 2 ? my ? 9 是完全平方数,则 m =______.

六、相关练习
一、选择题 1. 下列计算正确的是( A. a m ? a 2 ? a 2 m ) C. x 3 ? x 2 ? x ? x 5 )
2 2 B. ( x ? 3 y )( x ? 3 y ) ? x ? 3 y

B. ( a 3 ) 2 ? a 5

D. a 3n ?5 ? a 5?n ? a 4 n ?10

2. 下列各式中,相等关系一定成立的是(
2 2 2 A. ( x ? 2 y ) ? x ? 2 xy ? y

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2014.4.17

C. (b ? a) 2 (a ? b) 3 ? (a ? b) 5 3. 下列计算正确的是( A. x n ? 2 ? x n ?1 ? x 2 C. x 10 ? x 4 ? x 2 ? x 8 4. 下列计算正确的是( A. ? bx 2 y 3 ? 2 xy 3 ? ?3x C. ?? 2 x 2 y 2 ? ? ?? xy ?3 ? ?2 x 3 y 3
3

D. (?2 x 2 )3 ? ?6 x 6

) B. ?xy ?5 ? xy 3 ? ?xy ?2 D. x 4 n ? x 2 n ? x 3 n ? x 3 n ? 2 ) B. ?? xy 2 ? ? ?? x 2 y ? ? ? y 3
2

?

?

?

?

D. ? ? a 3 b 2 ? ? a 2 b 2 ? a 4

?

? ?

?

5. 下列各式结果正确的是(
2



4 ?4 ? A. 16 ?x ? y ?2 m ?1 ? ? ? y ? x ?m ? ? ?x ? y ? 3 ?3 ?

B. 3xy?a ? b?m?1 ? 2 y?a ? b?m?1 ? 3 x?a ? b?2
2

C. ?x ? 1?2 m ?

1 ?1 ? x ?2 m ?1 ? 1 ?x ? 1? 2 2

D. ?m ? n ?3 x ? 2 y ? ?n ? m ?2 x ?3 y ? ?m ? n ? x ? y 6. 在下列计算中,不能用平方差公式计算的是( A. (m ? n)(?m ? n) C. (?a ? b)(a ? b) B. ( x 3 ? y 3 )( x 3 ? y 3 ) D. (c 2 ? d 2 )(d 2 ? c 2 ) ) 个 : ①a?b = b?a;
3 3



7. 下 列 各 式 中 正 确 的 有 ( ③ ?a ? b ?2 ? ??b ? a ?2 ; ⑥ ?a ? b ?2 ? ?? a ? b ?2 A. 1 B. 2 C. 3



?a ? b?2 ? ?b ? a ?2 ;

④ ?a ? b ? ? ??b ? a ? ;

⑤ ?a ? b??a ? b? ? ?? a ? b??? a ? b? ;

D. 4 )

8. 若 x 2 ? kx ? A. ? 2

1 是完全平方式,则 k 值是( 4
B. ? 1 C. ? 4 D. 1
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9. 如图,在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形 (a ? b) ,把余下的部分剪成一个矩形, 通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一 个等式是( ) B. (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 D. (a ? 2b)(a ? b) ? a 2 ? ab ? 2b 2

A. a 2 ? b 2 ? ( a ? b)(a ? b) C. (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 二、填空题

1. ? x 2 ? (? x) 3 ? (? x) 2 ? __________. 2.分解因式:4mx+6my=_________, x ? 11x ? 12 ? _______ .
2

3. (?a 5 ) 4 ? (?a 2 ) 3 ? ___

____.

4.计算:832+83× 34+172=________. 5.已知 x 2 ? y 2 ? 12,x ? y ? 2,则
x ? y

. ,b= .

6.若 | a ? 3 | ?b 2 ? 2b ? 1 ? 0 ,则 a= 三、计算

1 1. (?2ab2 )(? a 4 b 3 ) 2 2
3. (2x ? y)( x ? y) ? 4( x ? 2 y) 2 5. (a ? b ? c)(a ? b ? c) 四、分解因式
(1) 1 2 x ?4 4

2. (?3x) ? (2 x 2 ? 3x ? 1) 4. ? 4a 3 ? 12a 2 b ? 7a 3b 2 ? ? 4a 2
2

?

? ?

?
2

6. ?2a ? b? ? 2?2a ? b??a ? 2b? ? ?a ? 2b?

(2) x 2 ? 22x ? 121

(3) ? 6 pq ? 9 p 2 ? q 2

(4)2a x 2 ? 4ax ? 2a
五、求下列代数式的值

(5) x n?1 ? 3x n ? 2x n?1

(6)(3x ? y) 2 ? ( x ? 5 y) 2

1. 已知 a ? b ? 3 , ab ? 1 , 求下列各式的值: ① a2 ? b2 ; ② a 2 ? ab ? b 2 ; ③ ( a ? b) 2 . 2.已知 ( x ? y) 2 ? 25 , ( x ? y) 2 ? 9 ,求: xy 与 x 2 ? y 2 的值.
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3.已知 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2x ? 4 y ? 6z ? 14 ? 0 ,求代数式 ( x ? y ? z ) 2008 的值.
2 4.先化简,再求值: (x ? 1 ) ? (x ? 2)(x ? 2) ? 6x 3 ? 3x ,其中 x ? 22x ? 121
2

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