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离散型随机变量的数学期望


离散型随机变量的数学期望

A赌徒

实力相当

B赌徒

A, B两人赌技相同,各押赌注32个金币,规定先胜三局者为 胜,赌博进行了一段时间,A赌徒已胜2局,B赌徒胜1局,发生 意外,赌博中断。

两人该如何分这 64金币?

二、互动探索
1、有12个西瓜,其中有4个重5kg,3个重6kg,5个重7kg,求西 瓜的平均质量。 解:西瓜的平均质量为12个西瓜的总质量除以西瓜的总个数, 即: 5 ? 4 ? 6 ? 3 ? 7 ? 5 73 ? (kg ). 12 12 上式也可以写成:
4 3 5 73 5? ? 6? ? 7? ? (kg ). 12 12 12 12

由上式可知,平均质量等于各个质量乘相应的比例再求和。

2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果
按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?

问题1:混合后,每1kg糖的平均价格为多少?
3 2 1 平均价格为 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23(元 / kg ) 6 6 6

问题2:若在混合糖果中任取一粒糖果,用随机变量 X表示这颗糖果的单价(元/kg),写出X的 分布列。 X 18 24 36

P

3 6

2 6

1 6

合理价格: 18? P( X ? 18) ? 24? P( X ? 24) ? 36? P( X ? 36)

问题3: 作为顾客,买了1kg糖果要付23元,而顾客 买的这1kg糖果的真实价格一定是23元吗?

一、离散型随机变量取值的均值
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P
则称

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。

它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

1、随机变量X的概率分布为:

X P

1
1 4

2

1 4

3 a

4

1 4

求X的数学期望。

2、A、B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产 品时,出现的次品的概率如下表所示: A机床: 次品数X 0 1 2 3

P
B机床: 次品数Y

0.7 0 0.8

0.2

0.06 0.04

P

1 2 3 0.06 0.04 0.1

问:哪一台机床加工质量较好?

3、A, B两人赌技相同,各押赌注32个金币,规定先胜三局
者为胜,赌博进行了一段时间,A赌徒已胜2局,B赌徒胜1局, 发生意外,赌博中断。两人该如何分配这64个金币?

问题3:离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数相 同吗? 期望的计算是从概率分布出发,因而它是概率意义下 的平均值。随机变量X取每个值时概率不同导致了期望不同 于初中所学的算术平均数。 问题4:离散型随机变量X的期望与X可能取值的算术平均数何

时相等?

例1:随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的期望。

X

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

p

1 1 1 1 1 1 7  EX ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 6 6 6 6 6 6 2

1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 7 X可能取值的算术平均数 为 ? 6 2

变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1,试求Y的 期望?

Y

P

3 1 6

5 1 6

7 1 6

9 1 6

11 1 6

13 1 6

所以随机变量Y的均值为: 1 1 1 1 1 1  EY ? 3 ? ? 5 ? ? 7 ? ? 9 ? ? 11 ? ? 13 ? ? 8 =2EX+1 6 6 6 6 6 6

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

E( X ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变 量. (1) Y的分布列是什么? (2) E(Y)=?

X P X
Y=aX+b

p1

x1

x2

p2

· · · xn · · · pn · · · xn · · · axn ? b · · · pn

x2 x1 ax1 ? b ax2 ? b

P

p1

p2

E(Y ) ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ?? (axn ? b) pn ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

? aE( X ) ? b

一、离散型随机变量取值的均值

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、随机变量数学期望的性质(线性性质)

E (aX ? b) ? aEX ? b

即时训练:
1、随机变量X的分布列是
X 1 3 5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则E(X)= 2.4 (2)若Y=2X+1,则E(Y)=

. 5.8 .

2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

E(ξ)=7.5,则a=

0.1

b=

0.4 .

三、例题讲解
两点分布的期望 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次的得分 X的均值是多少?

一般地,如果随机变量X服从两点分布, X P


1 p

0 1- p

EX ? 1? p ? 0 ? (1 ? p) ? p

三、例题讲解
变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0

分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他连续罚球3次的
得分X的均值是多少? 分析: X~B(3,0.7)

X P

0

1
3
1 C3 0.7 ? 0.32

2
2 C3 0.72 ? 0.3

3

0.3

0.7

3

1 2 EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

? 2.1 ? 3 ? 0.7

三、例题讲解
变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 X的均值是多少? 分析: X~B(n,p) X的分布列如下:
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中 的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少? 分.已知某运动员罚球命中的概率为 p,则他连续罚球n次的得分

x p


0

1

… …

k
k k n? k Cn pq

… …

n
n n 0 Cn pq

0 0 n 1 1 n ?1 Cn p q Cn pq

EX ? np .

证明:若X~B(n,p),则EX=np
证明:
k n ?k ? P(X ? k) ? C k p q (k ? 0,1,2, ? ? ?,n) n

0 0 n 1 1 n -1 2 2 n-2 3 3 n -3 EX ? 0 ? C n p q ? 1 ? Cn p q ? 2 ? Cn p q ? 3 ? Cn p q ? k k n?k n n 0 ? ? k ? Cn p q ? ? ? n ? Cn p q 0 0 n ?1 1 1 n?2 2 2 n ?3 ? np ? (C n p q ? C p q ? C p q ? ?1 n ?1 n ?1 k ?1 k ?1 ( n ?1) ?( k ?1) n ?1 n ?1 0 ? ? Cn p q ? ? ? C q ) ?1 n ?1 p

? np ? ( p ? q) n?1 ? np

所以

若X~B(n,p),则EX=np.

结论:
1;一般地,如果随机变量X服从 两点分布(1,p),则E(X)=p 2;一般地,如果随机变量X服从二项分

布,即X~B(n,p),则E(X)=np

即时训练:
3, 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2 个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是

3

.

4,随机变量X~B(8,p),已知X的均值E(X)=2,则P (x=3)= .

超几何分布的数学期望
例2.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,

从中摸出3个球.
(1)求得到黄球个数ξ的分布列;

(2)求ξ的期望。
小结: 一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布, 则
nM E?X ? ? N

例3. 假如你 是一位商场经理,在五一那天想举行促 销活动,根据统计资料显示,若在商场内举行促销活 动,可获利2万元;若在商场外举行促销活动,则要 看天气情况:不下雨可获利10万元,下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%,你应选 择哪种促销方式? 解:设商场在商场外的促销活动中获

得经济效益为X万元,则X的分布列为
X 10 -4
E X = 10×0.6+(-4) ×0.4 = 4.4万元 >2万元, 故应选择在商场外搞促销活动。

P

0.6

0.4

例4:一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4 个选项.其中仅有一个选项正确,每题选对得5分.不选或 选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9, 学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个 . 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
思路分析: 设甲、乙选对题数分别为X1、X2, 则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2,

问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= 5E(X1) E(Y2) =E(5X2)= 5E(X2) 思考:X1、X2服从什么分布?

解: 设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数 分别是X1和X2,则 X1~B(20,0.9), X2~B(20,0.25), EX1=20×0.9=18, EX2=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验中的 成绩分别是5X1和5X2。所以,他们在测验中的成绩的期 望分别是 E(5X1)=5EX1=5×18=90, E(5X2)=5EX2=5×5=25.

谁的技术比较好?

甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10

0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10

乙射手

0 .2 0 .5 0 .3

试问哪个射手技术较好?

解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.1 ? 10 ? 0.6 ? 9.3(环), E ( X 2 ) ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.5 ? 10 ? 0.3 ? 9.1(环),

故甲射手的技术比较好.

反思:1、用定义求随机变量均值的一般步骤:
1)找出随机变量的可能取值;

2)求出分布列
3)利用定义(公式)求均值。

反思:2、求随机变量均值的一般方法:
1)利用定义求均值;

2)利用线性性质求均值。
3)两点分布,二项分布直接用公式求均值。

高考链接:

(广东卷17)(本小题满分13分) 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4 件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件 产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品 率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件 产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是 多少?

? 【解析】(1)X的所有可能取值有6,2,1,-2; P( X ? 6) ?

126 ? 0.63 200

P( X ? 2) ? ,

50 20 ? 0.25 , P( X ? 1) ? ? 0.1 ,P ( X ? ?2) ? 4 ? 0.02 200 200 200

故的分布列为: X

6

2

1

-2
0.02

P

0.63 0.25 0.1

(2) EX ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润 为 E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01? x) ? 1? x ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29) 依题意, E ( x) ? 4.73,即 所以三等品率最多为3%

4.76 ? x ? 4.73 ,解得

x ? 0.03

概念

期望的概念

步骤

求期望的三个步骤

方法

求期望的三种方法

应用

期望为我们提供了实际问题 决策的理论依据。

随机变量的均值与样本平均值有何区别 和联系?
? 区别:随机变量的均值是一个常数,而样本 平均值随着样本的不同而变化的,是一个随 机变量。 ? 联系:随着样本容量的增加,样本平均值越 来越接近于总体均值(随机变量的均值)。

作业:
(2010· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共
10件,其中有n件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否 接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产 品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这 箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且 用户拒绝接收这箱产品. (1)若这箱产品被用户接收的概率是 列和数学期望. ,求n的值;

(2)在(1)的条件下,记抽检的产品次品件数为X,求X的分布

【解】 P(A)= ∴n=2.

(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A,

(2)X的可能取值为1,2,3.

P(X=1)=
P(X=2)= P(X=3)=

∴X的概率分布列为: X P 1 2 3

1 8 28 109 ? E( X ) ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 5 45 45 45

1.(2010· 河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的 招聘面试.公司规定面试合格者可签约.甲、乙面试合格 就 签约;丙、丁面试都合格则一同签约,否则两人都不签 约.设每人面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不

影响.求:
(1)至少有三人面试合格的概率; (2)恰有两人签约的概率; (3)签约人数的数学期望.

解:(1)设“至少有3人面试合格”为事件A, 则P(A)= (2)设“恰有2人签约”为事件B, “甲、乙两人签约,丙、丁两人都不签约”为事件B1;

“甲、乙两人都不签约,丙、丁两人签约”为事件B2;
则:B=B1+B2 P(B)=P(B1)+P(B2)

(3)设X为签约人数.
P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= X的分布列如下:

X P

0

1

2

3

4

5 20 24 16 16 20 ? E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 81 84 81 81 81 9

实例6

按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~

10 : 00 都恰有一辆客车到站 , 但到站的时刻是随机 的 , 且两者到站的时间相互 独立.其规律为
到站时刻 概率

8 : 10 9 : 10 1 6

8 : 30 9 : 30 3 6

8 : 50 9 : 50 2 6

(i) 一旅客8 : 00到车站, 求他候车时间的数学期 望. (ii) 一旅客8 : 20到车站, 求他候车时间的数学期 望.

解 设旅客的候车时间为X (以分计).

(i) X的分布律为
X

pk

10 1 6

30 3 6

50 2 6

候车时间的数学期望为 1 3 2 E ( X ) ? 10 ? ? 30 ? ? 50 ? 6 6 6 ? 33.33(分).

(ii) X 的分布律为
X

pk

10 3 6

30 2 6

50 1 1 ? 6 6

70 1 3 ? 6 6

90 1 2 ? 6 6

候车时间的数学期望为

E( X ) ? 3 2 1 1 1 3 1 2 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? ? 70 ? ? ? 90 ? ? 6 6 6 6 6 6 6 6
? 27.22(分).

【4】编号1,2,3的三位学生随意入座编号1,2,3的三个座 位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X. (1)求随机变量X的概率分布列; (2)求随机变量X的期望与方差. 分析 (1)随机变量X的意义是对号入座的学生个数,所有取

值为0,1,3.若有两人对号入座,则第三人必对号入座.由排列与
等可能事件概率易求分布列; (2)直接利用数学期望与方差公式求解.

解 (1)P(X=0)=

P(X=3)=

1 1 ? , 3 A3 6

2 1 ? A33 3

1 C3 1 ,P(X=1)= 3 ? , A3 2

故X的概率分布列为
X P 0 1 3

1 3

1 2

1 6

(2)E(X)= 0 ? 1 ? 1? 1 ? 3 ? 1 ? 1
2

3 2 6 1 1 2 D(X)= ? 0 ? 1? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? 3 ? 1?2 ? 1 ? 1 3 2 6


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