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5.4同角三角函数的基本关系


授课教师:陈珊珊 宁波行知中等职业学校

『同角三角函数基本关系的建构』

创设情境 ——感知概念

南美洲亚马逊河雨林中的

一只蝴蝶,偶尔扇动几下翅
膀,可能在两周后引起美国 德克萨斯州的一场龙卷风。

sin ?

cos?

/>tan?

『同角三角函数基本关系的建构』 归纳证明——形成概念
① 写出几个特殊角的三角函数值,观察他们之间 的关系。猜想之间的联系。
1 2

3 2 3 3 2 2

1

3 3 2 2

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
(平方关系)

1

1
3 2

1
1 2

tan ? ?
1
3

sin ? cos ?

(商数关系)

3

『同角三角函数基本关系的建构』 动脑思考 —— 探索新知
设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P( x, y )
sin ? ? y y ? ?y r 1

cos ? ?

x ? cos?

y ? sin ?

x x ? ?x r 1
)。

sin ? 因此,交点P的坐标为( cos? ,

根据勾股定理:

y
sin ?) ? P( , Pcos (x , y )

|MP|? +|OM|? =|OP|?

既y 2 ? x 2 ? r 2 ? 1

M O

x

所以sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

根据三角函数的定义: y sin ? tan ? ? ? x cos ?

『同角三角函数基本关系的建构』 动脑思考 —— 探索新知
同角公式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

平方关系

sin ? tan ? ? cos ?
sin 2 ?是(sin ? )2 并不是sin ? 2 ? 商数关系中 ? ? k? ?
2

商数关系

『同角三角函数基本关系的建构』
辨析1:判断下列等式是否成立
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

sin

2

?
4

? cos

2

?
4

?1

成立

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin 2 3? ? cos 2 3? ? 1
sin 70? ? tan1? cos70?
2 ? tan ? ? 2 cos 2 sin
成立

不成立

?



成立

『同角三角函数基本关系的建构』

辨析讨论——深化公式
辨析2 根据公式,完成下列填空

cos ? sin ? ? 1 ? ____
2
2

sin ? cos ? ? 1 ? ____
2

2

(sin ? ) tan? ? (cos?)

sin ? ? tan? ? ____ cos?

『两个公式在计算三角函数值上的应用』
分析实例——应用公式
例1 已知 sin ? ?
4 ,且 ? 是第二象限的角, 求 cos? 和 tan? 。 5

思考1:条件“是第二象限的角”有什么作用?
思考2:如何建立cos?与sin ?联系?如何建立他们与 tan?的联系?

『两个公式在计算三角函数值上的应用』 练习
已知 cos

??

1 ,且 ? 是第四象限的角,求 sin ? 。 2

和 tan

?。

『两个公式在计算三角函数值上的应用』 变式 1
已知 sin ? ?
4 , 求 cos ? 和 tan ? 。 5

『两个公式在计算三角函数值上的应用』 练习
已知 cos

??

1 ,求 sin ? 和 tan 。? 。 2

『两个公式在计算三角函数值上的应用』 变式 2
已知 tan ? ? ?1 ,且 ? 是第四象限的角,求 sin ? 和 cos? 。
? ? sin ? 解:由 tan ? ? ? ?1, 得 sin ? ? ? cos ? cos ?
? ?

? ?
2

又因为sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
2 2

1 把 ? 代入 ? 得( - cos ? ) ? cos ? ? 1,即 cos ? ? 2 2 2 因为?是第四象限的角,所以 cos? ? , sin ? ? ? . 2 2

『两个公式在计算三角函数值上的应用』 方法总结:
若已知sinα或cosα,先通过平方关系得出另外一个三角函数值, 再用商数关系求得tanα。

若已知tanα,先通过商数关系确定sinα与cosα的联系, 再代入平方关系求得sinα与cosα。 注意:若α所在象限未定,应讨论α所在象限。

『总结反思—提高认识』

本节课的知识体系
求三角函数值 同角三角函数 的基本关系 化简三角函数式

注意:对α所在象限的 讨论。

化简的方法及对于公式的灵活

两个公式

运用:正向使用、逆向使用、 变形使用

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

tan? ?

sin ? cos?

『布置作业—自主探究』

书面

应用

探究

习题5.4 A组2.3.4

设坡角为α ,如果 tanα =0.75,小明沿着 斜坡走了10米,则他升 高了多少米?

已知tanα 为非零 实数,用tanα 表示 sinα ,cosα 。

谢 谢!

各象限角三角函数值的正负号


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