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实数指数幂及其运算


2012-2013 高一数学必修一导学案 编制人:许国超 王晓哲 殷金燕 张海港 王荣福

审核人:

领导签字:

编号:11

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课题:实数指

数幂及其运算

(5)设 a ? 0, b ? 0, ? , ? 为有理数.有 a? a? ? _____,(a? )? ? _____,(ab)? ? _____ .


【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材 P38—P41,用红色笔进行勾画,再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题,时 间不超过 20 分钟. 2.课前完成预习学案的问题导学及例题,掌握幂的运算法则. 3.认真限时完成,规范书写;课上小组合作探讨,答疑解惑. 4.重点:分数指数幂的概念及分数指数的运算性质. 5.难点:根式的概念及分数指数的概念.

3、无理指数幂:有理指数幂推广到无理指数幂.
? 当 a ? 0,?为任意实数,实数指数幂a 都有意义.

因此对任意实数 ? , ? ,有 a? a? ? ______,(a? )? ? ______,(ab)? ? ______ 成立. 4、根式具有的性质: ① ( n a )n ? __(n ? 1且n ? N )
② n a n ? _______.



【学习目标】
1、准确理解实数指数幂的概念,熟练掌握实数指数幂运算法则的应用. 2、自主学习,合作学习,探究实数指数幂运算的规律和方法.

二、预习自测 1、有下列命题: (1) n an ? a (2) a ? R, 则 a ? a ? 1
2
4 3 3 4



3、激情投入、高效学习,体验学习数学的快乐.

一、问题导学: 1、整数指数幂:若 a n ? a ? a ????a 中 a n 叫做
写出正整数指数幂的运算法则: m, n ? N , 且m ? n.
*

, a 叫做

, n 叫做

.

(3) 3 x ? y ? x ? y (4) 3 ?5 ? 6 ? ?5? .其中正确命题的个数为 ( A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 2、若 m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( )
2

?

?

0

? 1;




(1) a

m

? an ?

(2) (a ) ?
m n
m?n

(3)

上面公式中若去掉 m ? n ,则 a 规定 a ?
0

a ? an

m

A、 (4) (ab) ?
m

4

m2

B、

5

m

C、

8

m

5 D、 - m

有什么意义?

1 a +b 2 3、设 α,β 是方程 2 x -3 x +1 = 0 的两根,则 ( 4 ) 的值为
A、8

(a ? 0)

a?n ?

(a ? 0, n ? N * )

则上面公式(1)(2)(3)(4)仍然成立这样就把正整数指数幂推广到整数指数幂. 、 、 、

1 B、 8

C、-8

1 D、 - 8

线

即当: m, n ? Z ,则 a ? a ? ____,(a ) ? ____,(ab) ? ____.
m n m n n

2、分数指数幂:
(1)什么叫 a 的 n 次方根?什么叫开方运算?
【我的疑惑】 咱们自学完课本,初步完成了导学案,请对老师谈谈你的收获,还有困惑吗?

(2)当 n a 有意义时 n a 叫做
1 n

n 叫做
m

n ( (3)正分数指数,规定① a ? ____ a >0) a ? ____=____ ②

(a ? 0, m, n ? N *且

m 为既约分数). n

(4)负分数指数幂:规定 a 不

?

m n

* m ? _______ (m, n ? N , 且 n 为既约分数,a ? 0).

要 为 自 已 找 任 何 借 口

不 要 为 自

已 找 任 何 借 口

2012-2013 高一数学必修一导学案 编制人:许国超 王晓哲 殷金燕 张海港 王荣福

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三、合作探究 探究一:简单指数幂的运算 例1. 计算下列各式的值

【思想方法规律总结】

? 8a ?3 ? 3 (1) ? ; 6 ? ? 27b ?

?

1

2 x 3 x2 ? b ? ? 2b ? ? b ? (2) ; (3) ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? . ? 2a ? ? 3a ? ? a ? x? 6 x 3

0

?3

探究三:条件求值

例 3.已知 a 2 ? a 2 ? 5, 求下列各式的值(1) a ? a?1;

1

?

1

(2) a ? a .
2

?2

【思想方法规律总结】 【思想方法规律总结】

五、小结(1)知识与方法方面
(2)数学思想及方法方面

高斯与 17 边形
1796 年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的 19 岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置

探究二:根式与分数指数幂性质的应用 例 2.求下列式子的值 (1) 3 ? 3 ? 27
3 4 4

给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条 上:要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正 17 边形。 他感到非常吃力。时间一分一秒的
4
2 ? 3 1 2

? 8a3 ? 6 (2) ? 3 ? ? 125b ?

过去了,第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解 开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志:我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺, 他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时,青年长 舒了一口气,他终于完成了这道难题。见到导师时,青年有些内疚和自责。他对导师说:“您给我布 置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看,当 即惊呆了。 他用颤抖的声音对青年说: “这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师, 回答道: “是我做的。但是,我花了整整一个通宵。”导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他 当着自己的面再做出一个正 17 边形。青年很快做出了一上正 17 边形。导师激动地对他说:“你知不 知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一 个晚上就解出来了。你是一个真正的天才!”原来,导师也一直想解开这道难题。那天,他是因为失 误,才将写有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时,总是说:“如果有人告诉 我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来。”这位青年就是数学 王子高斯。高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的 墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正 十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来。

5x y (3) ? 1 ?1 1 ? ? 5 1 ? 1 ? 3 6 2 ? ? x y ?? ? x y ? ? 4 ?? 6 ?



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