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四川省德阳市高中2013届高三“一诊”考试 数学文


德阳市高中 2013 届高三“一诊”考试

数学(文)试题
说明: 1.本试卷分第 1 卷和第Ⅱ卷,考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题 无效.考试结束后,将答题卡交回。 2.本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本

大题共 12 个小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? {cos? ,sin 270?}, B ? {x | x ? 1 ? 0}, 那么A ? B =
2

A.{0,一 l} 2.已知 z 是纯虚数, A.2i

B.{l,一 1}

C.{1}

D.{-1}

z?2 是实数,那么 z= 1? i
B.i C.一 i D.-2i

3.各项均为正数的等此数列{an}中, a2 ,

a3 a ? a5 , a1 成等差数列,那么 4 = 2 a3 ? a4
C.

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

5 ?1 2

D.

1? 5 2

4.在△ABC 中, BA ? BC ? 0 ”是“△ABC 为钝角三角形”的____条件 “ A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 5.已知 Rt△ABC 中,AB =3,AC =4,∠BAC= 90°,AD⊥BC 于 D,E 在△ABC 内任意移动,则 E 于△ACD 内的概率为 A.

??? ??? ? ?

3 5 16 25

B.

3 4 4 5

C.

D.

6.一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的 个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

7.若函数 y= Asin( ? x ? ? ) >0, ? >0,| ? |? (A

? )在一个周期内的图象如图,M、N 分别是这段 2

图象的最高点和最低点,且 OM ? ON ? 0, 那么A? =

???? ???? ?

A.

?
6

B.

7? 12 7? 3

C.

7? 6

D.

8.下列命题中是假命题的是 A. ?? ? R, 函数 f(x)= sin(2x+ ? 们都不是偶函数 B. ?a ? 0, f ( x) ? ln x ? a 有零点 C.若 y ? f ( x) 的图象关于某点对称,那么 ?a, b ? R 使得 y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数 D. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x
m2 ? 4 m?3

是幂函数,且在(0,+ ? )上递减

9.函数 f ( x ) 的图象是如图所示的折线段 OAB,其中 A(l,2) ,B(3,0) ,那么函数 y ? xf ( x) 的单调增区间 为 A. (0,1) B. (0, )

3 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,3)

3 2

10.已知函数 f ( x) ? ?

?(1 ? 3a) x ? 10a, x ? 6 ?a
n ?7

,x ? 6

, 若 数列 {an } 满足 an ? f (n), n ? N *, 且{an }是递减数

列,则实数 a 的取值范围是 A. ( ,1)

1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( ,1)

5 8

D. ( , )

1 5 3 8

11.设集合 A= {( x, y) || x | ? | y |? 1}, B ? {( x, y) | ( y ? x)( y ? x) ? 0}, M ? A ? B, 若动点 P(x,y)

? M ,则 x2 ? ( y ? 1)2 的取值范围是

A. [

2 5 , ] 2 2

B. [ , ]

1 5 2 2

C. [ ,

1 2

10 ] 2

D. [

2 10 , ] 2 2

12 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 满 足 f ( x) ? ? xf ?( x), 则 关 于 x 的 不 等 式

f ( x ? 1) ? ( x ? 1) f ( x2 ? 1) 的解集为
A. (一∞,1) B. (一 1,1) C. (一∞,0) D. (0,1)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 l6 分,将答案填在题中横线上) 13.为了解某校高三学生到学校运动场参加体育 锻炼的情况.现采用简单随机抽样的方法,从高三的 1500 名同学中抽取 50 名同学,调查他们在一学期内到 学校运动场参加体育锻炼的次数,结果用茎叶图表示 (如图) .据此可以估计本学期该校 1500 名高三同学 中,到学校运动场参加体育锻炼次数在[ 23,43)内的 人数为 。 14.已知 a ? (1,1), b ? ( x , x ? ? )且a / /b ,则实数 ? 的最小值是
2

。 。

15. 投掷两颗骰子, 得到其向上的点数分别为 m、 设 a= n, (m, , n) 则满足|a|<5 的概率为

16.已知 f ( x) ?| sin x | ( x ? 0), y ? g ( x) 是过原点且与 y=f(x)图象恰有三个交点的直线,这三个 交点的横坐标分别为 0, ? , ? (0 ? ? ? ? ) ,那么下列结论中正确的有 号) ① f ( x) ? g ( x) ? 0的解集为 ? , ??) ; [ 。 (填正确结论的序

②y= f(x)—g(x)在 (

? , ? ) 上单减; 2

③ ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ; ④当 x ? ? 时, y ? f ( x) ? g ( x) 取得最小值。

三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 74 分)解答应写出文字说明及演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 为偶函数,且函数 f(x)图 象上相邻两对称轴间的距离为

?
2

(1)求 f(x)的解析式及单减区间; (2) △ABC 的三内角为 A、B、C,若 sin2A= sin2B+ sin2C—sinBsinC,求 f(A) .

18. (本小题满分 12 分) 某校一个甲类班 x 名学生在 2012 年某次数学测试中,成绩全部介于 90 分与 140 分之间,将测试 结果按如下方式分成五组,第一组[90,100) ;第二组[100,110)?第五组[130,140),下表是按上述 分组方法得到的频率分布表:

(l)求 x 及分布表中 m,n,t 的值; (2)设 a,b 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩,列举出所有可能情况 并求事件“-10≤a-b≤10”的概率.

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前n项和为Sn , 且a3 ? 5, S15 ? 150. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

? (?1)n an , 求数列{bn }的前n项和Tn .

20. (本小题满分 12 分) 对于两个定义域相同的函数 f ( x ) , g ( x) ,若存在实数 m,n 使得 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x), 则称函 数 h(x)是“函数 f(x) ,g(x)的一个线性表达” . (1)若偶函数 h( x) 是“函数“ f ( x) ? x ? 3x, g ( x) ? 3x ? 4 的一个线性表达” ,求 h(2) ;
2

(2)若 h( x) ? 2x ? 3x ? 1是“函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? b(a, b ? R, ab ? 0) 的一个线性表
2 2

达” ,求 a +2b 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an },{bn } 满足: a1 ? (1)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (2)设 cn ?

bn 1 。 , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 (1 ? an )(1 ? an )

1 , 求证:数列 {cn } 是等差数列,并求 bn 的通项公式; bn ? 1

(3)设 Sn ? a1a2 ? a 2 a3 ? a3a4 ? ?? anan ?1 , 若不等式 4 aSn ? bn 恒成立时,求实数 a 的取值 范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ?

1 1 ) ln x ? ? x. a x

(1)当 a ? 1 , 讨论f ( x) 在区间(0,1)上的单调性; 时 (2)当 a ? 0时, 求f ( x) 的极值; (3) a ? 3时 曲线 ? ( ) 当 , y fx 上总存在不同两点 P( x1 , f ( x2 )), Q( x2 , f ( x2 )) , 使得曲线 y ? f ( x)

在 P、Q 两点处的切线互相平行,证明: x1 ? x2 ?

6 . 5


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