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平面向量的数量积习题课


平面向量的数量积 习题课

复习回顾
1.平面向量的数量积的坐标表示

设a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x2 , y2 ?则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
2.?1?向量的模 设 a ? ? x , y ?, 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ?
2

>x 2 ? y 2;

?2?两点间的距离公式 设A? x1 , y1 ?, B ? x 2 , y ?2 ,
则 AB ? (x 2 ? x1 )2 ? y2 ? y1 )2 (

3.平面向量垂直的等价条件

设a ? x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 ( a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
4.平面向量夹角的坐标表示
设a ? x1 , y1 ), b ?( x2 , y2 ), 且a与b夹角为?, ( (0 ? ? ? 180 )则 cos ? ?
? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

.

2 2 其中 x12 ? y12 ? 0, x2 ? y2 ? 0.

类型一:数量积定义式的应用
例1、如图,在平行四边形 ABCD 中,已 ? 知 | AB |? 4 ,AD |? 3 , ?DAB ? 60 ,求: | (1) BC ; (2) CD ; AD? AB? (3)AB? DA .
D

C

A

1200

B

E

? ? ? 例2.设a , b , c是任意的非零平面向量, 且它们相互不共线, 判断下列各命题是否正确. ? ? ? ? ? ? ? (1)(a ? b ) ? c ? (c ? a ) ? b ? 0; ( ? ? ? ? (2) | a | ? | b |?| a ? b |; ( ) )

? ? ? ? ? ? ? (3)(b ? c ) ? a ? (c ? a) ? b 不与c垂直; ( ? ?2 ? ? ? ?2 (4)(3a ? 2b ) ? (3a ? 2b ) ? 9 | a | ?4 | b |

)
( )

练1.(05全国I)点O是三角形ABC所在平面内 的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 则点O是三角形ABC的( D ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 练2. 已知 a ? (3,4)且a ?b ? 10,则 b 在 a 上 2 的投影为____________

类型二:向量的夹角问题

例3.已知a ? ?1,2?, b ? ?1,1?, 且a与a ? ? b 的夹角为锐角 求实数?的取值范围 , .
? 5 ? ? ? ? ? ,0 ? ? ?0 ,??? ? 3 ?

练3. 若 a ? (?2, x),与b ? (3,4) 的夹角为钝角,则 实数x的取值范围为 _____________
8? ? 8 3? ? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , ? 3? ? 3 2? ?

例4.若非零向量

? , ? 满足 | ? ? ? |?| ? ? ? | ,则 ? 与 ? 所成
? ?
2

? 的角的大小为______。 90

解 : | ? ? ? |?| ? ? ? | ?

? ? ?? ? ? ? 0
例5.与向量

? ? ? ? | ?| ? ? ? |2 | ?2 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 即? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?
3 4 3 4 (? , ) 或 ( ,? ) 5 5 5 5 a ? (?3,4) 平行的单位向量为_________________________;
垂直的单位向量为___________________。

?

?

?

?

?

?

设所求的向量为

e ? ( x, y) e ? ( x, y)

由已知得

设所求的向量为

由已知得

? x ? y ?1 ? 3x ? 4 y ? 0 ? x ? y ?1
? 3 y ? 4x
2 2 2 2

类型二:向量的夹角问题
例6.已知 a ? b ? c ? 0 , 且 | a |? 3, | b |? 5, | c |? 7, 求 a 和 b 的夹角
? ? ? ? ? ? ? ? ?

夹角? ?

?
3

练 习 .已 知a、是 两 个 非 零 向 量 , 同 满 足 | a |?| b | 4 b 时 ?| a ? b |, 求a与a ? b的 夹 角
夹角? ?

?
6

类型三:向量垂直关系问题
例7. 试证三角形的三条高线交于一点
已知: 如图,在

?ABC 中, AP ? BC , BP ? AC
A P

求证: CP ? AB

练习5.已知O为原点, ? ?? 3,1?, OB ? ?0,5?, 且 AC // OB, OA BC ? AB, 则点C的坐标为
29 ? ? C ? ? 3, ? 4 ? ?

B

C

类型四:向量与其它知识的综合问题

例8.已知二次项系数为正的二次函数f(x) 对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)成立,设 ? ? 1 b 向量 a ?(sinx,2), ? (2sinx,2 ),
? ? ? x∈[0,π]时,求不等式f( a ? b )>f( c ? d ) 的解集
? ? ? c ?(1-2sin2x,1), d ? (1,2), 当 ? ?

? ? 3? ? ? , ? ?4 4 ?

? ? ? ? 例9.已知 a, b 是两个非零向量,当 a ? tb(? ? ? ) t R ?
的模取最小值时,(1)求t的值 (2)求证 b ? (a ? tb)



? ?2 ? ?2 ?2 ? ? ?2 | a ? tb | ? (a ? tb) ?| a | ?2ta ? b? | tb |
? ? ? ? 2 ?2 a ? b 2 ? 2 (a ? b) ?| b | (t ? ? 2 ) ? | a | ? ? 2 |b| |b|

(1)由题意得:

?2 2 ? ? ?2 ?| b | t ? (2a ? b)t ? | a |

? ? ? ? a ?b a |有最小值 当t ? ? ? 2 时 | ? tb |b|

? ? ? ? 例9.已知 a, b 是两个非零向量,当 a ? tb(? ? ? ) t R ?
? ? ? ? ? ?? ? a ? b ? ? (2) ?b ? (a ? tb) ? b ?(a ? ? 2 b) |b| ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ?b ? (a ? tb)
的模取最小值时,(1)求t的值 (2)求证 b ? (a ? tb)

注: ?

? ? ? | a ? tb |是一个实数,对 | a ? tb | 变形

后,是一个关于t的二次函数,利用二次函 数最值解决问题

练习:

1.已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、D(5,8)

矩形 则四边形ABCD的形状是____
2. 已知

a = (1,2), b= (-3,2), -1 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k =____

课堂练习
1 1. 等边三角形ABC的边长为

AB ? a, BC ? b, CA ? c, 那么a ? b ? b ? c ? c ? a ?
2.
? 3 2

? a
A

C

? c

? b
B

已知向量e1 , e 2不共线, a ? k e1 ? e 2 , b ? e1 ? k e 2 , 若a与b共线, 则k的值为
?1
?
4

3. 若 a ? 1, b ?

2 , 且 a ? b ? a, 则a与b的夹角是

? ?


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