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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)


第三章 三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式

滑县第二高级中学 吕许凤

一.两角和与差的正、余弦公式

思议
怎样利用诱导公式推出sin(α±β)?
π π 提示:sin(α+β)=cos[ -(α+β)]=cos[( -α)-β] 2 2 π π =cos( -α)cosβ+sin( -α)sinβ 2 2 =sinαcosβ+cosαsinβ, 用-β 代 β 得: sin(α-β)=sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ.

二.两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式对任意的α,β均成立吗?
提示: 不是的. 在两角和的正切公式中, 使用的条件是: π α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z);使用两角差的正切公式时 2 π 条件是:α,β,α-β≠kπ+ (k∈Z). 2

三.公式的应用
1、给角求值就是灵活正用,逆用公式化简求值的过程. 求下列各式的值.

(1)sin165°;
(2)cos(20°+x)cos(25°-x)-cos(70°- x)sin(155°+ x).

[提示]:
(1)把非特殊角化为特殊角后,正用公式求解; (2)利用诱导公式调整后逆用公式.

[解]

(1)法一:sin165° =sin(90° +75° )=cos75°

=cos(45° +30° )=cos45° cos30° -sin45° sin30° 6- 2 2 3 2 1 = × - × = . 2 2 2 2 4 法二:sin165° =sin(180° -15° )=sin15° =sin(45° -30° )=sin45° cos30° -cos45° sin30° 6- 2 2 3 2 1 = × - × = . 2 2 2 2 4

(2)∵(20° +x)+(70° -x)=90° , (25° -x)+(155° +x)=180° , ∴原式=cos(20° +x)cos(25° -x)-cos[90° -(20° + x)]· sin[180° -(25° -x)] =cos(20° +x)cos(25° -x)-sin(20° +x)sin(25° -x) 2 =cos[(20° +x)+(25° -x)]=cos45° = . 2

展评
1.化简下列各式: π π 2π (1)sin(x+ )+2sin(x- )- 3cos( -x); 3 3 3 (2)tan75° .

π π π π 2π 解:(1)原式=sinxcos +cosxsin +2sinxcos -2cosxsin - 3cos cosx 3 3 3 3 3 - 3sin 2π sinx 3

π π 2π π π 2π =(cos +2cos - 3sin )sinx+(sin -2sin - 3cos )cosx 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 =( +1- 3× )sinx+( - 3+ )cosx=0. 2 2 2 2 (2)tan75° =tan(45° +30° ) = tan45° +tan30° 1-tan45° tan30° 3+ 3 = =2+ 3. 3 3- 3 1-1× 3 1+ 3 3



类题通法
在解决三角函数给值求值问题时,要注意以下两点: (1) 先分析已知角与待求角之间的关系, 再决定如何 用已知条件,认真考虑角的整体运用,恰当运用拆角、 拼角等技巧. 2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β), α+β β α =(α- )-( -β), 2 2 2 π π α=(α+ )- 等. 4 4

(2)给值求值题有两个关键环节: ①求出所求角的某种三角函数的值. ②确定所求角的范围.

检评
1 2 已知 sinα= ,cosβ=- ,且 α,β 均在第二象 3 3 限,求 sin(α+β)和 sin(α-β)的值.

[提示] 利用平方关系sin2α+cos2α=1,求cosα和sinβ,

再用两角的和与差的正弦公式求得.

[解]

1 2 因 sinα= ,cosβ=- ,且 α、β 均在第二象限, 3 3 1-sin α=-
2 2

故 cosα=-

12 2 2 1-? ? =- , 3 3

sinβ= 1-cos β=

22 5 1-?- ? = . 3 3

所以 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 1 2 2 2 5 -2-2 10 = ×(- )+(- )× = . 3 3 3 3 9 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 1 2 2 2 5 -2+2 10 = ×(- )-(- )× = . 3 3 3 3 9

练1
3 π 1 2.已知 sinα= ,α∈(0, ),tan(α-β)= ,求 tanβ 及 5 2 2 tan(2α-β).

π 解:∵α∈(0, ) 2 ∴cosα= 1-sin2α= 3 sinα 5 3 ∴tanα= = = . cosα 4 4 5 ∴tanβ=tan[α-(α-β)] 3 1 - tanα-tan?α-β? 4 2 2 = = = ,tan(2α-β)=tan[α+(α-β)] 3 1 11 1+tanαtan?α-β? 1+ × 4 2 3 1 + tanα+tan?α-β? 4 2 = = =2. 3 1 1-tanαtan?α-β? 1- × 4 2 3 4 1-? ?2= , 5 5

2.给值求角也是灵活正用,逆用公式化简求值的过程. 给值求角的问题,以下两个步骤缺一不可: (1)根据题设条件求角的某一三角函数值; (2)讨论角的范围,必要时还需根据已知三角函数值缩 小角的范围,从而确定角的大小.

1 1 已知 tan(α-β)= ,tanβ=- ,且 α、β∈(-π,0), 2 7 求 2α-β 的值.

[提示]

由于条件中均为角的正切值,故考虑求tan(2α

-β)的值进而根据α、β的范围求角2α-β.

[解]

∵tanα=tan[(α-β)+β]

tan?α-β?+tanβ = 1-tan?α-β?tanβ 1 1 - 2 7 1 = = . 1 1 3 1- · ?- ? 2 7 ∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α] tan?α-β?+tanα = 1-tan?α-β?tanα 1 1 + 2 3 = =1. 1 1 1- × 2 3

1 3 由-π<α<0 且 tanα= 得,-π<α<- π. 3 4 1 π 由-π<β<0 且 tanβ=- 得,- <β<0. 7 4 5 ∴-2π<2α-β<- π, 4 7 ∴2α-β=- π. 4

练2
1 13 π 3.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2

π π 解:由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 1 π 4 3 由 cosα= ,0<α< ,得 sinα= 1-cos2α= . 7 2 7 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?=
2

13 2 3 3 1-? ? = . 14 14

由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = , 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3

课堂小结
1、公式的推导
2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3、公式的简单应用


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