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第二课时 双曲线方程及其几何性质的应用


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第二课时

双曲线方程及几何性质的应用

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[读教材· 填要点]
1.直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① x2 y2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)② a b 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b 2 2 2 (1)当 b -a k =0,即 k=± a时,直线 l 与双曲线的渐近

线平行,直线与双曲线 C 相交于一点 .

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b (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2- a
2 2 2

a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲 线 相交 ; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲 线 相切 ; Δ<0? 直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲 线 相离 .

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2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1,y1), B(x2 , y2) ,则 |AB| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] = 1 (1+ 2)[(y1+y2)2-4y1y2]. k

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[小问题·大思维] 1.当直线与双曲线只有一个公共点时,直线一定与双曲线 相切吗?

提示:不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线
与双曲线相交,只有一个交点. 2.当直线的斜率不存在或斜率k=0时,如何求弦长? 提示:把直线方程直接代入双曲线方程,求出交点坐标, 再求弦长.

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[研一题] [例1] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),

试确定实数k的取值范围,使: (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;

(3)直线l与双曲线没有公共点.

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[自主解答]

2 2 ? ?x -y =4, 由? 消去 ? ?y=k(x-1),

y,

得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*) 当 1-k2=0,即 k=± 1,直线 l 与双曲线的渐近线平行, 方程化为 2x=5, 故方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,有且 只有一个公共点. 当 1-k2≠0,即 k≠±1 时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).

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2 ? ?4-3k >0, 2 3 2 3 ? (1) 即- < k< ,且 2 3 3 ? ?1-k ≠0,

k≠±1 时,

方程(*)有两个不同的实数解, 即直线与双曲线有两个不 同的公共点.
2 ? ?4-3k =0, (2)? 即 2 ? ?1-k ≠0,

2 3 k=± 时,方程(*)有两个相同的实 3

数解,即直线与双曲线有且只有一个公共点.

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2 ? 4 - 3 k <0, ? (3)? 即 2 ? ?1-k ≠0,

2 3 2 3 k<- 或 k> 时,方程(*)无实 3 3

数解,即直线与双曲线无公共点. 2 3 综上所述,(1)当- <k<-1 或-1<k<1 或 1<k< 3 2 3 时,直线与双曲线有两个公共点. 3 2 3 (2)当 k=± 1 或 k=± 时,直线与双曲线有且只有一个 3 公共点. 2 3 2 3 (3)当 k<- 或 k> 时, 直线与双曲线没有公共点. 3 3

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若将“y=k(x-1)”改为“y=k(x-3)”,试解决(2)、(3)

两个问题?
解:∵直线y=k(x-3)过定点(3,0),且定点(3,0)在

双曲线x2-y2=4的内部,直线与双曲线总有公共点.
∴当k=±1时,直线与双曲线有且只有一个公共点; 当k≠±1时,直线与双曲线有两个公共点.

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[悟一法] 解决直线和双曲线的位置关系的问题,一般先联立方程 组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元方程,再根据一 元方程去讨论直线和双曲线的位置关系,这时首先要看二次

项系数是否为零,当二次项系数为0时,就转化成了x或y的一
元一次方程,只有一个解(与渐近线不重合),这时直线与双 曲线相交只有一个交点,当二次项系数不为零时,利用根的 判别式,判断直线和双曲线的位置关系.

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[通一类]
x2 2 1.设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两 a 个不同的点.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.

解:∵双曲线与直线相交于不同的两点,
2 x ? ? 2-y2=1, ∴?a 有两组不同的解. ? ?x+y=1,

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消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0
2 ? ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ? ?Δ=4a +8a (1-a )>0,

解得- 2<a< 2且 a≠± 1 又∵a>0,∴0<a< 2且 a≠1, 1+a2 又 e= a = 1 6 1+ 2,∴e> 且 e≠ 2. a 2

6 ∴e 的取值范围是( , 2)∪( 2,+∞). 2

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[研一题]
[例 2] π 的弦 AB. 6 (1)求|AB|; (2)求 AB 的垂直平分线方程.
2 y 过双曲线 x2- =1 的左焦点 F1, 作倾斜角为 3

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[自主解答] 双曲线焦点为 F1(-2,0)、F2(2,0), 将直线 AB 方程:y= 8x2-4x-13=0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 1 13 ∴x1+x2= ,x1x2=- . 2 8 ∴|AB|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2 = 1 1 2 13 1+ · ( ) -4× (- )=3. 3 2 8 3 (x+2)代入双曲线方程,得 3

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(2)设 AB 的中点 M(x0,y0), x1+x2 1 由(1)得 x0= = , 2 4 31 3 3 3 y0= ( +2)= ,又 kAB= . 3 4 4 3 3 3 1 ∴AB 的垂直平分线方程为 y- =- 3(x- ) 4 4 即 3x+y- 3=0

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[悟一法] 对于弦长问题,主要是利用弦长公式,而弦长公式的 应用,主要是利用根与系数的关系解决,另外在弦的问题

中,经常遇到与弦中点有关的问题,这种问题经常用点差
法解决,另外要注意灵活转化,如垂直、相等的问题也可 转化为中点、弦长问题来解决.

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[通一类] 2 y 2.设 A、B 双曲线 x2- =1 上的两点,AB 中点 2
为 M(1,2). 求(1)直线 AB 的方程; (2)△OAB 的面积(O 为坐标原点).

解:(1)法一:(用根与系数的关系解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), y=kx+2-k, ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 x - =1, ? 2 ?

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得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 k(2-k) 则 1= = ,解得 k=1 2 2-k2 当 k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1.

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法二:(用点差法解决)
2 ? 2 y1 ?x1- 2 =1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 2 y 2 ?x2- 2=1, 2 ?

1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2

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y1-y2 2(x1+x2) ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 2× 1× 2 ∴kAB= =1, 2× 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1,
2 y 代入 x2- =1 满足 Δ>0. 2

∴直线 AB 的方程为 y=x+1.

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? ?y=x+1, (2)法一:由? 2 2 消去 ? ?2x -y =2,

y 得 x2-2x-3=0

解得 x=-1 或 x=3 , ∴A(-1,0),B(3,4) 1 S△OAB= · |OA|· 4=2. 2

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? ?y=x+1, 法二:由? 2 2 消去 ? ?2x -y =2,

y 得 x2-2x-3=0

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2,x1x2=-3, ∴|AB|= 2 (x1+x2)2-4x1x2

= 2× 4+12=4 2 1 2 O 到 AB 的距离为 d= = . 2 2 1 1 2 ∴S△AOB= |AB|· d= × 4 2× =2. 2 2 2

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B地在A地的正东方向4 km处,C地在

B地的北偏东30°方向2 km处,河流的沿岸
PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地 的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头,向B,C 两地转运货物.经测算,修建公路的费用是a万元/km,求 修建这两条公路的最低费用.

[巧思]

费用最低即公路的长度最短,即求|MB|+|MC|

的最小值,又|MB|,|MA|存在数量关系,故考虑根据双曲 线的定义将所求长度转化为研究|MA|+|MC|的大小即可. 返回

[妙解]

以 AB 所在的直线为 x 轴, AB 的中

点为原点建立平面直角坐标系, 由已知可得 C(3, 3),又|MA|-|MB|=2<|AB|,故点 M 的轨迹是
2 y 双曲线 x2 - = 1 的右支,总费用为 a|MB| + 3

a|MC|=a(|MB|+|MC|). 因为 |MB| + |MC| = |MA| - 2 + |MC|≥|AC| - 2 = 2 7 - 2 ,当 M,A,C 三点共线时等号成立,故总费用最低为(2 7-2)a 万 元.

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