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2.5推理与证明小结


推理与证明小结

推理与证明小结
知识结构:
推 理 与 证 明 推理 合情推理 演绎推理
综合法 归纳推理 类比推理

直接证明
证明

分析法

数学归纳法 间接证明 反证法

类比练习 一、合情推理练习: 1.根据下列 5 个图形及

相应点的个数的变化规律, 2 n ? n ?1 试猜测第 n 个图中有___________个点.

2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成 若干个图案:则第 n 个图案中有白色地面砖 块.

n ? 4n ? 1
2

第1个

第2个

第3个

第1个
1? 5

第2个
1? 5 ? 7

第3个
1? 5 ? 7 ? 9

第4个

与猜测吻合!ye!
猜想: 1 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? (2n ? 3)

? n2 ? 4n ? 1

一、合情推理练习:
3.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角 为 ? , ? ,则 cos 2 ? ? cos 2 ? =1,将长方形与长方体 进行类比,可猜测的结论为:__________________; 长方体的对角线与过同一个顶点的三条棱所成的角 分别为 ? , ? , ? ,则 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? =1, 4.观察 (1)tan100 tan 200 ? tan 200 tan600 ? tan600 tan100 ? 1; (2)tan 50 tan100 ? tan100 tan 750 ? tan 750 tan 50 ? 1 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论. ? ? ( 如 果 ? ? ? ? ? ? , 且? , ? , ? 都不等于 ,则 2 2 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 )

二、证明练习: a b 1.若 ? ? 1(a , b, x , y ? 0, a ? b) , x y
2

求证: x ? y ≥ ( a ? b ) 2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证: 1 1 3 分析法:充分用好条件, ? ? a ? b b ? c a ? b ? c 不断变形转化! 3.已知正数 a , b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,

综合法:巧用“1”的代换

1 1 1 求证: , , 不可能是等差数列. a b c

反证法

5n ? 2 ? 3n?1 ? 1( n ? N * ) 能被8整除. 4.用数学归纳法证明:

4.用数学归纳法证明: 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1( n ? N * ) 能被8整除.
证:(1)当n=1时,5+2+1=8,命题显然成立.

令 An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1( n ? N * )
(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 Ak ? 5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1 是8的倍数.
Ak ?1 ? 5k ?1 ? 2 ? 3k ? 1 ? 5(5 k ? 2 ? 3 k ?1 ? 1) 那么: ?4(3k ?1 ? 1) ? 5 Ak ? 4(3 k ?1 ? 1)

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.

三、综合练习 1.(课本第 111 页 B 组第 2 题). 如图,在圆内画 1 条线段,将圆分割成两部分; 在圆内画 2 条 线段,彼此分割成 4 条线段,将圆分割成 4 部分; 在圆内画 3 条线段,彼此最多分割成 9 条线段,将圆最多分割成 7 部分; 在圆内画 4 条线段,彼此最多分割成 16 条线段,将圆最多分 割成 11 部分,那么⑴在圆内画 5 条线段,它们彼此最多分割 成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?⑵猜想:圆内两两 相交的 n 条线段,彼此最多分割成多少条线段?⑶猜想:圆内 画 n 条线段,两两相交,将圆最多分割成多少部分?并用数学 归纳法证明你所得到的猜想.

选做作业: 1.已知 a, b, c 均为实数,

? ? ? 2 2 且 a ? x ? 2 y ? , b ? y ? 2z ? , c ? z ? 2 x ? , 2 3 6 求证: a, b, c 中至少有一个大于 0. 2.已知函数 f ( x ) ? ax ? b ,当 x ? [a1 , b1 ] 时,值域为 [a2 , b2 ] , 当 x ? [a2 , b2 ] 时,值域为 [a3 , b3 ] ,…,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时, 值域为 [an , bn ] ,….其中 a、b 为常数,a1=0,b1=1. (1)若 a=1,求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)若 a ? 0, a ? 1 ,要使数列{bn}是公比不为 1 的等比数 列,求 b 的值.
2

2.已知函数 f ( x ) ? ax ? b ,当 x ? [a1 , b1 ] 时,值域为 [a2 , b2 ] , 当 x ? [a2 , b2 ] 时,值域为 [a3 , b3 ] ,…,当 x ? [an?1 , bn?1 ] 时,值域为
[an , bn ] ,….其中 a、b 为常数,a1=0,b1=1.

⑴若 a=1,求数列{an}与数列{bn}的通项公式; ⑵若 a ? 0, a ? 1 , 要使数列{bn}是公比不为 1 的等比数列,求 b 的值. 解:⑴∵a=1>0,∴f(x)=ax+b 在 R 上为增函数, ∴an=a·an-1+b=an-1+b,bn=bn-1+b(n≥2), ∴数列{an},{bn}都是公差为 b 的等差数列。 又 a1=0,b1=1,∴an=(n-1)b,bn=1+(n-1)b(n≥2) bn b ⑵∵a>0,bn=abn-1+b,∴ =a+ , bn-1 bn-1 b 由{bn}是等比数列知 为常数。又∵{bn}是公比不为 1 的等比数 bn-1 列,则 bn-1 不为常数,∴必有 b=0.


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