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广东省深圳市南山区2015-2016学年高二上学期期末数学(文)试卷


高 二 教 学 质 量 监 测



学(文科)

2016.01.20

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试 时间 120 分钟. 注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损. 之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位 置填写自己的学校、班级

、姓名及座位号,在信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔填涂 相应的信息点. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。 4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损,考试结束后,将答题卡交回。 5.考试不可以使用计算器.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个 选项符合 .... 题意)
1. “ x 2 ? 1 ”是“ x ? 1 ”的( A.充分不必要 C.充要 )条件 B.必要不充分 D.既不充分也不必要

2.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是 A.钝角三角 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不能确定

3.下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( ) A. x ?
2

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

C. x ?
2

y2 ?1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 2

4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 an ? 0 , q ? 1 , a3 ? a5 ? 20 , a2 a6 ? 64 ,则 S5 ? A. 48 B. 36 C. 42 D. 31

5.若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m= 2 2 m

A. 3

B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3

6. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在

( a, b) 内 的 图 象 如 图 所 示 , 则 函 数 f ( x ) 在 开 区 间 (a, b) 内极值点有
A. 1 个 C.3 个 B. 2 个 D. 4 个

7.已知命题 p:|x-1|≥2,命题 q:x∈Z,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则满 足条件的 x 为 A.{x|x≥3 或 x≤-1,x∈Z} C.{0,1,2} B.{x|-1≤x≤3,x∈Z} D.{-1,0,1,2,3}

8.在 ??? C 中,三个内角 ? ,? ,C 所对的边为 a ,b ,c ,若 S ???C ? 2 3 ,a ? b ? 6 ,

a cos ? ? b cos ? ? 2 cos C ,则 c ? c
A. 2 7 B. 2 3 C. 4 D. 3 3

9.已知数列 {an } 中 a1 ? 1 , a2 ? ? an ? A.

1 1 1 , a3 ? , a4 ? , 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2

1 ?,则数列 {an } 的前 n 项的和 sn = 1 ? 2 ? 3 ? .... ? n
B.

2n n ?1

n ?1 n

C.

n n ?1

D.

2n 2n ? 1

? x ? y ? 0, ? 10. 若 x,y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 0, ?

A. 0

B. 1

C.

3 2

D. 2

11.函数 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x (?2 ? x ? 2) 有 A.极大值 5,无极小值 C.极大值 5,极小值﹣27 12.如图, F1 、 F2 是双曲线 B.极小值﹣27,无极大值 D.极大值 5,极小值﹣11

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2

过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、B .若 ?ABF2 为 等边三角形,则双曲线的离心率为

A.4

B. 7

C.

2 3 3

D. 3

第 II 卷

非选择题(满分 90 分)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.抛物线 y ? 8x2 的焦点坐标是___________________ 14.在三角形 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A ? 600 , b ? 1 , 其面积为 3 ,则 a ? .

15.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ____________. 16.递减等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S5 ? S10 ,欲使 S n 最大,则 n = .

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)
2 17. (本题满分 10 分)已知命题 p :方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根;命题 q :方

程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若“ p 或 q ”为真,而“ p 且 q ”为假,求实数 m 的取值范围.

18 .( 本 题 12 分 ) ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ,

a cos C ? c cos A ? 2b cos A .
(1)求 A ; (2)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 ?an ? 是 等 差 数 列 , ?bn ? 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且

a1 ? 1, b1 ? 2, a2 ? b3 ? 10, a3 ? b2 ? 7 .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,记 cn ? (1 ?

Sn ) ? an, n ? N * ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 2

Tn .

20. (本题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0(a ? R) .

21. (本题满分 12 分)如图,椭圆 C : 顶点分别为点 A 、 B ,且 | AB |? (1)求椭圆 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、上 a 2 b2

5 | BF | . 2

(2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.
y B x O F A

22. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x(a ? R) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 y ? f ( x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

高二数学(文科)答案
2015.01.20 参考答案: 二、填空题 13. (0, 三、解答题 17. 解:依题意 p, q 中真假情况为:一真一假, ????1 分

1 ) 32

14.

13

15. e

16. 7或8

?? ? 0 ? p 真 ? ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ? m>2, ? x ?x ? 1 ? 0 ? 1 2
q 真 ? ? <0 ? 1<m<3, (1)若 p 假 q 真,则 ?

????3 分

????5 分 ????7 分

?m ≤ 2 ? 1<m≤2; ?1 ? m ? 3

(2)若 p 真 q 假,则 ?

?m ? 2 ? m≥3; ?m ≤1或m ≥ 3

????9 分 ????10 分

综上所述,实数 m 的取值范围为(1,2]∪[3,+∞) . 18. 解:(1)? a cos C ? c cos A ? 2b cos A ∴ sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos A 即 sin( A ? C ) ? 2sin B cos A ------3 分 又 sin( A ? C ) ? sin B ,------4 分 则 cos A ?

1 ,------5 分 2

又? 0 ? A ? ? ,∴ A ? (2) 由余弦定理,得

?
3

------6 分

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即 c ? 2c ? 3 ? 0 ------9 分
2 2

?
3

,------7 分

因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 ,------10 分 故 ?ABC 面积为

1 3 3 .------12 分 bc sin A ? 2 2
?a1 ? d ? b1q 2 ? 10 ? a1 ? 2d ? b1q ? 7

19. 解: (1)由题意得 ?

把 a1=1,b1=2 代入得 ?
2

?1 ? d ? 2q 2 ? 10 ? 1 ? 2d ? 2q ? 7

消去 d 得 2q -q-6=0, (2q+3) (q-2)=0, ∵{bn}是各项都为正数的等比数列, ∴q=2, d=1,

∴an=n,bn=2 .

n

????6 分

(2)Sn=2 cn=an· (

n+1

-2,

Sn n +1)=n·2 2
1 2 3 n

设 Tn=1·2 +2·2 +3·2 +?+n·2 , 2Tn= 1·2 +2·2 +?+(n-1) ·2 +n·2
n+1 2 3 n n+1

, ????12 分

相减,可得 Tn=(n-1) ·2

+2,

20. 解:原不等式可化为 ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0 , (Ⅰ)当 a ? 0 时, ?2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ,解集为 ( ??, 2) ; (Ⅱ)当 a ? 0 时,对应方程两根为 x1 ? 2, x2 ?

????2 分 ????4 分

2 ,由对应二次函数的图象知,解集为 a
????6 分

2 ( , 2) ; a
(Ⅲ)当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 2 ?

2 2(a ? 1) ,由对应二次函数的图象知, ? a a

①当 a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; ②当 a ? 1 时,解集为 (??, ) ? (2, ??) ; ③当 0 ? a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? ( , ??) . 综上:当 a ? 0 时,解集为 ( , 2) ; 当 a ? 0 时,解集为 ( ??, 2) ; 当 0 ? a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? ( , ??) ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, ) ? (2, ??) .

2 a

2 a

????10 分

2 a

2 a

2 a

????12 分

21. 解: (1)由已知 | AB |?

5 | BF | , 2

即 a 2 ? b2 ?

5 a , 4a 2 ? 4b2 ? 5a 2 , 2
c 3 . ? a 2
?????????? 4 分

4a 2 ? 4(a 2 ? c 2 ) ? 5a 2 ,∴ e ?

(2)由(1)知 a 2 ? 4b 2 ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 由 ? x2 ? x 2 ? 4(2 x ? 2)2 ? 4b2 ? 0 , y2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b
即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b 2 ? 0 .

? ? 322 ? 16 ? 17(b2 ? 4) ? 0 ? b ?

2 17 32 16 ? 4b 2 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . ?? 8 分 17 17 17

??? ? ???? ∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 , (或 kOP ? kOQ ? ?1 )

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2x1 ? 2)(2x2 ? 2) ? 0 , 5 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而
5(16 ? 4b2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4
2 ( x ? 0) . x 2 . 3

????????????12 分

22. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

????1 分

????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ?

1 1 1 1 时 , ? 2 , 在 区 间 (0, 2)和 ( , ??) 上 , f ?( x ) ? 0 ; 在 区 间 ( 2, ) 上 a 2 a a

f ?( x) ? 0 ,
故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) .

1 a

1 a

③当 a ? ④当 a ?

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x 1 1 1 时, 0 ? 1 ? 2 , 在 区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x ) ? 0 ; 在区间 ( , 2) 上 2 a a a

1 1 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a
????8 分 (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, a 2 a

1 1 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? ? 2 ln a . a 2a
由a ?

1 1 1 ?2 ln a ? 2 , 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 所以, 2 ln a ? ?2 , ?2 ? 2 ln a ? 0 ,f ( x)max ? 0 , 2 2 e
????12 分

综上所述, a ? ln 2 ? 1.


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