当前位置:首页 >> 数学 >> 【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第1讲 函数的基本概念课件 理 新人教A版

【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第1讲 函数的基本概念课件 理 新人教A版


第二章 函数、导数及其应用

第1讲

函数的基本概念

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1. 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域、值 域、解析式.了解映射的概念.

2. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图
象法、列表法、解析法)表示函

数. 3. 了解简单的分段函数,并能简单的应用.

1个重要思路 求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域

①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可
求出y=f(q(x))的定义域; ②若y=f(g(x))的定义域为(a,b).则求出g(x)的值域即为 f(t)的定义域.

2项必须防范 1. 函数的定义域是函数的灵魂,解决函数问题,必须优先

考虑函数的定义域.
2. 用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 4种必会方法 1. 配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于 f(g(x))的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.

2. 待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) 可用待定系数法. 3. 换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法. 1 4. 方程思想:已知关于f(x)与f( )或f(-x)的表达式,可根据 x 条件再构造出另外一等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

课前自主导学

1. 函数与映射的概念
函数 两个集合A 、B 设A、B是两个非空的 ____ 映射 设A、B是两个非空的____ 如果按照某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的 ____一个______,在集合B 中都有________的____与之 对应 那么就称对应f:A→B为从 集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B是一个映射

如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中 对应关系f 的____一个____,在集 :A→B 合B中都有________的数 ________和它对应

名称
记法

那么就称f:A→B为从集 合A到集合B的一个函数 y=f(x),x∈A

下列对应是否是从A到B的函数?

①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|;
②A=Z,B=N,f:A→B,平方; ③A=Z,B=Z,f:A→B,求算术平方根; ④A=N,B=Z,f:A→B,求平方根; ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],f:A→B,求立方.

2. 函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,________叫做函数

的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,
________________叫做函数的值域. 3. 函数的构成要素 构成函数的三要素:________、________、________.

若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?

1 (1)函数f(x)= +lg(x+1)的定义域__________. 1-x (2)函数y=x2-2x,当x∈[2,3]时,其值域为[0,3];当x ∈[0,3]时,其值域为________. (3)若f( x+1)=x,则f(x)=________.

4. 函数的表示方法

表 示 函 数 的 常 用 方 法 有 : ________ , ________ 和
________.

(1)任何一个函数都可以用三种方法表示吗? (2)以下给出的同组函数中,是否为相同函数?为什 么? ①f1:y=
?x,x>0 ? ? ?-x,x<0 ?

x x

;f2:y=1;②f1:y=|x|;f2:y=



?1,x≤1 ? ③f1:y=?2,1<x<2 ?3,x≥2 ?



f2:

x y

x≤1 1

1<x<2 2

x≥2 3

④f1:y=2x;f2:如图所示:

5. 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因________不同而分别

用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数
虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

? x,x≥0, ? (1)函数f(x)= ? 1 x ??2? ,x<0, ? 域是________. (2)设函数f(x)= ________.

的定义域是________,值

?-x,x≤0, ? ? 2 ?x ,x>0. ?

若f(a)=4,则实数a=

1. 数集

集合

任意

数x

唯一确定

f(x)

任意

元素x

唯一确定 元素y
想一想:提示:只有②是从A到B的函数,①,③,④,⑤ 不是. 对于①,A中的元素0在B中无元素和它对应,故不是函 数.

对于③,A中的负数没有算术平方根,故B中无元素和它们
对应.

对于④,A中除0外的每一个元素都有2个平方根,所以B中 有2个元素和它对应,故不是函数(当平方根为无理数时,B中无 对应元素).

对于⑤,集合A中的一些元素,如2,立方后不在集合B
中,所以在B中无元素和它对应. 2. x的取值范围A 函数值的集合{f(x)|x∈A} 3. 定义域 值域 对应关系

想一想:提示:不一定.如函数y=x与y=x+1其定义域与 值域完全相同,但不是相同函数;再如函数y=sinx与y=cosx, 其定义域与值域完全相同,但不是相同函数,因此判断两个函

数是否相同,关键是看定义域和对应关系是否相同.
填一填:(1)(-1,1)∪(1,+∞) 1,(x≥1) (2)[-1,3] (3)x2 -2x+

4. 解析法

列表法

图象法

想一想:提示:(1)不一定,有些函数不能用解析法表示,

只能用列表法或图象法表示.
(2)① 是 不 同 函 数 , ∵ 第 一 个 函 数 的 定 义 域 为 {x|x∈R , x≠0},第二个函数的定义域为R;

②是不同函数,∵第一个函数的定义域为R,第二个函数 的定义域为{x|x∈R,x≠0}; ③是同一函数.∵x与y的对应关系完全相同且定义域相

同,它们只不过是同一函数的不同方式的表示;
④是同一函数,理由同③. 5. 对应关系 填一填:(1)R [0,+∞) (2)-4或2

核心要点研究

例1 [2013· 武汉段考]下列各组函数是同一函数的是 ( ) |x| A. y= x 与y=1 B.
?x-1,x>1 ? y=|x-1|与y=? ?1-x,x<1 ?
2

C. y= x 与y= x3 x3+x D. y= 2 与y=x x +1

3

[审题视点]

判断函数的定义域、解析式是否相同,注意

函数解析式的化简. ? |x| ?1, x>0, [解析] y= x =? 排除A; ?-1,x<0, ?
?x-1,x≥1, ? y=|x-1|=? ?1-x,x<1, ?

排除B; ,y= x3=x,排除C. 3

y=

?x ?x≥0? ? 2 x =|x|=? ?-x ?x<0? ?

x3+x y= 2 与y=x定义域、对应关系均相同. x +1 [答案] D

判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对 应法则是否相同.

(1)定义域和对应法则都相同,则两个函数表示同一函数.
(2)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定 是同一函数,因为定义域、值域不能唯一地确定函数的对应 法则. (3)两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关.

[变式探究] 有以下判断:
?1,?x≥0? ? |x| (1)f(x)= 与g(x)=? 表示同一函数. x ?-1,?x<0? ?

(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个. (3)f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数. 1 (4)若f(x)=|x-1|-|x|,则f[f(2)]=0. 其中正确判断的序号是________.

答案:(2)(3)
|x| 解析:对于(1),由于函数f(x)= 的定义域为{x|x∈R且 x
?1,?x≥0? ? x≠0},而函数g(x)= ? ?-1,?x<0? ?

的定义域是R,所以二者

不是同一函数,对于(3),f(x)与g(t)的定义域、值域和对应 关系均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数,对于(2),若x= 1不是y=f(x)定义域的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有 交点,如果x=1是y=f(x)定义域内的值,

由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个 交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点.对于 1 1 1 1 (4),由于f(2)=|2-1|-|2|=0,∴f[f(2)]=f(0)=1. 综上可知,正确的判断是(2),(3).

1 例2 [2012· 山东高考](1)函数f(x)= + 4-x2 的 ln?x+1? 定义域为( ) B. (-1,0)∪(0,2] D. (-1,2]

A. [-2,0)∪(0,2] C. [-2,2]

f?2x? (2)若函数f(x)的定义域是[2,+∞),则函数y= 的 x-2 定义域是________.

[解析]

?ln?x+1?≠0, ? (1)由?x+1>0, ?4-x2≥0 ?

?x≠0, ? 得?x>-1, ?-2≤x≤2, ?

所以定义域为(-1,0)∪(0,2].

?2x≥2 ? (2)依题意有 ? ?x-2≠0 ?

,解得x≥1且x≠2,故所求函数

的定义域是{x|x≥1且x≠2}.
[答案] (1)B (2){x|x≥1且x≠2}

奇思妙想:本例(2)中的条件变为“f(x2)的定义域是[2, +∞)”,问题不变,该如何解答?
解:f(x2)的定义域为[2,+∞),可得 f(x)定义域为[4,+ ∞),
?2x≥4 ? ∴? ?x-2≠0 ?

,解得 x>2,所求函数定义域为(2,+∞).

求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有

意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可.
(2)对于复合函数求定义域问题,若已知f(x)的定义域[a,b], 其复合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.

[变式探究]

3x2 (1)[2013· 济南模拟]函数f(x)= +lg(3x 1-x

+1)的定义域是________. (2)已知函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数y=f(x)的 定义域为________.

1 答案:(-3,1) [-1,8]

解析:(1)要使函数式有意义,需满足
?1-x>0 ? ? ?3x+1>0 ?

1 ,解得-3<x<1.

1 即定义域为(-3,1). (2)∵0≤x≤3,∴0≤x2≤9,-1≤x2-1≤8. ∴函数y=f(x)的定义域为[-1,8].

例3 (1)[2013· 滨州模拟]已知函数f f(3)=( A. 8 C. 11 ) B. 9 D. 10

? 1? ?x- ? x? ?

1 =x + 2 ,则 x
2

2 (2)已知f( +1)=lgx,求f(x). x

[审题视点] (1)利用配凑法求解析式; (2)利用换元法求解析式,注意新元的取值范围.
[解析]
? 1? ? 1?2 (1)∵f?x-x ?=?x-x ? +2,∴f(3)=9+2=11. ? ? ? ?

2 2 2 (2)令 +1=t(t>1),则x= ,所以f(t)=lg ,所以 x t-1 t-1 2 f(x)=lg (x>1). x-1 [答案] (1)C (2)见解析

1 1 2 奇思妙想: 本例函数若变为 f(x+x )=x +x2, f(3)的值 则 又等于多少?
1 12 解:f(x+ )=(x+ ) -2, x x ∴f(3)=32-2=7.

已知f[g(x)]的表达式,求f(x)的解析式时,通常用换元法, 即令g(x)=t,从中解出x=φ(t),代入原式中即可得到f(t).有

时,还可使用拼凑法,即在原表达式中拼凑出“g(x)”,再将
g(x)换为x即可.同时注意标明定义域.

[变式探究] 3,求f(x).

(1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+

(2)已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)的解析式; 1 (3)已知f(x)满足2f(x)+f(x )=3x,求f(x)的解析式.

解:(1)(待定系数法)∵f(x)是一次函数, 故设f(x)=kx+b(k≠0), ∴f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 又∵f[f(x)]=4x+3, ∴k2x+kb+b=4x+3,
?k2=4, ? 故? ?kb+b=3, ? ?k=2, ? 解得? ?b=1, ? ?k=-2, ? 或? ?b=-3. ?

∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.

(2)∵f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x, 设1-cosx=t(0≤t≤2),则cosx=1-t, ∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2). 故f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).

1 (3)∵2f(x)+f( )=3x① x 1 1 3 ∴将x用x 替换,用2f(x )+f(x)= x,② 1 由①②解得f(x)=2x-x (x≠0), 1 即f(x)的解析式是f(x)=2x- (x≠0). x

例4 [2012· 江苏高考]设f(x)是定义在R上且周期为2的 ?ax+1,-1≤x<0, ? 函数,在区间[-1,1]上,f(x)= ?bx+2 ? x+1 ,0≤x≤1, ?
?1? ?3? a,b∈R.若f?2?=f?2?,则a+3b的值为________. ? ? ? ?

其中

[审题视点] 的方程组破解.
[解析]

考虑定义域的限制条件,分别代入构建a、b
1 2 1 2

由题f(

)=f(-

),f(-1)=f(1),解得

3 ? ?b=- a-1, 2 ? ?b=-2a, ?

?a=2, ? ? ?b=-4, ?

则a+3b=-10.

[答案] -10

求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相

应段的解析式求解,有时每段交替使用求值.若给出函数值或
函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段 的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应 段的自变量的取值范围.

[变式探究] [2013· 唐山检测]设函数f(x)=
?x2-4x+6,x≥0 ? ? ?x+6,x<0 ?

,则不等式f(x)>f(1)的解集是(

)

A. (-3,1)∪(3,+∞) C. (-1,1)∪(3,+∞)

B. (-3,1)∪(2,+∞) D. (-∞,-3)∪(1,3)

答案:A 解 析 : 当 x≥0 时 , f(x)>f(1) = 3 , 即 x2 - 4x + 6>3 , 解 得

0≤x<1 或 x>3 ; 当 x<0 时 , f(x)>f(1) = 3 , 即 x + 6>3 , 解 得 -
3<x<0.故f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 [2011· 江苏高考]已知实数a≠0,函数f(x)=
?2x+a,x<1, ? ? ?-x-2a,x≥1. ?

若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.

[规范解答] 当a<0时,1-a>1,1+a<1,所以f(1-a)=-(1 -a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 3 因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-4. 当a>0时,1-a<1,1+a>1,所以f(1-a)=2(1-a)+a=2- a;f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 3 因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-3a-1,所以a=- 2 (舍 去). 3 综上,满足条件的a=- . 4 3 [答案] -4

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 讨论1-a,1+a与1的大小关系,确定f(1-a)与f(1+a)的表 达式,建立关于a的方程求解,求出a值后,要注意检验. No.2 角度关键词:方法突破 解答本题利用了分类讨论思想,分类讨论思想是将一个较 复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基 础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.因f(x)为分段函 数,要表示f(1-a)和f(1+a)时,要对自变量1-a和1+a的范围

进行分类讨论,才能选取不同的关系式.

经典演练提能

1. [2012· 安徽高考]下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ... ( ) A. f(x)=|x| C. f(x)=x+1 B. f(x)=x-|x| D. f(x)=-x

答案:C 解析:只有C不满足,∵f(2x)=2x+1,而2f(x)=2x+2, ∴f(2x)≠2f(x).

?1,x>0, ? 2. [2012· 福建高考]设f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
?1,x为有理数, ? ? ?0,x为无理数, ?

g(x)=

则f(g(π))的值为( B.0 D. π

)

A. 1 C. -1
答案:B

解析:∵g(π)=0,∴f(g(π))=f(0)=0.

3. [2012·银川联考]设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A. g(x)=2x+1 ) B. g(x)=2x-1

C. g(x)=2x-3
答案:B

D. g(x)=2x+7

解析:g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以g(x)=2x-1.

4. [2012· 江西高考]下列函数中,与函数y= 同的函数为( 1 A. y= sinx C. y=xe
x

1 3 x

定义域相

) lnx B. y= x sinx D. y= x

答案:D

解析:因为y=

1 3 x

的定义域为{x|x≠0},

1 lnx 而y=sinx的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y= x 的定义域 为{x|x>0},y=xe 的定义域为R,y= {x|x≠0},故D项正确.
x

sinx x

的定义域为

5.

[2012· 江苏高考]函数f(x)=

1-2log6x 的定义域为

________.
答案:(0, 6]
解析:要使函数f(x)=
?1-2log x≥0, ? 6 ? ?x>0, ?

1-2log6x

有意义,则需

解得0<x≤

6 ,故f(x)的定义域为(0,

6].


更多相关文档:

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.1函数的概念随堂练...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.1函数的概念随堂练习 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】2015-2016 高中数学 1.2.1 函数的概念随堂...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.1对数函数的定义...

【金版教程】 2015-2016 高中数学 2.2.2.1 对数函数的定义及简 单性质随堂练习 新人教 A 版必修 1 1.函数 f(x)= A.[5,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.1函数的概念课后课...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.1函数的概念课后课时精练 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 1.2.1 函数的概念...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.2.2分段函数与映射...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.2.2分段函数与映射随堂练习 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 1.2.2.2 分段...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.2.1函数的表示法随...

【金版教程】2015-2016高中数学 1.2.2.1函数的表示法随堂练习 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 1.2.2.1 函数...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.1对数函数的定义...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.1对数函数的定义及简单性质课后课时精练 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 2...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.1.2.2指数函数图象与...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.1.2.2指数函数图象与性质的应用课后课时精练 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 2...

【金版教程】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第...

【金版教程】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数第2课时弧度制检测试题 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】2014-2015 学年高中数学 第...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.2对数函数的图象...

【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.2对数函数的图象及性质的应用随堂练习 新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。【金版教程】 2015-2016 高中数学 2....

【金版教程】2016高考数学一轮复习 第二章 第十节 函数...

【金版教程】2016高考数学一复习 第二章 第十节 函数模型及其应用课时作业 文(含解析)_数学_高中教育_教育专区。第十节题号 答案 1 2 函数模型及其应用 3...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com