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新课标高一数学——函数奇偶性经典高考必考例题(精华)2


函数的奇偶性典型例题
一、关于函数的奇偶性的定义.
定义说明:对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x : ⑴ f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 是偶函数; ⑵ f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 奇函数; 函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。

二、函

数的奇偶性的几个性质
①、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; ③、可逆性: f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 是偶函数;
f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 奇函数;

④、等价性: f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0
f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0

⑤、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; ⑥、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法: 第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查 f ( x ) 是否与 ? f ( x ) 、 f ( x ) 相等,判断步骤 如下: ①、定义域是否关于原点对称; ②、数量关系 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 哪个成立;

例 1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x ) ? x ? 2 x
3

⑵、 f ( x ) ? 2 x ? 3 x
4

2

⑶、 f ( x ) ?

x ? x
3

2

x ?1

⑷、 f ( x ) ? x

2

x ? ?? 1, 2 ?
1

⑸、 f ( x ) ?

x?2 ?

2? x

⑹、 f ( x ) ?

x ?1 ?
2

1? x

2

解:⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数

⑶为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数

注:教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
? x 2 ( x ? 0)
2 ?? x ( x ? 0)

例 2:判断函数 f ( x ) ? ?
解 : f (0) ? 0
2

的奇偶性。

? ? f (x)
2

当 x ? 0 , 即 ? x ? 0时 , 有 f ( ? x ) ? ? ( ? x ) 当 x ? 0 , 即 ? x ? 0时 , 有 f ( ? x ) ? ( ? x )
2

? ?x

2

? ? f (x)
2

? ?(? x)

? ? f (x)

? 总有 f ( ? x ) ? f ( x ), 故 f ( x )为奇函数 .

第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为 空集) :两个奇函数的代数和是奇函数;两个偶函数的和是偶函数;奇函数与偶函数的和既不非 奇函数也非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;奇函数与偶函数的 积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题 1

函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点 可以由奇偶性定义直接得出。

命题 2

两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定 义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如 f(x)=x(x∈ 〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕),可以看出函数 f(x)与 g(x)都是定义域上的函数,它们的差 只在区间〔-1,1〕上有定义且 f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数 f(x)-g(x)既是奇函数又是偶 函数。

命题 3

f(x)是任意函数,那么|f(x)|与 f(|x|)都是偶函数。
? f ( x ), ( f ( x ) ? 0

此 命 题 错 误 。 一 方 面 , 对 于 函 数 |f(x)|= ?

? ? f ( x ), ( f ( x ) ? 0 ),

不 能 保 证 f(-x)=f(x) 或

f(-x)=-f(x);另一方面,对于一个任意函数 f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称。 如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数 f(|x|)是偶函数。

命题 4 如果函数 f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么函数 f(x)是奇函数或偶 函数。
2

此命题错误。如函数 f(x)= ?

?
2

x,( x ? 2n, n ? N )

? x , ( x ? 2 n ? 1, n ? N )

从图像上看,f(x)的图像既不关于原点

对称,也不关于 y 轴对称,故此函数非奇非偶。 命题 5 函数 f(x)+f(-x)是偶函数,函数 f(x)-f(-x)是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。 命题 6 已知函数 f(x)是奇函数,且 f(0)有定义,则 f(0)=0。 此命题正确。由奇函数的定义易证。 命题 7 已知 f(x)是奇函数或偶函数,方程 f(x)=0 有实根,那么方程 f(x)=0 的所有实根 之和为零;若 f(x)是定义在实数集上的奇函数,则方程 f(x)=0 有奇数个实根。 此命题正确。方程 f(x)=0 的实数根即为函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标,由奇偶性的定 义可知:若 f(x0)=0,则 f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有 f(0)=0。故原命 题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、 ④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
例 1:已知偶函数 y ? f ( x ) 在 y 轴右则时的图像如图(一)试画出函数 y 轴右则的图像。 Y Y 1 1 1 2 0 X -2 -1 1 2 X 图(一)

图(二)

七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例 1:已知 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f ( ? 2 ) ? 10 ,那么 f ( 2 ) ?
5 3

2、利用奇偶性比较大小 例 2:已知偶函数 f ( x ) 在 ? ? ? , 0 ? 上为减函数,比较 f ( ? 5 ) , f (1) , f ( 3 ) 的大小。
3

3.利用奇偶性求解析式 例 3:已知 f ( x ) 为偶函数 当 0 ? x ? 1时 , f ( x ) ? 1 ? x , 当 ? 1 ? x ? 0时 ,求 f ( x ) 的解析式?

4、利用奇偶性讨论函数的单调性 例 4:若 f ( x ) ? ( k ? 2 ) x ? ( k ? 3 ) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x ) 的单调区间?
2

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性 例 5:已知函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ( a ? 0 ) 是偶函数,判断 g ( x ) ? ax

3

? bx

2

? cx 的奇偶

性。

6、利用奇偶性求参数的值 例 6: 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 是单调递减, f ( 2 a ? a ? 1) ? f ( 3 a ? 2 a ? 1) , 若
2 2

则 a 的取值范围是如何?

7、利用图像解题 例 7 2004.上海理) ( 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5] 时, 是 8.利用定义解题 例 8.已知函数 f ( x ) ? a ?
1 2 ?1
x

f(x) 的 图 象 如 右 图 , .

则 不 等 式 f ?x ? ? 0 的 解

. ,若 f

? x ? 为奇函数,则 a ? ________。

4


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