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2012全国高中数学联赛试题及详细解析


2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图 像上任意一点,过点 P 分别向 x 直线 y ? x 和 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是_____________.
1.设 P 是函数 y ? x ?

6

.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ?[a, a ? 2] , 不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________.

?

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是_____________. 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C, D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从
7.满 足 上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使 用 A 种密码的概率是_____________.(用最简分数表示) 二、 解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使 得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的 正整数 n , 都有

(a1 ? a2 ?

3 ? an )2 ? a13 ? a2 ?

3 ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题 满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

点 C 的轨迹.

三、(本题满分 50 分) , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 设P 0, P 1, P 2, 求证: P 0P 1 ? P 0P 2 ?

d P0 Pn ? ( )n (n ? 1)! 3

四、(本题满分 50 分) 设 Sn ? 1 ?

1 1 ? ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a, b ,数列 2 n {Sn ? [ Sn ]} 中有无穷多项属于 (a, b) .这里, [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.

[来源:21 世纪教育网]

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题 参考答案及详细评分标准(A卷word版) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ? 轴作垂线,垂 足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是 .

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y x

2. 则

设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? .

3 c, 5

tan A 的值是 tan B

【答案】4

[来源:21 世纪教育网]

3.设 x, y, z ?[0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值 是 【答案】 2 ? 1 因为
[21世纪教育网]

.

【解析】不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 所以 M ?

y ? x ? z ? y ? z ? x.

y ? x ? z ? y ? 2[( y ? x) ? ( z ? y)] ? 2( z ? x).

2( z ? x) ? z ? x ? ( 2 ? 1) z ? x ? 2 ? 1. 1 当且仅当 y ? x ? z ? y, x ? 0, z ? 1, y ? 时上式等号同时成立.故 M max ? 2 ? 1. 2
4.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为l, A, B 是抛物线上的两个动点,且满足
2

?AFB ?


| MN | ? .设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则 的最大值 3 | AB |
.

【答案】1

21世纪教育网

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN ?
2 2 2

AF ? BF . 2

在 ?AFB 中,由余弦定理得 AB ? AF ? BF ? 2 AF ? BF cos

?

3

? ( AF ? BF )2 ? 3 AF ? BF ? ( AF ? BF )2 ? 3(
?( AF ? BF 2 2 ) ? MN . 2

AF ? BF 2 ) 2

当且仅当 AF ? BF 时等号成立.故

MN 的最大值为1. AB

5. 设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球. 若正三棱锥 P ? ABC 的 侧面与底面所成的角为 45 ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值 是 .

6. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ?[a, a ? 2] , 不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【答案】 [ 2, ??). .

?

7.满足

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3



【答案】33 【解析】由正弦函数的凸性,有当 x ? (0,

?
6

) 时,

3

?

x ? sin x ? x, 由此得

1 ? 3 ? 1 ? ,sin ? ? ? , 13 13 4 12 ? 12 4 ? ? 1 ? 3 ? 1 sin ? ? ,sin ? ? ? . 所以 10 10 3 9 ? 9 3 ? 1 ? ? ? 1 ? sin ? ? sin ? sin ? sin ? ? sin . 13 4 12 11 10 3 9 1 ? 1 故满足 ? sin ? 的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 33 . 4 n 3 sin ?
8.某情报站有 A, B, C, D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地随 机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也 使用A种密码的概率是 .(用最简分数表示)

?

?

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10.(本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n , 都有

(a1 ? a2 ?

3 ? an )2 ? a13 ? a2 ?

3 ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的 数列 a1 , a2 , a3 ;

(2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证 : | OA | ? | OC | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

点 C 的轨迹. 【解 析】因为 OB ? OD , AB ? AD ? BC ? CD , 所以 O, A, C 三点共线 如图,连结 BD ,则 BD 垂直平分线段 AC ,设垂足为 K ,于是有

OA ? OC ? ( OK ? AK )( OK ? AK )
? OK ? AK ? ( OB ? BK ) ? ( AB ? BK ) ? OB ? AB ? 62 ? 42 ? 20 ( 定
值) (2)设 C ( x, y), A(2 ? 2cos ? , 2sin ? ), 其中 ? ? ?XMA(?
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ?XOC ?

?
2

.

因为 OA ? (2 ? 2cos ? ) ? (2sin ? ) ? 8(1 ? cos ? ) ? 16cos 由(1)的结论得 OC cos

?
2

, 所以 OA ? 4cos

?
2

?
2

? 5, 所以 x ? OC cos

?
2

? 5. 从而

y ? OC sin

?
2

? 5 tan

?

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A(5,5), B(5, ?5)

2

? [?5,5].

2012 年全国高中数学联赛加试试题(
21 世纪教育网

A 卷)

一、(本题满分40分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC, M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN . 设 ?ABC 和 ?AMN 的外心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。

证法一:令 b ? mx, b ? 1 ? 2 由 于 (2
k ?1

k ?1

y, 消去 b 得 2k ?1 y ? mx ? 1.

k ?1 ? ? x ? x0 ? 2 t 其中 t ? z,( x0 , y0 ) 为方程的特解. , m) ? 1, 这方程必有整数解; ? y ? y ? mt ? 0 ? ? k ?1 ? ? ? 把 最小的 正整数 解记为 ( x , y ), 则 x ? 2 , 故 b ? mx ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2a 的倍

数.……40 分 证法二:由于 (2
k ?1

, m) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0(mod 2 ) k ?1 在区间 (0, 2 m) 上有解 x ? b, 即存在 b ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2a 的倍 ? ? x ? m ? 1(mod m)
k ?1

数.…………40 分 证 法 三 : 由 于 (2, m) ? 1, 总 存 在 r (r ? N , r ? m ? 1), 使 2 ? 1(mod m) 取 t ? N , 使
r ? ?

tr ? k ? 1, 则 2tr ? 1(mod m) tr k ?1 存在 b ? (2 ? 1) ? q ? (2 m) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2a ? 1, k ?1 此时 m b , 2 m ? 1, 因而 b(b ? 1) 是 2a 的倍数.……………40 分

三、(本题满分50分) 设P , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 0, P 1, P 2, 求证: P 0P 1 ? P 0P 2 ?

d P0 Pn ? ( )n (n ? 1)! 3

四、(本题满分50分) 设 Sn ? 1 ?

1 1 ? ? ,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a, b ,数列 2 n {Sn ? [ Sn ]} 中有无穷多项属于 (a, b) .这里, [ x] 表示不超过实数x的最大整数.
?

【解析】证法一:(1)对任意 n ? N ,有

1 1 1 1 1 1 1 1 S2n ? 1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n?1 ? ? n ) 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ( n ? ? n ) ? 1? ? ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2

证法二:(1) S2n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? n 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n?1 ? ? n ) ? 1 ? ? ( 2 ? 2 ) ? 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? n 2 2 2 2

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1 ? 2n

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