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数学:第一章


?章末归纳总结

? 一、集合的概念与表示,集合间的关系与运 算. ? 1.理解用描述法表示的集合中元素的属性 是解决集合问题的重要基本功. ? [例1] (1)集合A={y|y=x},B={y|y=x2}, 则A∩B=________. ? (2)集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2}, 则A∩B=________. ? [解析]

(1)集合A是函数y=x的值域,∴A= R,集合B是函数y=x2的值域,∴B={y|y≥0}, ∴A∩B={y|y≥0}.故填{y|y≥0}.

(2)集合 A 是直线 y=x 上的点的集合,集合 B 是抛物线 y=x2 的图象上点的集合, ∴A∩B
?y=x ? 是方程组? 2 ?y=x ?

的解为坐

标的点的集合,∴A∩B={(0,0),(1,1)}.

? 2.熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间 的关系与运算能起到事半功倍的效果. ? [例2] 集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+ p<0} , 若 B?A , 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 ________.

p ∴结合数轴可知-4≤-1,∴p≥4. p [解析] B={x|x<-4},∵B? A,

? [例3] 设全集U={a,b,c,d,e},若A∩B ={b},(?UA)∩B={d},(?UA)∩(?UB)={a, e},则下列结论中正确的为 ( ) ? A.c∈A且c∈B B.c∈A且c?B ? C.c?A且c∈B D.c?A且c?B ? [答案] B

? [解析] 画出Venn图如图,依次据条件将元 素填入,A∩B={b},故b填在A与B公共部分, (?UA)∩B={d},故d填在A圈外,B圈内,又 (?UA)∩(?UB)={a,e},∴a,e填在A、B两 圈外,只剩下一元素c不能填在上述三个位 置,故应填在A内B外,∴c∈A且c?B,选B.

[例 4]

b 集合 A={a,a,1},B={a2,a+b,0},若 A=

B,则 a2009+b2010=________.

? 3.含字母的集合的相等、包含、运算关系 问题常常要进行分类讨论.讨论时要特别注 意集合元素的互异性.
[解析] ?b ?b ? =0 ? =0 a 由条件知? ,或?a , ?a2=1 ?a+b=1 ? ?

?a=± 1 ? ∴? ?b=0 ?

?a=-1 ? ,但由互异性知,a≠1,∴? ?b=0 ?



∴a2009+b2010=-1.

? 4.空集是任何集合的子集,解题时要特别 注意. 1 [解析] ①当 Δ=1-4a<0,即 a>4时,A=?,满足 A? B; 2 +x+a=0},B={- ? [例5] 集合A={x|x 2,1} , 若即 a=1时,A={-1},不合题意. 围 是 A?B , 则 实 数 a 的 取 值 范 ②当 Δ=0 2 ________. 4
③当 Δ>0 时,集合 A 中有两相异元素,故 A? 不可能成 B 1 立,综上所述 a> . 4

? 5.新定义集合,关键是理解“定义”的含 义,弄清集合中的元素是什么. ? [例6] A、B都是非空集合,定义A*B={x|x =a·b+a+b,a∈A,b∈B且b?A∩B},若A ={1,2},B={0,2,3},则A*B中元素的和为 ________. ? [解析] 由A*B的定义知,a可取1,2,b可取 0,3,A*B中的元素x=ab+a+b, ? ∴A*B={1,7,2,11},其元素之和为21.

? 6.熟练掌握A?B?A∩B=A?A∪B=B及集 合的运算是解决一些集合问题的基础. ? [ 例 7] (1) 如 果 全 集 U = {x|x2 - 5x - 6<0 , x∈N + } , A = {2,3} , B = {1,3,5} , 则 ?U(A∪B)=________,A∩?UB=________. ? (2)设A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},且 A∩B=B,则实数a的值为 ( ) ? A.1 B.-1 ? C.1或-1 D.1,-1或0

? [解析] (1)∵U={x|(x-b)(x+1)<0,x∈N +} ={x|-1<x<6,x∈N + }={1,2,3,4,5},A∪B ={1,2,3,5}, ? ∴? U(A∪B)={4},A∩?UB={2,3}∩{2,4}= {2}. ? 故依次填{4},{2}. ? (2)当a=0时,B=? ,A∩B=B;
1 当 a≠0 时,应有 a=a,∴a=± 1.故选 D.

? 二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 最值及应用 ? 1.解决函数问题必须首先弄清函数的定义 域
[ 例 1] ________. 函 数 f(x) = x2+4x 的 单 调 增 区 间 为

? [解析] 由x2 +4x≥0得,x≤-4或x≥0,又二 次函数u=x2+4x的对称轴为x=-2,开口向 上,故f(x)的增区间为[0,+∞).

? 2.求复合函数的定义域,关键是深刻理解 “函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”.

[解析]

(1)∵0≤x≤1 时,f(x)有意义,

∴要使 f(2x-1)有意义. 1 须 0≤2x-1≤1,∴2≤x≤1, 1 故所求定义域为[2,1]. (2)∵0≤x≤1,∴2≤x+2≤3,∴使 f(x)有意义的 x 的允 许取值范围是 2≤x≤3,故所求定义域为[2,3].

? [点评] 注意上面的虚线箭头,(1)中前面的 x与后面的2x-1取值范围相同,都是[0,1], (2)中前面的x+2与后面的x的取值范围相同, 而x+2中的“x”允许取值范围是[0,1].

? 3.熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数等的图
? ? ? ?

?

象特征.熟练判断函数的单调性、奇偶性,了解常见对 称特征和平移. (1)y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称; (2)y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称; (3)y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称; (4)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴 对称; (5)如果函数y=f(x)对定义域内的一切x值,都满足f(a+x) =f(a-x),其中a是常数,那么函数y=f(x)的图象关于 直线x=a对称.

? (6)将y=f(x)的图象上各点向右(左)平移a(a>0)个 单位,可以得到函数y=f(x-a)(y=f(x+a))的图 象. ? 将y=f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a>0)个单 位,可以得到y=f(x)+a(或y=f(x)-a)的图象. ? (7)y=|f(x)|的图象可由y=f(x)的图象位于x轴及 上方的部分不变,下方图象作关于x轴的对称翻 折而得到. ? y=f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y=f(x)图象 相同,而y=f(|x|)是偶函数,再在y轴左侧作右 侧部分的对称图形即可.

? [例3] 已知函数f(x)=x2 +2ax+2,x∈[- 5,5]. ? (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小 值; ? (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[- 5,5]上是单调函数. ? [分析] 第(1)问,将a=-1代入,根据二次 函数的图象得出结论;第(2)问,根据二次函 数的对称轴的位置确定单调性.

? ? ? ? ? ?

[解析] (1)当a=-1时, f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], ∵f(x)的对称轴为x=1. ∴x=1时,f(x)取最小值1; x=-5时,f(x)取最大值37. (2)f(x)=x2 +2ax+2=(x+a)2 +2-a2 的对称 轴为x=-a,∵f(x)在[-5,5]上是单调函数. ? ∴-a≤-5,或-a≥5,即a≤-5,或a≥5.

? 三、注重数学思想与方法的提炼与掌握,养 成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问 题的思维习惯 ? 1.数形结合的思想 ? [例1] 设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3). ? (1)证明f(x)是偶函数; ? (2)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个 单调区间上f(x)是增函数还是减函数; ? (3)求函数的值域.

? ? ? ? ?

[解析] (1)f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 根据二次函数的作图方法,可得函数图象, 如下图所示

?(x-1)2-2,x≥0, ? f(x)=? ?(x+1)2-2,x<0. ?

? 函数f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0), [0,1),[1,3]. ? f(x)在区间[-3,-1],[0,1]上为减函数,在 [-1,0),[1,3]上为增函数. ? (3)当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2 -2的最小值 为-2,最大值为f(3)=2. ? 当x<0时,函数f(x)=(x+1)2 -2的最小值为 -2,最大值为f(-3)=2; ? 故函数f(x)的值域为[-2,2].

[例2] 已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个 不相等的实数根则实数m的取值范围是__. ? [解析] 设y1 =x2 -4|x|+5,y2 =m,由于y1 =x2-4|x|+5为偶函数,画出x≥0的图象,再 由 对 称 性 可 画 出 x<0 时 的 图 象 , 由 图 可 见 1<m<5时方程有4个根.∴1<m<5.

? [例3] f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上为增 函数,f(4)=0,则xf(x)>0的解集为 ( ) ? A.(-∞,-4)∪(4,+∞) ? B.(-4,0)∪(0,4) ? C.(-∞,-4)∪(0,4) ? D.(-4,0)∪(4,+∞)

[解析]
?x<0 ? ? ?f(x)<0 ?

?x>0 ? 作 出 示 意 图 如 图 , xf(x)>0 ? ? ?f(x)>0 ?



,∴x>4 或-4<x<0.故选 D.

? [例4] 函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两 个公共点,则实数a的取值范围是 ( ) ? A.(1,+∞) ? B.(-1,1) ? C.(-∞,-1]∪[1,∞) ? D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ? [解析] 画出y=a|x|与y=x+a的图象.
情形
?a>0 ? 1:? ?a>1 ?

?a>1

情形

?a<0 ? 2:? ?a<-1 ?

?a<-1.故选 D.

? 2.函数与方程的思想
? 函数与方程可以相互转化,注意运用函数与方 程的思想解决问题 ? 要 特 别 注 意 掌 握 一 元 二 次 方 程 ax2 + bx + c = 0(a≠0)的根的分布
讨论一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)(※)的根的分 布情况可以用(1)判别式(Δ=b2-4ac)与韦达定理(x1+x2= b c -a,x1·2=a)或(2)构造函数(f(x)=ax2+bx+c)结合图象和 x 求根公式两种思路来讨论.

? ①方程(※)有两不等实根?Δ>0,方程(※)有 两相等实根?Δ=0,方程(※)无实根?Δ<0, 方程(※)有实数解?Δ≥0. ? ②方程(※)有零根?c=0.
?Δ≥0 ? ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ? ?x1+x2>0 ?x x >0 ? 1 2 ? ?- b >0 ? 2a -b- Δ >0 (a>0) ??f(0)>0 2a ? ?Δ≥0 ? ?较小的根 x=

.

?Δ≥0 ? ④ 方 程 (※) 有 两 负 根 ? ?x1+x2<0 ?x x >0 ? 1 2 ? b ?- <0 ? 2a -b+ Δ <0??f(0)>0 2a ? ?Δ≥0 ?

?较大的根 x=

.

?Δ>0 ? ⑤方程(※)有一正一负两实根?? ?x1x2<0 ?

?f(0)<0.

方 程 (※) 有 一 正 一 负 两 实 根 且 正 根 绝 对 值 较 大 ? ?Δ>0 ? ?x1x2<0 ?x +x >0 ? 1 2 ?f(0)<0 ? ?? b . ?-2a>0 ?

方 程 (※) 有 一 正 一 负 两 实 根 且 负 根 绝 对 值 较 大 ? ?Δ>0 ? ?x1x2<0 ?x +x <0 ? 1 2 ?f(0)<0 ? ?? b . ?-2a<0 ?

⑥方程(※)的两根都在区间 A=[m, n]内(A 是其它区间时 b ? ?m≤-2a≤n ? 类似讨论)??Δ≥0 ?f(m)≥0 ? ?f(n)≥0

.

方 程 (※) 有 且 仅 有 一 个 实 根 在 区 间 A = [m , n] 内 ? f(m)· f(n)<0. 方程(※)两根 x1,x2 满足
?f(m)>0 ? m<x1<n<x2?? ?f(n)<0, ?

方程(※)两根都在区间 A=[m,n]外? ?Δ≥0 ? ? b ?- <m ? 2a ?f(m)>0 ? ?Δ≥0 ? ? b 或?- >n ? 2a ?f(n)>0 ?

.

? 一元二次方程根的分布比较复杂,以上仅列 出了一些常见情形,只要抓住根的判别式、 韦达定理、根的表达式和相应函数的图象, 进行综合考察,总能顺利解决.

? [例5] 若函数f(x)的定义域为R,且满足f(x) -2f(-x)=3x,则f(x)必为( ) ? A.奇函数而不是偶函数 ? B.偶函数而不是奇函数 ? C.既是奇函数又是偶函数 ? D.既不是奇函数也不是偶函数 ? [解析] ∵f(x)-2f(-x)=3x对任意x∈R成立, ∴f(-x)-2f(x)=-3x,解得f(x)=x. ? ∵f(-x)=-f(x), ? ∴f(x)必为奇函数.故选A.

? [点评] 将关于函数f(x)的关系式f(x)-2f(-x) 视作关于f(x)与f(-x)的“二元一次方程”, 利用恒成立,再构造一个“二元一次方程” 解方程组,足见转换看问题的角度的威力.

? [例6] 已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0 的两实根一个小于1,另一个大于1,则实数 k的取值范围是( ) ? A.k>0 B.k<-4 ? C.-4<k<0 D.k<-4或k>0 ? [解析] 设f(x)=2kx2-2x-3k-2, ? 由题意知kf(1)<0,∴k(k+4)>0, ? ∴k>0或k<-4,故选D.

[ 例 7]

3 若 关 于 x 的 不 等 式 x >ax + 的 解 集 为 2

{x|4<x<b},求 a、b 的值.
[解析] 运用方程与不等式的关系可知, 和 b 是方程 x 4

3 =ax+ 的两根, 2 3 ? ? 4=4a+2 ∴? ? b=ab+3 2 ?

1 ,∴a=8,b=36.

? 3.分类讨论的思想 ? 在求解数学问题中,遇到下列情形常常要进 行分类讨论. ? ①涉及的数学概念是分类定义的; ? ②运用的数学定理、公式或运算性质、法则 是分类给出的; ? ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种 可能性; ? ④由运算的限制条件引起的分类. ? ⑤由实际问题的实际意义引起的分类.

? ⑥数学问题中含有参变量,这些参变量的不 同取值会导致不同的结果. ? ⑦较复杂的或非常规的数学问题,需要采取 分类讨论的解题策略来解决的. ? ⑧由图形的不确定性引起分类

? [例8] 若f(x)=(m+1)x2 -(m+1)x+3(m- 1)<0对一切实数x恒成立,则m的取值范围 ( ) ? A.(-1,+∞) ? B.(-∞,-1)
?13 ? C.(-∞,-1]∪?12,+∞? ? ? ?13 ? D.(-∞,-1]∪?12,+∞? ? ?

? [解析] 当m+1=0时,显然成立 ? 当m+1<0时,Δ<0
13 ∴m<-1 或 m>12,故选 D.

? [点评] f(x)=ax2+bx+c不一定是x的二次函 数,只有a≠0时才是.故解决这类含参数系 数的问题应注意分类讨论.

? [例9] 设集合A={x-y,x+y,xy},B= {x2+y2,x2-y2,0},且A=B,求实数x和y的 值及集合A、B. ? [解析] ∵A=B,0∈B,∴0∈A, ? 若x+y=0,或x-y=0,则x2-y2=0与集合 元素的互异性矛盾,∴x+y≠0且x-y≠0, ∴xy=0,∴x=0或y=0, ? 若y=0,则与集合元素的互异性矛盾,∴x =0,A={-y,y,0},B={y2,-y2,0}, 2 2 ? ?
由 A=B
?-y=y 得? ?y=-y2 ? ?-y=-y 或? ?y=y2 ?



∵y≠0,∴y=1 或-1,

?x=0 ? 即? ?y=1 ?

?x=0 ? 或? ?y=-1 ?

,此时 A=B={1,-1,0}.

? [点评] 观察能力是学习数学必须培养的一 种重要能力.审题时,注意观察分析,找出 解决问题的关键所在,本题中A=B,0∈B, 即是解题的突破口.

? 4.转化与化归的思想 ? 在处理问题时,把待解决或难解决的问题, 采用某种手段通过某种转化过程,将问题进 行变换和转化,归结为一类已经解决或容易 解决的熟知问题,进而实现解决问题的目的, 就是转化与化归的思想方法.这种思想方法 一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问 题,把抽象的问题转化为具体的问题,把未 知的问题转化为已知的问题,把难解的问题 转化为容易求解的问题,从而找到解决问题 的突破口,转化在高中数学中具有神奇的威 力,要在今后的学习中不断体会、总结、积 累,逐步形成能力.

? [例10] 函数y=f(x)是R上的偶函数,且在 (-∞,0]上是增函数,若f(a)≤f(2),则实数a 的取值范围是 ( ) ? A.a≤2 B.a≥-2 ? C.-2≤a≤2 D.a≤-2或a≥2 ? [解析] ∵f(x)为偶函数, ? ∴f(a)≤f(2)?f(|a|)≤f(2), ? ∵f(x)在(-∞,0]上单增,∴f(x)在[0,+∞) 上单减,∴|a|≥2,∴a≥2或a≤-2,选D.

? [例11] 已知a>2,b>2,比较a+b与ab的大 小. ? [解析] 令a=2+x,b=2+y,则x>0,y>0, ? ∴ab-(a+b)=(2+x)(2+y)-(4+x+y)=x +y+xy>0,∴ab>a+b. ? [点评] 将a>2,b>2的条件量化,化不等关 系为相等关系,转化为数的正负判断,促成 了问题的解决.

? [例12] 定义在R上的奇函数f(x)为增函数, 偶函数g(x)在[0,+∞)上的图象与f(x)的图象 重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成 立的是 ( ) ? ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ? ② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ? ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ? ④ f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). ? A.①④ B.②③ ? C.①③ D.②④

? [解析] 本题中的函数比较抽象,直接根据 已知条件来选正确结论有困难,不妨将满足 条件的函数具体化. ? 令f(x)=x,g(x)=|x|,并设a=2,b=1 ? 则f(a)=g(±a)=2,f(b)=g(±b)=1,f(-2) =-2,f(-1)=-1.代入检验易知①③正 确.故选C.

[例 13] 取值范围是

3 方程 x -2x=k 在[-1,1]上有实根,则实数 k 的
2

( 9 B.[-16,3] 9 5 D.[- , ] 16 2

)

5 3 A.[-32,2] 3 2 C.[- , ] 14 3

[解析]

3 由题意可知,k 在 x -2x (-1≤x≤1)的取值
2

范围内时,方程有实根, 3 9 5 ∵f(x)=x - x,x∈[-1,1]的值域[- , ], 2 16 2
2

9 5 ∴k∈[- , ].∴选 D. 16 2

[点评]
2

3 ①本题中,∵方程 x - x=k 有实根,∴k 必在 2
2

3 函数 y=x -2x 的值域内,从而将方程有解的问题,等价转 化为求二次函数的值域问题. ②若本题中,将“??有实根”改为“??有两个不等 3 实根”, 就不能利用上述转化方法. 因为即使 k 在 y=x -2x
2

的值域内,也不能保证方程有两不等实根,此时,一般应通 3 过画出函数 y=x -2x(-1≤x≤1)的图象,用数形结合法进
2

行转化.

? [例14] 设函数f(x)的定义域为R,若对于任 意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)·f(n),且当 x>0时,0<f(x)<1. ? (1)证明:f(0)=1且x<0时f(x)>1; ? (2)证明:f(x)在R上单调递减. ? [分析] 解决这类问题应去掉抽象函数符号, 利用等价转化思想,化为普通函数.

? [解析] (1)在f(m+n)=f(m)·f(n)中, ? 取m>0,n=0,有f(m)=f(m)·f(0).

? ∵x>0时,0<f(x)<1,∴f(m)≠0,∴f(0)=1. ? 又设m=x<0,n=-x>0,则0<f(-x)<1, ? ∴f(m+n)=f(0)=f(x)·f(-x),
1 ∴f(x)= >1,即 x<0 时,f(x)>1. f(-x)

? (2)设x1<x2,则Δx=x2-x1>0. ? 0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0. ? ∴Δy=f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

? ? ? ?

=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1) =f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, ∴f(x)在R上单调递减. [点评] 1.赋值法是讨论抽象函数问题中的 常用方法,利用单调性化去函数符号“f” 是解决函数不等式的主要方法.

? 2.性质f(m+n)=f(m)·f(n)类似指数函数f(x) =ax (a>0且a≠1)的性质,可类比指数函数 f(x)=ax,结合已知条件进行讨论. ? 5.换元法
[例 15] 求函数 y=2x-3- 13-4x的值域. 1 [解析] 令 t= 13-4x(t≥0)则 2x= (13-t2) 2
1 12 7 1 2 ∴y = (13 - t ) - 3 - t = - t - t + = - (t + 1)2 + 2 2 2 2 7 4(t≥0)∴y≤2,当 t=0 时取等号, 7 ∴函数的值域是(-∞, ]. 2

?

总结评述:此题解法称为“换元法”,通 过换元法把函数变为关于t的二次函数,然 后求出二次函数在t≥0时的值域即得原函数 的值域,用换元法解题,换元后一定要先确 定新元的取值范围. ? 此题也可利用函数的单调性来解.

? ? ? ?

[例16] 已知f(x+1)=x2-2x,求f(x). [解析] 令t=x+1,则x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, ∴f(x)=x2-4x+3.

?

1 1 2 [例 17] 已知 f(x+x)=x +x2,求 f(x)的表达式. 6.配凑法 1 12 [解析] f(x+ )=(x+ ) -2, x x
∴f(x)=x2-2.

? [例18] 求f(x)=2x2-4x+1 (-1≤x≤1)的值 域. ? [解析] f(x)=2(x-1)2-1,此函数在[-1,1] 上单减,∴最大值f(-1)=7,最小值f(1)= -1, ? ∴值域为[-1,7].

? 7.待定系数法 ? [例19] 一次函数y=f(x)满足:当x=1时,y ?k+b=2 ?k=2 =2,当x=2时,y=4,则f(5)=________. ? ? 则? ,∴? ,∴f(x)=2x,∴f(5)=10. ?2k+b=4 ?b=0 ? [解析] 设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0), ? ?

? [例20] 设二次函数f(x)二次项系数为-1, 满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)=________. ? [解析] 设f(x)=-x2+px+q, ? ∵f(1)=f(2)=0,
?-1+p+q=0 ? ∴? ?-4+2p+q=0 ? ?p=3 ? ,解之得:? ?q=-2 ?



∴f(x)=-x2+3x-2,∴f(-1)=-6.

? 8.关于对称与平移 ? [例21] 已知f(x)是偶函数,且其图象与x轴 有n(n∈N)个交点,则方程f(x)=0的所有实 根之和为 ( ) ? A.4 B.2 C.1 D.0 ? [解析] 由f(x)是偶函数可知,f(x)与x轴的n 个交点的横坐标,即f(x)=0的n个根x1,x2, x3?xn中,若有一根在x轴右侧,则必有关于 y轴对称的另一根在左侧,∴x1+x2+?+xn =0.∴选D.

? [例22] 设函数y=f(x)定义在实数集上,则 函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于 ( ) ? A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 ? C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 ? [解析] 应用复合函数知识,令x-1=u,则 y=f(x-1)=f(u),y=f(1-x)=f(-u). ? 显然f(u)与f(-u)关于直线u=0对称,即关于 x-1=0对称.所以y=f(x-1)与y=f(1-x)关 于直线x=1对称.∴选D.

? 四、函数的实际应用 ? [例1] 某厂生产某种零件,每个零件的成本 为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过100个时, 每多订购一个多订购的全部零件的出厂单价 就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51 元. ? (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出 厂单价恰降为51元? ? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单 价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;

? (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获 得的利润是多少元?如果订购1000个,利润 又是多少元?(工厂售出一个零件的利润= 实际出厂单价—成本) ? [解析] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降 为51元时,一次订购量为x0个,则
60-51 x0=100+ =550. 0.02 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际 出厂价恰好降为 51 元.

? (2)当0<x≤100时,P=60; ? 当100<x<550时,
x P=60-0.02(x-100)=62-50; 当 x≥550 时,P=51. 所以 0<x≤100, ?60, ? ? x 100<x<550, P=f(x)=?62-50, ? ?51, x≥550. ?

(x∈N)

? (3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获 得的利润为L元,则
0<x≤100, ?20x, ? ? x2 100<x<550, L=(P-40)x=?22x-50, ? ?11x,x≥500. x≥550 ?

(x∈N)

? 当x=500时,L=6000;当x=1000时,L= 11000 ? 因此,当销售商一次订购500个零件时,该 厂获得的利润是6000元;如果订购1000个, 利润是11000元.


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