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排列组合的综合应用(公开课)


排列组合的综合应用

复习巩固
1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的 方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法,…,在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. N=m1 +m2 + ? +mn
2.分步计数原理(乘法原理)

完成一件事,需要分

成n个步骤,做第1步有m1种不同的方 法,做第2步有m2 种不同的方法…,做第n步有mn种不同的 N=m1m2 ? mn种不同的方法 方法,那么完成这件事共有: 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地 完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一 个阶段,不能完成整个事件.

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无 序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
※解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此 必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位 奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不 合要求的元素占了这两个位置 1 A3 先排末位共有___ 1 A4 然后排首位共有___ 1 3 1 3 A A A3 A4 最后排其它位置共有___ 4 4 1 1 A3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用 由分步计数原理得 A3 A4 4 =288 也是最基本的方法 ,若以元素分析为主,需先安排特殊 练习题 元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足 1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里 ,若两种葵花 特殊位置的要求 ,再处理其它位置。若有多个约束条 不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少 件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条 2 5 ? 1440 不同的种法? A 4 A5 件

二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有 多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进 行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

甲乙
5 5

丙丁
2 2

由分步计数原理可得共有 A A A

2 2 =480



练习题 要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑 法来解决问题 . 即将需要相邻的元素合并为一个元 2、某人射击 8 枪,命中4枪,4枪命中恰好有3 素 , 再与其它元素一起作排列 , 同时要注意合并元素 枪连在一起的情形的不同种数为( 20 ) 内部也必须排列.

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
相 独 独 独 相
5 4 A5 ? A6

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再 把不相邻元素插入中间和两端 练习题 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开 演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插 入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同 插法的种数为( 30 )

四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同 的排法 解: (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题, 定序问题可以用倍缩法,还可转化为空位或插空模 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然 型处理 后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 7 A7 则共有不同排法种数是: 3 A3 练习题 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四 人就坐共有 A ,排成前后排,每排 种方法,其余的三个位置甲乙 10人身高各不相等 5 人 , 要求从左 4 A 丙共有 1 种坐法,则共有 7 种方法 至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 ? A10 (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 A55 1种排法,再把其余 4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法
4 7

五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不 同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车 7 间有 ____种分法. 把第二名实习生分配

到车间也有7种分法,依此类推,由分步计 6 7 数原理共有 种不同的排法 练习题 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象, 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的 元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位 8 一层下电梯 ,下电梯的方法 (7 ) 置,一般地 n不同的元素没有限制地安排在 m个位置 上的排列数为 mnm 种n

六.平均分组问题 除法策略

理论部分:平均分成的组,不管它们的顺序如何, 都是一种情况,所以分组后要除以m!,其中m表 示组数。 例如 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法? 2 2 C4 C2 3 2 cd ab A2 bd ac ad bc 这两个在分组时只能算一个 bc ad bd ac cd ab

七.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一 个,有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。 相邻名额之间形成9个空隙。 将 n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份 在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分 至少一个元素 ,可以用m-1块隔板,插入n个元素排 成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法 6 m ?1 C 成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 对应一种分法共有____ 9 种分法。 C n ?1

练习题 10个相同的球装 个盒中 一 三 五 七 二 5 四,每盒至少一个有多少装 六 4 班 班 班 班 班 班 班 法? C9

八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至 少装一个球,共有多少不同的装法. 2 C 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有___ 5 种方 法.再把4个部分(包含一个复合元素)装入4个不同的 4 A 盒内有 _____ 种方法. ,先选后排是最基本的指导思想. 4 解决排列组合混合问题 2 4 C ? A 5 4 根据分步计数原理装球的方法共有 _____ 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 ?

练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人 完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班 192 种 长有且只有1人参加,则不同的选法有_____

九.环排问题线排策略 例9. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没 有首尾之分,所以固定一人A并从此位置把圆形展成 4 A 直线其余4人共有____ 种排法即 4

B

一般地 , 共有 (n-1)! 种排 C ,n个不同元素作圆形排列 A E A A B C D 法.若从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共 m m?1 m 1 C ? A ? A 有Dn m?1 n m

E

练习题 120 种钻石圈 6颗颜色不同的钻石,可穿成______

十.多排问题直排策略 例10. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 丁在后排,共有多少排法?
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成 2 A 一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有___ 4 种,再排后4 1 A 个位置上的特殊元素有_____ 4 种,其余的5人在5个位置上任 5 2 1 5 A 意排列有____ 种. A4 ? A4 ? A5 5 种,则共有_____________

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑, 再分段研究.
练习题 前排 后排 有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2 人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左 346 右相邻,那么不同排法的种数是 ______ 提示:直接法比较复杂,特别要注意11和12号可以同 时坐人;间接法比较简单。

十一 .正难则反总体淘汰策略

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的 反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体 中淘汰.

我们班里有46位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

十二.实际操作穷举策略 例12.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4, 5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个 盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编 号相同,有多少投法.

C 5 种还剩下3 解:从5个球中取出2个与盒子对号有____ 球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只 有1种装法,同理32号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种 2C 5 装法,由分步计数原理有 种。
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行 运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到 的结果

2

十三.构造模型策略

例13. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯, 现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不 能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的5个空 3 C5 种 隙中插入3个不亮的灯有____
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉 的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等, 可使问题直观解决 练习题 某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都 有空位,那么不同的坐法有多少种? 120

十四. 合理分类与分步策略 例14.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法? 解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞 ,3人 为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌 人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选 上唱歌, C 共有 C ____种,只会唱的5人中只有1人 选上唱歌共有 种,只会唱的5人中只有 C C________ C 2人选上唱歌,共有 C C ____种,由分类计数原理 2 1 1 2 2 2 共有 种。 C32C________________ ? C C C ? C 3 5 3 4 5 C5
2 2 3 3

1

1

2

5

3

4

2

2

5

5

本题还有如下分类标准: *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质 进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准 明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确 定要贯穿于解题过程的始终。

练习题
3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.

27

十五. 分解与合成策略 例15. 30030能被多少个不同的偶数整除 分析:先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意可知偶因数 必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积, 所有的偶因数为:

C

0 5

?C5 ?C5 ?C5 ?C5 ?C5

1

2

3

4

5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解:我们先从8个顶点中任取 4个顶点构成四 4 C 8 ? 12 ? 58 体共有体共__________ 3 每个四面体有___ 3×58=174 对异面直线,正方体中的8个顶点可连成____________ 对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最 基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几 个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的 结构,用分类计数原理和分步计数原理将问 题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复 杂 的 问 题 都 要 用 到 这 种 解 题 策 略

十六.化归策略
例16. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不 在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选 3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少 选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1 人后,把这人所在的行列都划掉,

如此继续下去.从3×3方队中 C C C 选3人的方法有___________ 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成 种。再从5×5方队选出3×3 一个简要的问题,通过解决这个简要的问题的解决 方队便可解决问题 3 3 找到解题方法,从而进下一步解决原来的问题 C 5C 5选法所以从5×5方 从 5×5方队中选取3行3列有_____ 3 3 1 1 1 队选不在同一行也不在同一列的3人有 C 5C 5C 3C 2C 1 ? 600 _______________选法。
1 1 1 3 2 1

练习题
某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线 表示马路,从A走到B的最短路径有多少种?

C

3 7

? 35

B

A

小 结
本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略 加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点,通过 我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是 条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞 大,难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌 握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来 解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种 策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三, 触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。


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