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厦门市2014-2015学年第一学期高二质量检测数学( 理科)答案


厦门市 2014~2015 学年(上)高二质量检测

数学(理科)参考答案以及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1—5:ABBDD 6—10: CBCDA 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 2 3 12. {x x ? 2 或 x ? 3} 13.

? 3

14. 必要不充分

15. 24 16. 4(或 8,12,16,…) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )∵cos B ?

4 3 2 , 0 ? B ? ? ,∴sin B ? 1 ? cos B ? ; 5 5

………………2 分

由正弦定理,

a b ? ,又 a = 4,b = 3, sin A sin B

3 4? a sin B 5 ?4. ∴sin A ? ? b 3 5
(Ⅱ )由面积公式,得 S ?ABC ? 得 c ? 10 ;
2 2 2

……………………………6 分

1 1 3 ac sin B ,∴ ac ? ? 12 , 2 2 5

……………7 分

…………………………………………………………9 分

由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ? 52 ,

……………………………11 分

得 b ? 2 13 .

……………………………………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 解:设安排生产甲,乙两种产品分别为 x 吨,y 吨,利 润为 z 万元,那么

?3x ? 10 y ? 300, ? 9 x ? 4 y ? 360, ? ? ? 4 x ? 5 y ? 200, ? ? x ? 0, y ? 0.

……………6 分

目标函数为 z ? 3x ? 5 y ,………………7 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图阴影所示) ,即可行域, …………9 分 直线 3x ? 5 y ? 0 向右上方平行移动,经过 M (20,24) 时, z 取最大值 180.……11 分 答:该厂生产甲,乙两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,获得最大利润 180 万元.12 分 19.(本小题满分 12 分) 解法一: 如图 1,以 A 为原点,分别以 AB, AD, AP 的方向为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐 标 系 A ? x y z, 则 A(0,0,0) , B(2, 0, 0) , C (2, 4, 0) , D(0, 4, 0) , P(0, 0, 2) , M (1, 2,1) , N (2,1, 0) ,…………………3 分 (Ⅰ)

AN ? (2,1, 0), BM ? (?1, 2,1) ,……………………4 分
? AN ? BM ? 0 , ……………………………………5 分

? AN ? BM ,即 BM ? AN .………………………6 分
(Ⅱ)设 平面PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ………………7 分

PC ? (2, 4, ?2), PD ? (0, 4, ?2) ,

? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 4 y ? 2 z ? 0 由? , ?? ? ?n ? PD ? 0 ?4 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 解得 ? , ?z ? 2 y

…………………………………………9 分

取 y ? 1 得 平面MBD 的一个法向量为 n ? (0,1, 2) , ………………………………10 分 设直线 MN 与平面 PCD 所成角为 ? ,则由 MN ? (?1,1,1) , 得 sin ? ?| cos ? MN , n ?|?| …………………11 分

MN ? n 3 15 .……………………12 分 |? ? 5 | MN | ? | n | 3? 5

解法二: (Ⅰ)如图 2,连结 AC , BD ,交于点 O ,连结 OM , 易知 OM / / PA ,………………………………………1 分 又 PA ? 面 ABCD ,故 OM ? 面 ABCD , …………2 分 又 AN ? 面ABCD ,故 OM ? AN , ………………3 分 易由平面几何知识知 BD ? AN , …………………4 分 又 BD ? 面 MBD , OM ? 面 MBD ,且 BD ? OM ? O , 所以 AN ? 面MBD , (Ⅱ)同解法 1. 20.(本小题满分 13 分) 解法一:
2

………………………………5 分

而 BM ? 面MBD ,故 AN ? BM . ………………6 分

(Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,

………………………………………………………1 分 ①………………………………………2 分 …………………………………3 分 ………………………5 分
3

依题意 f ' ?1? ? 4 ,所以 2a ? b ? 1 ,

又由 y ? 4 x ? 1 得 f ?1? ? 3 ,即 a ? b ? 1 , ②

由①,②解得 a ? 0, b ? 1 ,所以 f ? x ? ? x ? x ?1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? x ? ? x3 ? x ? 1 , 与 y ? kx ? 1 联立,得 x3 ? ?1 ? k ? x ? 2 ? 0 , 易知 x ? 0 不是方程的解,所以 k ? x ?
2

………………………6 分

2 ? 1 (*) , x

2 ?1 , x 3 2 2 x ?1 则 g ' ? x ? ? 2x ? 2 ? ,令 g ' ? x ? ? 0 ,则 x ? 1 , x x2 当 x ? ?1, ?? ? 时 g ' ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增;
设 g ? x? ? x ?
2

?

?

………………8 分

当 x ? ? 0,1? 时 g ' ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减; 当 x ? ? ??,0? 时 g ' ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递减; …………10 分
y y=k
4

g ? x ? 的大致图像如图所示, g ?1? ? 4 是函数 g ? x ? 的极小值。
因为 g ?1? ? 4 ,当 k ? 4 时, 因为 g ? k ? ? k ?
2

1 ?1 , k

2 ?1? 1 ? 1 ? k ,而 g ? ? ? 2 ? 2k ? 1 ? k , k ?k? k 所 以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上 与 直 线 y ? k 恰 有 两 个 不 同 的 公共
点;……………………………………………………………11 分 又 g ? ?1? ? 1 ?

O

1

x

2 2 k ?2 ? 1 ? 0 ? k , g ? ?k ? ? k 2 ? ?1 ? k 2 ? ?k ?1 ?k k 所以 g ? x ? 在 ? ??,0? 上与直线 y ? k 恰有一个公共点. ……………………12 分
所以当且仅当 k ? 4 时直线 y ? k 与函数 y ? g ? x ? 恰有三个不同的公共点,即函数

y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? kx ? 1 有三个公共点.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 g ? x ? ? x ? ?1? k ? x ? 2 ,
3

………………………13 分

要使函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? kx ? 1 有三个公共点,即 g ? x ? ? 0 有三个不同 实根,则三次函数 g ? x ? 既有极大值,也有极小值, 且 g ? x ?极大 ? 0, g ? x ?极小 ? 0, …8 分 令 g ' ? x ? ? 0 ,则 3x ? 1 ? k ? 0 ,
2

依题意 k ? 1 ? 0 ,且 x1 ? ?

x, g ' ? x ? , g ? x ? 变化情况如下表:

k ?1 k ?1 , x2 ? , ……………………………………9 分 3 3
? k ?1 k ?1 ? ? ?? 3 , 3 ? ? ? ? ?
单调递减

x
g ' ? x? g ? x?

? k ?1 ? ?? , ? ? ? ? 3 ? ? ? ?
单调递增

?

k ?1 3
0

k ?1 3
0
极小值

? k ?1 ? , ?? ? ? ? ? 3 ? ? ?
单调递增

极大值

由上表可知 g ? x ?极大 ? g ? ? ?

? ?

? k ?1 ? k ?1 ? , g x ? g ? ? ? ? ? 极小 ? ? , …………………10 分 3 ? 3 ? ? ?

因为 k ? 1 所以 g ? ? 由g?

? ? ?

k ? 1 ? 2 ? k ? 1? k ? 1 ? 2 ? 0 成立,……………………11 分 ?? 3 ? 3 3 ?

? k ?1 ? 2 ? k ? 1? k ? 1 ? ? ? 2 ? 0 , ………………………………………12 分 ? ? ? 3 3 3 ? ?
3

k ?1 ? k ?1 ? ? 1即 ? ? ? 1, 3 3 ? 3 ? 所以 k ? 4 即实数 k 的取值范围是 k ? 4 .……………………………………………13 分
得 21.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设点 C 的坐标为 ( x, y ) ,因为点 A 的坐标是 (?a,0) , 所以,直线 AC 的斜率 k AC ? 同理,直线 BC 的斜率 k BC

? k ? 1?

y (x ? ?a ) , …………………………………1 分 x?a y ? (x ? a ) , …………………………………2 分 x?a
…………………………………3 分

y y b2 ? ? ? 2 ( x ? ? a) , 由已知有 x?a x?a a
化简,得点 C 的轨迹 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? ? a). a 2 b2

……………………6 分

(注:缺失条件 ( x ? ? a) 扣 1 分) (Ⅱ)设直线 OP 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx, ? 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1. b ?a
消去 y 得 (a k ? b ) x ? a b ? 0,
2 2 2 2 2 2

xP ? ?

ab a 2 k 2 ? b2
2

, ……………………………………………………………8 分

∴ OP ? 1 ? k

xP ?

ab 1 ? k 2 a 2 k 2 ? b2

, …………………………………………10 分

OP ?

2

a 2b2 (1 ? k 2 ) , a 2 k 2 ? b2

1 ) 2 2 2 k 2 ? a b (k ? 1) , 同理, OQ ? 1 a 2 ? b2 k 2 a 2 ? 2 ? b2 k
2

a 2b 2 (1 ?

………………………………11 分

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

a 2k 2 ? b2 a 2 ? b2 k 2 ? a 2b 2 (1 ? k 2 ) a 2b 2 (1 ? k 2 )

(a 2 ? b2 )(1 ? k 2 ) a 2 ? b2 ? ? 2 2 . ………………………………13 分 a 2b2 (1 ? k 2 ) ab
22.(本题满分 14 分)
n ?1 n? N* . 解: (Ⅰ)依题意, an ? 3

?

?

………………………………………………3 分

(Ⅱ)由(1)得 an ? 3n?1 ,所以 bn ? 3

n ?1

?

1 n ? N * ? ,………………………4 分 ? n ? n ? 1?

1 ? 3n ? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 3 ? 1 2 2 3 n n ?1 ? 3n ? 1 1 3n ? 1 1 ? ?1? ? ? . ……………………………………………6 分 2 n ?1 2 n ?1 3n ? 1 1 1 3n ? 1 ? ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知 S n ? ,所以 cn ? Sn ? ,…………………7 分 2 n ?1 n ?1 2 1 x ?1 ? ? 记 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ,则 g ' ? x ? ? , 1? x 1? x 当 x ? 0 时 g ' ? x ? ? 0 , g ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减,所以 g ( x) ? h ? 0? ? 0 , Sn ?
即当 x ? 0 时 ln ?1 ? x ? ? x ,…………………………………………………………9 分 又因为 3
n ?1

? 1,所以 3n ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ? 1? , ………………………………………10 分

? ? 4 ? 3n 2 ? 3n 1 ? ? 1 4 ? 3n ? 4 ? 3n ? ? ? 3 ? n ?1 ? n ? ln 1 ? ? ? n n ?1 n n ?1 2 2 n n 3 ? 1 3 ?1 ? 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? ? 3 ? 1? ? ? 3 ? 1? ? ? ?

?

??

? ?

??

?

……………………………………12 分 因此 ln ? ?1 ?

?? ? ??

f ?1? ?? f ? 2? ? 1 ? ?? ? 2 c12 ?? c2 ?

f ?n? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? cn ? ? ? ?
f ?n? ? ? ? ln ?1 ? 2 ? cn ? ?

f ?1? ? f ? 2? ? ? ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? c1 ? c2 ? ? ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? 3 ?( ? )?( ? 2 )?( 2 ? 3 )? 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? 1?1 3 ?1
? 3 3 3 ? n ? 2 3 ?1 2

?(

1 3
n ?1

1 ? ) ?1 3 ?1 ? ? ?
n

即 ?1 ?

? ?

f ?1? ?? f ? 2? ? 1? 2 ? 2 ?? c1 ?? c2 ?

f ?n? ? 3 ? 2 1 ? ? ? ? e 对任意正整数 n 恒成立.………14 分 2 c n ? ?


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