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第八讲 立体几何(一,小题)


翰林院教育内部讲义

第八讲 立体几何(一)
一 【考点提示】 (一)直线和平面的位置关系 1. 直线和直线的位置关系划分为_________________________ 2. 平面和平面的位置关系划分为_________________________ 3. 直线和平面的位置关系划分为_________________________ 4. 直

线和平面平行垂直的基本判定: 线线平行___________ 线线垂直___________ 面面平行___________ 面面垂直___________

总结:__________________________________________________________ 5. 直线平面平行垂直的判定与性质: 线面平行:______________________________________________________ 面面平行:______________________________________________________ 线面垂直:______________________________________________________ 面面垂直:______________________________________________________ 6. 三垂线定理:______________________________________________________ 逆定理__________________________________________________________

(二)简单的几何体 1. 柏拉图立体共有___种, 它们分别是_______________________________ 它们分别是由____________________________________________构成的 2. 正四面体的棱长为 a, 高线为______, 外接球半径_______, 内切球半径_______, 对棱距_______,体内一点到各面距离之和_____________ 3. 直角四面体的特点是__________________ 直角四面体的棱长为 a, b, c , 斜面的面积___________斜面上的高 ____________外接球半径__________内切球半径_____________ 4. 正方体棱长为 a,对角线长_________,内切球半径________,外接球半径 ________用平面去截正方体,可以形成的截面有______________________________
1

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___________________________________ 5. 正八面体棱长为 a, 对顶点距离______, 内切球半径______, 外接球__________ 6. 球的体积公式__________________,球的表面积公式_________________ 球冠的表面积公式______________,球面距离的定义 ____________________________ 求法(1)______________(2)______________(3)_________________ 经线是_______________________ 纬线是_______________________ 经度差是__________________________ 纬度差是__________________________

球心到球的一个截面的距离的求法: ____________________________________ 7. 柱体的体积公式_________________ 锥体的体积公式_______________________

(三)特殊定理 1. 平面勾股定理______________________________________________________ 空间勾股定理______________________________________________________ 直角三角形斜边高线的性质列表______________________________________ 2. 射影定理的数值描述_______________________________________________ 3. 和射影定理相关的结论(1)__________________________________________ (2)________________________________________

二【典例分析】
1.直线与平面的位置关系 例 1 (2006 年重庆理)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与

l(

) (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线

例 2(2006 年陕西理)已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确 的结论是 (A)平面 ABC 必不垂直于 ?
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2

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(B)平面 ABC 必平行于 ? (C)平面 ABC 必与 ? 相交 (D)存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内

例 3 设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ? n ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ; ④若 ? ∥ ? , ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.①和④

例 4 设 ? , ? 为两个平面, m, l 为两条直线,且 l ? ? , m ? ? ,有如下两个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ∥ l ;②若 l ? m ,则 ? ? ? ,那么( A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①,②都是真命题 D.①,②都是假命题 )

m, l 为两条不同直线, 例 5 已知设 ? , ? 为两个不同平面, 下列命题中的假命题是 (



A.若 m ∥ l , m ? ? ,则 l ? ? B.若 m ∥ ? , ? ? ? ? l ,则 m ∥ l C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

2. 正四面体 例 6 棱长为 5 6 的正四面体内一点 P 到该四面体的三个面的距离分别是 1,2,3,则 P 点到第四个面的距离为______

3

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例 7 正四面体 P ? ABC 中, D, E , F 分别是 AB, BC, CA 的中点,下面四个结论中不成 立的是 A. BC // 平面 PDF C. 平面PDF ? 平面ABC B. DF ? 平面PAE D. 平面PAE ? 平面ABC

例 8 将半径都为 1 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的 高的最小值为( A.
3?2 6 3
2 6 3

) B. 2 ? D.
2 6 3

C. 4 ?

4 3?2 6 3

例 9 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球心的一个截面如 图所示,则图中三角形的面积是( A.
2 2

) C. 2 D. 3

B.

3 2

3. 直角四面体 例 10 三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 1,3, 6 ,过此三棱锥的四个顶点的球 的体积为________

例 11 已知 P, A, B, C 是以 O 为球心的球面上的四个点, PA, PB, PC 两两垂直,
PA ? PB ? PC ? 2 ,则球的半径是_______,球心到平面 ABC 的距离是_______

例 12 在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA, OB, OC 两两相互垂直,且 OA ? OB ? OC ,M 是边 AB 的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值是________
4

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例 13 (2010 辽宁理 12)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条, 使这六根铁条端点处相连能够焊成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 A. (0, 6 ? 2 ) B. (1,2 2 ) C. ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ) D. (0,2 2 )

4. 正方体和长方体 例 14 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_________

例 15 已知正方体的外接球的体积为 A. 2 2 B.
2 3 3

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

例 16 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方 体的表面积为______

例 17 甲球与某立方体的各个面都相切,乙球与这个正方体的各条棱都相切,丙球过 这个正方体的所有顶点,则甲乙丙三球的半径之比为 A. 1 : 2 : 3 B. 1 : 2 : 3 C. 1 : 2 2 : 3 3 D. 1 : 3 4 : 3 9

例 18 下列四个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M , N , P 分别是所在棱的 中点,能得出 l ⊥面 MNP 的图形的序号是

A. 2,3,4
5

B. 1,3,4

C. 1,2,4

D. 1,2,3

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例 19 在正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,过对角线 BD? 的一个平面交 AA? 于 E,交 CC ? 于 F,则: ①四边形 BFD?E 一定是平行四边形 ②四边形 BFD?E 可能是正方形 ③四边形 BFD?E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形 BFD?E 有可能垂直于平面 BB?D 以上结论正确的是_____________________

5. 正八面体 例 20 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.
2 ? 3

1 B. ? 3

C.

2? 3

D.

2 2 ? 3

例 21 水平桌面 ? 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构 成正方形)在这 4 个球的上面放一个半径为 R 的小球,它和下面的 4 个球恰好相切, 则小球的球心到水平桌面 ? 的距离是________

6. 球体 例 22 设地球的半径为 R,若甲地位于北纬 35°东经 110°,乙地位于南纬 85°东

经 110°,则甲、乙两地的球面距离为 A.
2? R 3

B.

? R 6

C.

5? R 6

D. 3 R

例 23 设地球的半径为 R,若甲地位于北纬 45°东经 120°,乙地位于南纬 75°东经 120°,则甲、乙两地的球面距离为 A. 3 R B.

? R 6

C.

5? R 6

D.

2? R 3

例 24 如图, O 是半径为 1 的球心, 点 A,B,C 在球面上, OA,OB,OC 两两垂直,E,F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点,则点 E,F 在该球 面上的球面距离是 A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

2 ? 4
6

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例 25 过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与 球的表面积之比为 A.
3 16

B.

9 16

C.

3 8

D.

9 32

例 26 湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为 12cm, 深 2cm 的空穴,则该球的半径是________ cm , 表面积是_______ cm 2

例 27

一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为 A. 8 2? B. 8? C. 4 2? D. 4?

例 28 为 A.

已知球 O 的半径为 1, A, B, C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离了均

? ,则球心 O 到平面 ABC 的距离为 2
1 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

6 3

例 29

已知 A, B, C 三点在球心为 O,半径为 R 的球面上,AC⊥BC,且 AB=R,那么

A,B 两点的球面距离为______,球心到平面 ABC 的距离为_______

例 30 球面上有三点, A, B, C , AB ? 6cm, BC ? 8cm, AC ? 10cm ,球的半径是 13cm, 则球心到平面 ABC 的距离为______

7. 棱柱 例 31 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面

边长为 1cm,那么该棱柱的表面积为______ cm 2

7

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8.特殊定理 例 32 PA, PB, PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条射线的夹角都是 60°,则直线 PC 和平面 APB 所成角的余弦值为______

例 33

在平面几何里,有勾股定理:设三角形 ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面积和

底面面积之间的关系,可以得出的结论是:设三棱锥 A ? BCD 的三个侧面 ABC, ACD
ADB 两两互相垂直,则_____________________________

9.三视图问题 例 34 (2010 天津文) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为 .

例 35(2010 天津理) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

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例 36. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 C. 2? ?
2 3 3

).

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?
2 3 3

2

2

2 俯 视 图 2 正 (主 ) 视图 2 侧(左) 视图

例 37.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m2 )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

9

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例 38 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为

m3

例 39 (2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表 面积是 A.9π C.11π B.10π D.12π

10.判断类型题 例 40(2010 重庆文) (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个

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例 41. (2010 北京文) (8) 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上。点 Q 是 CD 的中 点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A1 E=y(x,y 大 于零),则三棱锥 P-EFQ 的体积: (A)与 x,y 都有关; (B)与 x,y 都无关; (C)与 x 有关,与 y 无关; (D)与 y 有关,与 x 无关;

例 42(2008 海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分 别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 C. 4 B. 2 3 D. 2 5
k n m



三 【2012 年高考题选讲】 1.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△ 沿矩形的对角 线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直

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2.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, 且 SC ? 2 ; 则此棱锥的体积为 ( SC 为球 O 的直径, ?ABC 是边长为 1 的正三角形,
( A)



2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

(D)

2 2

3.【2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是(



A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 4.【2012 高考真题四川理 10】如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过 点 O 作平面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45? 角的平面与 半球面相交,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足
?BOP ? 60? ,则 A 、 P 两点间的球面距离为(


3 3

A、 R arccos

2 4
A

B、

?R
4

C、 R arccos

D、

?R
3

B D P α C O

5.【2012 高考真题陕西理 5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,
CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(



A.

5 5

B.

5 3

C.

2 5 5

D.

3 5

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6.【2012 高考真题广东理 6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为

A.12π B.45π

C.57π D.81π

7.【2012 高考真题福建理 4】一个几何体的三视图形状都.相同、大小均相等,那么这 个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱

8.【2012 高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a , 且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

9. 【2012 高考真题北京理 7】 某三棱锥的三视图如图所示, 该三梭锥的表面积是 (



A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

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10. 【2012 高考真题全国卷理 4】 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 , AB=2, CC1= 2 2 E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A 2 B
3

C

2

D 1

11.【2012 高考真题四川理 14】如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是

CD 、 CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________。
D1 A1 D A B1 N C B C1

M

12.【2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为______________。

13.【2012 高考真题山东理 14】如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1, E , F 分别 为线段 AA1 , B1C 上的点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为

____________.
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14【2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上, 若 PA, PB, PC 两两互相垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为________。

15.【2012 高考真题上海理 14】如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, 若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , 其中 a 、 则四面体 ABCD BC ? 2 , c 为常数, 的体积的最 大值是 .

16.【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为_________m3.
6
3 2 正视图

3
1

3 2 侧视图

3
俯视图

17.【2012 高考真题全国卷理 16】三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________.

18.【2012 高考陕西文 8】将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示 的几何体,则该几何体的左视图为 ( )

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19.【2012 高考浙江文 5】 设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面 A. 若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? C. 若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ? B. 若 l ∥ ? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D. 若 ? ⊥ ? , l ∥ ? ,则 l ⊥ ?

20.【2012 高考辽宁文 16】已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形。若 PA=2 6 ,则△ OAB 的面积为 ______________.

21.【2012 高考安徽文 15】若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD ,

AC ? BD , AD ? BC ,则______(写出所有正确结论编号)。
①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90。而小于 180。 ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

22【2012 高考全国文 16】已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 、F 分别为 BB1、CC1 的 中点,那么异面直线 AE 与 D1 F 所成角的余弦值为____________.

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三【参考答案】 【典例分析】 1.C 2.D 3.D 4.D 5.B 6.4 7.C 8.C 9.C 10.
32? 3
3 3

11. 3, 12.
6 3

13.A 14. 27? 15.D 16.24 17.B 18.B 19.①③④ 20.A 21. 3R 22.A 23.D 24.B 25.A
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26.10, 400? 27.B 28.B 29. ? R, 30.12cm 31. 2 ? 4 2 32.
3 3 1 3 3 R 2

33. S?ABC 2 ? S?ACD2 ? S?ABD2 ? S?DBC 2 34.3 35.
10 3

36.C 37.A 38.4 39.D 40.D 41.C 42.C 【2012 年高考题选讲】 1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.D 8.A
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9.B 10.D 11.
? 2

12.38 13. 14.
1 6
3 3

15. c a 2 ? c 2 ? 1 16.18 ? 9? 17.
6 3

2 3

18.B 19.B 20. 3 3 21.②④⑤ 22.
3 5

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