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湖北省荆州中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 Word版含答案


荆州中学 2013~2014 学年度上学期 期 末 试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设 A ?1, ?1,1? , B(3,1,5) ,则线段 AB 的中点在空间直角坐标系中的位置是( A.在 y 轴上 B.在 xoy 平面内 C.在 xoz 平面内 )

D.在 yoz 平面内

2. 抛掷一枚质地均匀的骰子, 落地后记事件 A 为“奇数点向上”, 事件 B 为“偶数点向上”, 事件 C 为“3 点或 6 点向上”,事件 D 为“4 点或 6 点向上”.则下列各对事件中是互斥 但不对立的是( ) A.A 与 B B.B 与 C C.C 与 D D.A 与 D 3. 从集合 A ? {?1,1, 2} 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1,2} 中随机选取一个数记 为 b ,则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为 ( A. ) D.

2 9

B.

1 3


C.

4 9

5 9

4.下列说法中,正确的是(

2 2 A.命题“若 a ? b ,则 am ? bm ”的否命题是真命题

B. ? , ? 为不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是 “ ? ? ? ” 成立的充要条件 C.命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R, x ? x ? 0 ”
2 2

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 5. 设 x1 ? 18, x2 ? 19, x3 ? 20, x4 ? 21, x5 ? 22 , 将这五个数据依次输入下面程序框进行计算, 则输出的 S 值及其统计意义分别是( A. S ? 2 ,即 5 个数据的方差为 2 C. S ? 10 ,即 5 个数据的方差为 10 ) B. S ? 2 ,即 5 个数据的标准差为 2 D. S ? 10 ,即 5 个数据的标准差为 10

i ? i ?1
否 开始

S ?0

i ?1

S ? S ?5

输出 S

6.在区间[0, 1]上任取三个数 a, b, c ,若向量 m ? (a, b, c) ,则 m ? 1 的概率是( A.

i ?1

输入 xi

S ? S ? ( xi ? 20)

2

i ?5


结束



?
24

B.

?
12

C.

3? 32

D.

?
6

第 -1- 页

7. 双曲线 A.7

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 15, 则点 P 到点(-5, 0)的距离是( 16 9 B.23 C.11 或 19 D.7 或 23



8. 设双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y 2 ? x 的一个交点的横坐标为 2 a b
1 ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( 2
B. (1, 3) C. ( 3, ??) )

x0 ,若 x0 ?
A. (1, 9.设椭圆

6 ) 2

D. (

6 , ??) 2

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,右焦点 F (c,0) ,方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两 2 a b 2
) C.圆 x 2 ? y 2 ? 2 外 D.以上都有可能

个根分别为 x1 , x 2 ,则点 P( x1 , x2 ) 在( A.圆 x 2 ? y 2 ? 2 内

B.圆 x 2 ? y 2 ? 2 上

,B (0,1) , C (1, 0) 10. 在平面 直角坐标 系 xOy 中, A(? 1, 0) , 映射 f 将 xOy 平 面上的点 P( x, y ) 对应到另一个平面直角坐标系 uO ?v 上的点 P?(4xy, 2x2 ? 2 y 2 ) ,则当点 P 沿着 折
线 A ? B ? C 运动时,在映射 f 的作用下,动点 P? 的轨迹是 ( )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 设平面区域 D 是由双曲线 y ?
2

x2 ? 1 的两条渐近线和抛物线 y 2 ? ?8x 的准线所围成的三 4

角形(含边界与内部) .若点 ( x, y) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值与最小值之和 为 . . ,

12.在极坐标中曲线 ? ? 4 cos ? 与 ? cos ? ? 2 ? 3 的两交点之间的距离为 13. 长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x、y 轴上移动,动点 C(x,y)满足

则动点 C 的轨迹方程是 . 14. 从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是
第 -2- 页

[3b2 , 4b2 ] ,则该椭圆离心率 e 的取值范围是
15.以下四个关于圆锥曲线的命题中真命题的序号为

. .

①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;

x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35 2 ③若方程 2 x ? 5 x ? a ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,则 0 ? a ? 3 ; 5 25 x2 y 2 ? ?1. ④到定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 4 4 16 9
②双曲线 三、解答题(本大题共 6 小题,其中第 16、17、18、19 小题各 12 分,第 20 题 13 分,第 21 题 14 分,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知 p :方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, q :方程 y 2 =( a 2 一 a ) x 2 a ? 2 a ?1

表示开口向右的抛物线.若“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取 值范围. 17.根据 2012 年初发布的《环境空气质量指数 AQI 技术规定(试行) 》 ,AQI 共分为六级,其 中:0 到 50 为一级优,51 到 100 为二级良,101 到 150 为三级轻度污染,151 到 200 为 四级中度污染,201 到 300 为五级重度污染,300 以上为六级严重污染.自 2013 年 11 月 中旬北方启动集中供暖后北京市雾霾天气明显增多,有人质疑集中供暖加重了环境污染, 以下数据是北京市环保局随机抽取的供暖前 15 天和供暖后 15 天的 AQI 数据: AQI 供暖前 供暖后
(0, 50] 2 0 (50, 100] 5 6 (100,150] 4 4 (150,200] 2 0 (200,250] 0 3 (250,300] 2 1 (300,350] 0 1

(1)通过上述数据计算供暖后空气质量指数为五级重度污染的概率,由此预测 2014 年 1 月份的 31 天中出现五级重度污染的天数; (保留到整数位) (2)分别求出样本数据中供暖前和供暖后 AQI 的平均值,由此你能得出什么结论.

N 分 别 是 A1 B 、 B1C1 上 的 点 , 且 BM ? 2 A1M , 18 . 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , M 、

C1 N ? 2B1N .设 AB ? a , AC ? b , AA1 ? c .
(1)试用 a, b, c 表示向量 MN ;

(2)若 ?BAC ? 90? , ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 ,

AB ? AC ? AA1 ? 1 ,求 MN 的长.

第 -3- 页

19.如图所示,设抛物线 C1 : y 2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F2 ,且其准线与 x 轴交于 F 1 ,以 F 1,

F2 为焦点,离心率 e ?

1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的一个交点为 P. 2

(1)当 m ? 1 时,求椭圆 C2 的方程; (2)是否存在实数 m ,使得 ?PF1 F2 的三条边的边长是连续的自然数?若存在,求出这样 的实数 m ;若不存在,请说明理由.
y

P

F1

O

F2

x

20.如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 .点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点
0

E 与点 C、D 不重合, EF ? AC , EF

AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位

置,使平面 PEF ⊥平面 ABFED ,点 Q 满足 AQ ? ?QP ( ? ? 0 ). (1)求证: BD ⊥平面 POA ;
第 19 题图 (2)求 PB 的最小值,并探究此时直线 OQ 与平面 PBD 所成的角是否一定大于

? ? 4

21.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,四个 a 2 b2

顶点分别为为 A、B、C、D,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形, 动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P. (1)求椭圆的方程; (2)证明: OM ? OP 为定值; (3)试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的 交点,若存在求出点 Q 的坐标;若不存在请说明理由.

第 -4- 页

荆州中学 2013~2014 学年度上学期 期 末 考 试 卷 答 案
年级:高二 科目:数学(理科)
一、选择题 CDAAA DBBAA 二、填空题 11. 3 12. 2

y2 ?1 13. x ? 4
2

14. [

5 3 , ] 3 2

15.②③

三、解答题 16.由题意,p 与 q 一真一假 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分

若 p 真,则 ?

?a 2 ? 2 ? 0 ?a ? 1 ? 0
2

,求得 a ? ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

若 q 真,则 a ? a ? 0 ,求得 a ? 1或a ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 当 p 真 q 假时, ?

?a ? ? 2 ? ,无解 ? ?0 ? a ? 1 ? ?a ? ? 2 ,求得 ? 2 ? a ? 0或a ? 1 ? ?a ? 1或a ? 0

当 p 假 q 真时, ?

综上: ? 2 ? a ? 0或a ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 15 4 预测 1 月份出现五级重度污染的天数为 ? 31 ? 8 天· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 15 25 ? 2 ? 75 ? 5 ? 125 ? 4 ? 175 ? 2 ? 275 ? 2 365 ? ? 122 (2)供暖前 AQI 的平均值 x1 ? 15 3 75 ? 6 ? 125 ? 4 ? 225 ? 3 ? 275 ?1 ? 325 ?1 445 ? ? 148 供暖后 AQI 的平均值 x2 ? 15 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 x2 ? x1 ,故供暖后加重了环境污染. · 1 1 BA1 ? AB ? B1C1 18.解: (1) MN ? MA 1?A 1B 1?B 1N ? 3 3 1 1 1 1 1 ? (c ? a ) ? a ? (b ? a ) ? a ? b ? c . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3 3 3 3 3
17. (1)概率 P ? (2) (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a
2 2 2 2

第 -5- 页

1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 1? 1? ? 5 , 2 2 1 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 | a ? b ? c |? 5 , | MN |? | a ? b ? c |? 3 3

c 1 x2 y 2 19.(1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,当 m ? 1 时, c ? 1 ,又 e ? ? ,? a ? 2 a 2 a b

x2 y 2 ? ?1· 故椭圆方程为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 4 3

? x2 y2 1 ? 2 ? 2 ?1 2 2 (2) c ? m, e ? ,? a ? 2m, b ? 3m ,由 ? 4m 得 3x ? 16mx ? 12m ? 0 3m 2 ? y 2 ? 4mx ?
2 2 m(其中x ? ?6m舍) ,即 x p ? m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 3 3 5 7 6 PF2 ? x p ? m ? m , PF1 ? 4m ? PF2 ? m , F1 F2 ? 2m ? m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 3 3 3 7 6 若 ?PF1 F2 的三条边的边长是连续的自然数,则 m ? m ? 1 ,即 m ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 3 3 ?x ?
BD ? AC ,∴ BD ? AO , 20.(1)证明:∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直,∴ PO ? EF ∵ E F? A C ,∴ ∵ 平面 PEF ⊥ 平面 ABFED ,平面 PEF 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD ? ,∴ O ∵ AO PO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 BD ? 平面 POA . · (2)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AO BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形,

故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x,2,0) ,故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x,2, ?x) , 所以 PB ? (2 3 ? x)2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 .
PB ? ∵

?

? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0? ,∴ ? ? ??4 y ? 0

?



取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? , OP ? 3 ,则 A(3 3,0,0) , B( 3,2,0) , D( 3, ?2,0) , P(0,0, 3) . 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ? a, 0, 3 ? c , ∵ AQ=? QP ,

?

?

?

?

第 -6- 页

? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ? ? a , ? ? ? ?1 . ∴ ?? ? ? ? c ? 3? ? c ? 3? ? ?c ? ? ?1 ?
Q( ∴ 3 3 3? , 0, ), ? ?1 ? ?1

3 3 3? , 0, ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? ?1 ? ?1 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? , OQ ? ( ∴

sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ∴

OQ ? n OQ ? n

?

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

1 9 ? 6? ? ? 2 1 6? ? 1? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 9?? 9 ? ?2 2 2 2 ? ? ? ?0∴ sin ? ? 又∵ .∵ ?? . ? ? [0, ] ,∴ 2 4 2 ?

因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于

? ,即结论成立.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 4

21.解: (1) a ? 2, b ? c, a2 ? b2 ? c2 ,? b2 ? 2

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

??????4 分

(2) C(?2,0), D(2,0), 设M (2, y0 ), P( x1 , y1 ),

则OP ? ( x1 , y1 ), OM ? (2, y0 )
直线 CM: y ?

y0 y 1 ( x ? 2),即y ? 0 x ? y0 4 4 2

代入椭圆方程 x2 ? 2 y 2 ? 4,
2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4?0 得 (1 ? 8 2 2

x1 (?2)

2 4( y0 ? 8) 2 y0 ? 8

? x1 ? ?

2 2( y0 ? 8) 8y ,? y1 ? 2 0 2 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2( y0 ? 8) 8 y0 ? OP ? (? 2 , 2 ) y0 ? 8 y0 ?8 2 2 2 4( y0 ? 8) 8 y0 4 y0 ? 32 ? OP ? OM ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 (定值) y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ? 8

????9 分

第 -7- 页

(3)设存在 Q(m,0)满足条件, 则MQ ? DP

MQ ? (m ? 2, ? y0 ), DP ? (?

2 4 y0 8y , 2 0 ) 2 y0 ? 8 y0 ? 8

2 2 4 y0 8 y0 则由 MQ ? DP ? 0得 ? 2 (m ? 2) ? 2 ? 0, 从而得 m=0 y0 ? 8 y0 ? 8

∴存在 Q(0,0)满足条件

??????14 分

第 -8- 页


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