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成才之路·人教A版数学选修2-3 2.3.3 备选


选修 2-3

第二章

2.3

2.3.3

1. 为预防“甲型 H1N1 流感”的扩散, 某两个大国的研究所 A、 B 均对其进行了研究. 若 1 1 独立地研究“甲型 H1N1 流感”疫苗,研究成功的概率分别为 和 ;若资源共享,则提高了 3 4 效率,即他们合作研究成功的概率比独立研究时至少有一个研制成功的概率提高了 50%.又 疫苗研制成功获得经济效益 a 万元,而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分 配.请你给 A 研究所参谋:是否应该采取与 B 研究所合作的方式来研制疫苗,并说明理由. [解析] 若 A 研究所独立地研究“甲型 H1N1 流感”疫苗,则其经济效益的期望为 2 1 a 0× +a× = 万元. 3 3 3 而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为 1?? 1? 1 1-? ?1-3??1-4?=2, 所以两个研究所合作研究成功的概率为 1 3 ×(1+50%)= , 2 4 1 于是 A 研究所采用与 B 研究所合作的方式来研制疫苗, 所获得的经济效益的期望为 0× 4 1 3 3 3 1 + a× = a 万元, 而 a> a, 故应该建议 A 研究所采用与 B 研究所合作的方式来研制疫苗. 2 4 8 8 3 2.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题,规则如下: ①每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分; ②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局; 当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; ③每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答,直至答题结束. 3 1 1 1 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为 、 、 、 ,且各题回答正确 4 2 3 4 与否相互之间没有影响. (1)求甲同学能进入下一轮的概率; (2)用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). [解析] 设 A、B、C、D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件, - - - - - A 、 B 、 C 、 D 分别为 A、B、C、D 的对立事件(例如 A 表示甲同学第一题回答错误). 3 1 1 1 - 1 - 1 - 2 由题设条件知,P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,P( A )= ,P( B )= ,P( C )= , 4 2 3 4 4 2 3

- 3 P( D )= . 4 - - (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件 W,则由题设条件知 W=ABC+AB C D+A B CD - - - + A BCD+ A B C D, ∵A、B、C、D 各事件相互独立, - - ∴ P(W) = P(A)· P(B)· P(C) + P(A)· P(B)· P( C )· P(D) + P(A)· P( B )· P(C)· P(D) + - - - P( A )· P(B)· P(C)· P(D)+P( A )· P(B)· P( C )· P(D) 3 1 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = × × + × × × + × × × + × × × + × × × = . 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 (2)由题意知,ξ 的可能取值为 2、3、4,则 -- - - 1 1 1 P(ξ=2)=P( A B )=P( A )· P( B )= × = , 4 2 8 -- - - 3 1 1 3 1 2 3 P(ξ=3)=P(ABC+A B C )=P(A)P(B)P(C)+P(A)P( B )P( C )= × × + × × = . 4 2 3 4 2 3 8 1 3 1 P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)=1- - = , 8 8 2 ∴ξ 的分布列为 ξ P(ξ) 1 3 1 27 ∴E(ξ)=2× +3× +4× = . 8 8 2 8 2 1 8 3 3 8 4 1 2


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