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2010高考数学辽宁卷(理)(精致PDF版)


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷 辽宁卷)

数学(供理科考生使用)
注意事项: 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 两部分。答卷前, 答卷前,考生务必将自己的姓名、 考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。 号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ 回答第Ⅰ卷时, 卷时,选出每小题答案后, 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 如需改动,用 橡皮擦干净后, 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ 回答第Ⅱ卷时, 卷时,将答案写在答题卡上, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 写在本试卷上无效。 4. 考试结束后, 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题: 选择题:本大题共 12 小题, 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中 每小题给出的四个选项中, 选项中,只有一项是符合题目要求的。 只有一项是符合题目要求的。 (1)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集, 的子集,且 A∩B={3},( CU B)∩A={9},则 A= (A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

(2)设 a,b 为实数, 为实数,若复数 (A) a =

1+2i = 1 + i ,则 a + bi
(B) a = 3, b = 1 (C) a =

1 3 ,b = (D) a = 1, b = 3 2 2 2 3 (3)两个实习生每人加工一个零件. 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相 3 4
互独立, 互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 (A)

3 1 ,b = 2 2

1 2

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

(4)如果执行右面的程序框图, 如果执行右面的程序框图,输入正整数 n,m,满足 n≥m,那么输出的 P 等于 (A) Cn
m ?1

(B) An

m ?1

(C) Cn

m

(D) An

m

(5)设 ω >0,函数 y = sin( ω x +

π

3 原图像重合, 原图像重合,则 ω 的最小值是
(A)

) + 2 的图像向右平移

4π 个单位后与 3
(D) 3

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(6)设{an}是有正数组成的等比数列, 是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。 项和。已知 a2a4=1, S3 = 7 , 则 S5 = (A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

2010 辽宁卷(理数)第 1 页 (共 4 页)

(7)设抛物线 y = 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, 为抛物线上一点, PA ⊥ l , A 为垂足, 为垂足,如果直线 AF
2

斜率为 ? 3 ,那么 PF = (A) 4 3 (B) 8 (C) 8 3 (D) 16 (8)平面上 O, A, B 三点不共线, 三点不共线,设 OA = a, OB = b ,则 ?OAB 的面积等于 (A)

a b ? a ?b

2

2

( )

2

(B)

a b + a ?b

2

2

( )
2

2

(C)

1 2

a b ? a ?b

2

2

( )

2

(D)

1 2

a + b a ?b

2

( )

2

(9)设双曲的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此 双曲线的离心率为 (A) 2 (B)

3

(C)

3 +1 2

(D)

5 +1 2

(10)已知点 P 在曲线 y= (A) [0,

π
4

)

4 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1 π π π 3π 3π (B) [ , ) (C) ( , ] (D) [ ,π ) 4 2 2 4 4
x

(11)已知 a >0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是

1 2 1 2 ax ? bx ≥ ax0 ? bx0 2 2 1 2 1 2 (C) ?x ∈ R, ax ? bx ≥ ax0 ? bx0 2 2
(A) ?x ∈ R,

(B) ?x ∈ R,

1 2 1 2 ax ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2 1 2 1 2 (D) ?x ∈ R, ax ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2

(12)有四根长都为 2 的直铁条, 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条, 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一 个三棱锥形的铁架, 个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 (A)(0, 6 + 2 ) (B)(1, 2 2 ) (C) ( 6 ? 2 , 6 + 2 ) (D) (0, 2 2 )

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题, 题为必考题,每个试题考生都必须做答。 每个试题考生都必须做答。第 22 题~ 第 24 题为选考题, 题为选考题,考生根据要求做答。 考生根据要求做答。 二、填空题: 填空题:本大题共 4 小题, 小题,每小题 5 分。 (13) (1 + x + x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_________.
2 6

1 x

(14)已知 ?1 < x + y < 4 且 2 < x ? y < 3 ,则 z = 2 x ? 3 y 的取值范围是_______(答案用区间表示) 答案用区间表示) (15)如图, 如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的 三视图, 三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______. (16) 已知数列 {an } 满足 a1 = 33, an +1 ? an = 2n, 则

an 的最小值为__________. n

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三、解答题: 解答题:解答应写出文字说明, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 2a sin A = (2b + c ) sin B + ( 2c + b) sin C (Ⅰ)求 A 的大小; 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值. (18)(本小题满分 12 分) 为了比较注射 A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积, 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验, 只家兔做试验,将这 200 只家兔随机 地分成两组, 地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B。 (Ⅰ)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、 求甲、乙分在不同组的概率; 乙分在不同组的概率; (Ⅱ)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位: 疱疹面积单位:mm2) 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 [60,65 ) [65,70 ) 疱疹面积 频数 30 40

[70,75 ) 20

[75,80 ) 10

注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 [60,65 ) [65,70 ) [70,75 ) 疱疹面积 频数 10 25 20

[75,80 ) 30

[75,80 ) 15

(ⅰ)完成下面频率分布直方图, 完成下面频率分布直方图,并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小; 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;

(ⅱ)完成下面 2×2 列联表, 列联表,并回答能否有 99.9%的把握认为“ 的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药 物 B 后的疱疹面积有差异” 后的疱疹面积有差异”.

2010 辽宁卷(理数)第 3 页 (共 4 页)

(19)(本小题满分 12 分) 已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 平面 ABC , AB ⊥ AC , PA = AC = 1 AB , N 为 AB 上一点, 上一点, 2

AB = 4 AN , M , S 分别为 PB, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: 证明: CM ⊥ SN ; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

(20)(本小题满分 12 分)
设椭圆 C:

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 两点, a2 b2

直线 l 的倾斜角为 60o, AF = 2 FB . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; 的离心率; (Ⅱ)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4
2

(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x ) = ( a + 1) ln x + ax + 1 (I)讨论函数 f ( x ) 的单调性; 的单调性; (II)设 a < ?1 .如果对任意 x1 , x 2 ∈ (0,+∞) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ≥ 4 | x1 ? x 2 | ,求 a 的取值范围。 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答, 三题中任选一题做答,如果多做, 如果多做,则按所做的第一题记分。 则按所做的第一题记分。 (22) (本小题满分 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E 证明: (I)证明 : ?ABE ? ?ADC (II)若 ?ABC 的面积 S =

1 AD ? AE ,求 ∠BAC 的大小。 的大小。 2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
已知 P 为半圆 C : ?

? x = cos θ ( θ 为参数, 为参数, 0 ≤ θ ≤ π )上的点, 上的点,点 A 的坐标为 (1,0) , O 为坐标原点, 为坐标原点, ? y = sin θ

点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为

π
3

(I)以 O 为极点, 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知 a, b, c 均为正数, 证明: 均为正数, 证明:a + b + c + (
2 2 2

1 1 1 2 + + ) ≥ 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时, 等号成立。 为何值时, 等号成立。 a b c

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