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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第6章 不等式、推理与证明6 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具]

一、选择题 1.(2013 年山师大附中模拟)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a, b,c 中恰有一个偶数”正确的反设为( A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 解析:“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”. 答案

:B 2.(2013 年张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a >b>c,且 a+b+c=0,求证 A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析: b2-ac< 3a ?b2-ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 b2-ac< 3a”索的因应是( B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 ) )

?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案:C a2 b2 3.设 0<x<1, a>0,b>0,a、b 为常数, x + 的最小值是( 1-x A.4ab C.(a+b)2
2 b2 ? ?a + ? 解析: x 1-x?(x+1-x) ? ?

)

B.2(a2+b2) D.(a-b)2

a2?1-x? b2x =a2+ + +b2≥a2+b2+2ab=(a+b)2. x 1-x 答案:C 4.(2013 年营口模拟)若 a、b、c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b 与 a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:由已知得①②正确,③中,a≠c,b≠c,a≠b 可能同时成立,如 a =1,b=2,c=3. 答案:C 5.(2013 年潍坊质检)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调 递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 )

B.恒等于零 D.无法确定正负

解析:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x) 是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 答案:A 二、填空题 6.(2013 年大连模拟)若 a,b,c 为 Rt△ABC 的三边,其中 c 为斜边,那么 当 n>2,n∈N*时,an+bn 与 cn 的大小关系为________.

解析:取 a=b=1,c= 2,易知当 n>2 时,an+bn=2,cn=( 2)n=2· ( 2)n
-2

>2,由题意知 an+bn 与 cn 的大小关系应该是确定的,故猜想 an+bn<cn.事实

上,注意 a<c,b<c,n>2,所以有 an+bn=a2an-2+b2bn-2<a2cn-2+b2cn-2=(a2 +b2)cn-2=cn,故 an+bn<cn. 答案:an+bn<cn 7.(2012 年莱芜调研)凸函数的性质定理为:如果函数 f(x)在区间 D 上是凸 函 数 , 则 对 于 区 间 D 内 的 任 意 x1 , x2 , ? , xn , 有 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? n

x1+x2+?+xn ≤f( ), 已知函数 y=sin x 在区间(0, π)上是凸函数, 则在△ABC 中, n sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 解析:∵f(x)=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,且 A,B,C∈(0,π), ∴ f?A?+f?B?+f?C? ?A+B+C? ?π? ?=f?3?, ≤f? 3 3 ? ? ? ?

π 3 3 即 sin A+sin B+sin C≤3sin 3= 2 , 3 3 所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为 2 . 3 3 答案: 2 1 9 8.(2013 年唐山模拟)已知 a,b,μ∈R+且a+b=1,则使得 a+b≥μ 恒成立 的 μ 的取值范围是________. 1 9 解析:∵a、b∈R+且a+b=1, ?1 9? ?9a b? ∴a+b=(a+b)?a+b?=10+? b +a? ? ? ? ? ≥10+2 9=16; ∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 答案:(0,16] 9.(2013 年邯郸模拟)设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;

④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是________.(填序号) 1 2 解析:若 a=2,b=3,则 a+b>1, 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 答案:③ 三、解答题 π π π 10.若 x,y,z 均为实数,且 a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6, 求证:a,b,c 中至少有一个大于零. 证明:假设 a,b,c 都不大于零,即 a≤0,b≤0,c≤0, 则 a+b+c≤0. π? ? 2 π? ? 2 π? ? 2 即?x -2y+2?+?y -2z+3?+?z -2x+6?≤0, ? ? ? ? ? ? 整理得(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≤0, 此式显然不成立,∴a,b,c 中至少有一个大于零. 11.(2013 年泉州模拟)用分析法证明:若 a>0,则 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a 证明:要证 只要证 1 1 a2+a2- 2≥a+a-2,

1 1 a2+a2+2≥a+a+ 2, 1 1 ? ? ? a+a+ 2?2, a2+a2+2?2≥? ? ? ?

? ∵a>0,即证? ?

1 即 a2+a2+4 即证 2

1? 1 1 ? a2+a2+4≥a2+2+a2+2 2?a+a?+2, ? ?

1? 1 ? a2+a2≥ 2?a+a?, ? ?

1? ? 1? ? 即证 4?a2+a2?≥2?a2+2+a2?, ? ? ? ? 1 即 a2+a2≥2. 1 而不等式 a2+a2≥2 显然成立,故原不等式成立. 12.(能力提升)(1)设 x 是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3; (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 是否仍然成立?如果成立,请 给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值. 证明: (1)x 是正实数, 由基本不等式知 x+1≥2 x, 1+x2≥2x, x3+1≥2 x3, 故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2 x· 2x· 2 x3=8x3(当且仅当 x=1 时等号成立). (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 仍然成立. 由(1)知,当 x>0 时,不等式成立;当 x≤0 时,8x3≤0, 而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1) ?? 1?2 3? x- ? + ?≥0. =(x+1)2(x2+1)?? ?? 2? 4? 此时不等式仍然成立. [因材施教· 学生备选练习] (2013 年临川模拟)设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合: an+an+2 ① 2 ≤an+1,②an≤M,其中 n∈N*,M 是与 n 无关的常数. (1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集 合 W 之间的关系; (2)设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且{bn}∈W,M 的最小值为 m,求 m 的 值; 1 (3)在(2)的条件下,设 Cn=5[bn+(m-5)n]+ 2,求证:数列{Cn}中任意不同 的三项都不能成为等比数列. 解析:(1)∵a3=4,S3=18,∴a1=8,d=-2.

∴Sn=-n2+9n. Sn+Sn+2 <Sn+1 满足条件①, 2 9? 81 ? Sn=-?n-2?2+ 4 ,当 n=4 或 5 时,Sn 取最大值 20. ? ? ∴Sn≤20 满足条件②,∴{Sn}∈W. (2)bn+1-bn=5-2n 可知{bn}中最大项是 b3=7, ∴M ≥7,M 的最小值为 7. (3)由(2)知 Cn=n+ 2,假设{Cn}中存在三项 cp,cq,cr(p,q,r 互不相等)
2 成等比数列,则 cq =cp· cr,

∴(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2), ∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.
2 ?q =pr, ∵p、q、r∈N ,∴? ?2q-p-r=0. *

消去 q 得(p-r)2=0, ∴p=r,与 p≠r 矛盾. ∴{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.


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