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2010年广州市高三二模数学试题(理科word版)


2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数 学(理科)
参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6. 已知点 P ? x, y? 的坐标满足 ? x ? y ? 3 ? 0, ? x ? 2. ?
原点, 则

O 为坐标

? A ? B?

? P ? A? ? P ? B? . ? A ? B? ? P ? A? ? P ? B ? .

PO 的最小值为(
B.

)

如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P

A.

2 2

3 2 2

C.

5

D.

13

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重 复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 7. 已 知 函 数

P ? k ? ? C k p k ?1 ? p ? n n
3

n?k

? k ? 0,1,2,?, n? .

? ? ?? f ? x ? ? x sin x , 若 x1 , x2 ? ? ? , ? 且 ? 2 2?
)

两数立方差公式: a ? b ? ? a ? b ? a ? ab ? b
3 2

?

2

?.

f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 则下列不等式中正确的是(
A.

一、 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分. 在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. 已知 i 为虚数单位,若复数 实数 a 的值为( A. ?1 ) B. 0 C. 1 D.不确定
U B) 中有

x1 ? x2 B. x1 ? x2 C. x1 ? x2 ? 0 D. x12 ? x22

8. 一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当 他离汽车 25 米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行 驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻 t 的速度为

? a ?1? ? ? a ?1? i 为实数,则

v ?t ? ? t 米/秒, 那么, 此人(
A. 可在 7 秒内追上汽车 B. 可在 9 秒内追上汽车

)

2. 已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (痧A) ? ( U n 个元素.若 A I B 非空,则 A I B 的元素个数为( A. mn B. m ? n C. m ? n

)

D.

n?m

C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 14 米 D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 7 米

3. 已知向量 a ? ? sin x , cos x ? ,向量 b ? 1, 3 ,则 a ? b 的最大值为( A. 1 ) B.

?

?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.若函数

3

C. 3

D. 9

?? ? f ? x ? ? cos ? ?x ? cos ? ? ?x ? ? ? ? 0 ? 的最小正 ?2 ?
开始
.
输 入

4. 若 m, n 是互不相同的空间直线, 正确的是( )

? 是平面,

则下列命题中

周期为 ? ,则 ? 的值为

A. 若 m // n, n ? ? ,则 m // ? B. 若 m // n, n // ? ,则 m // ? C. 若 m // n, n ? ? ,则 m ? ? D. 若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ? 5. 在如图 1 所示的算法流程图, 若 则h

10. 已知椭圆 C 的离心 率e ?

x


f ? x? ? g ? x?



3 , 且它的焦点与 2
2

双曲线 x

? 2 y 2 ? 4 的焦

h ? x? ? f ? x?
.

h ? x? ? g ? x?

点重合, 则椭圆 C 的方程为

输出 h ? x ?

f ? x ? ? 2x , g ? x ? ? x3 ,
结 束 11. 甲、 乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变
量 ? 、? , 其分布列分别为: 若甲、 乙两人的日产量相等, 则甲、乙两人中技术较好的 是
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? 2? 的值为(
B. 8 D. 4

)

(注:框图中的赋值符号“=”也可以

写成“ ? ” 或“:=”) A. 9 C. 6

?
P

0 0.3

1 0.5

2 0.2

?
P

0 0.4

1 0.3

2 0.2

3 0.1

.

12.图 2 是一个有 n 层

? n ? 2? 的六边形点阵.它的中心是一个

18.(本小题满分 14 分) {已删除} (1) 在第一个飞碟的射击 训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 命中飞碟的概率; (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率; 求他第二次射击

点,算作第一层, 第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个 点 ,?,第 个.

n 层每边有 n 个点, 则这个点阵的点数共有

2? ? 13.13. 已知 ? x ? ? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的 x? ?
系 数 比 为 为 56 ︰ 3, . 则 该 展 开 式 中 x
2

n

(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被 命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.

的 系 数 19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x
2

? 2 py ? p ? 0? 的

(二)选做题(14~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为

焦点为 F , A 、B 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的不同两点, 抛物线 C 在点 A 、B 处的切线分别为 l1 、l2 , l1 且

? l2 ,l1 与

? x ? 1 ? t, ( 参 数 t ? R), 圆 C 的 参 数 方 程 为 ? ? y ? 4 ? 2t. ? x ? 2cos ? ? 2, (参数 ? ? ?0, 2? ? ), 则直线 l 被圆 C 所截 ? y ? 2sin ? . ?
得的弦长为 .

l2 相交于点 D .
(1) 求点 D 的纵坐标; (2) 证明: A 、 B 、 F 三点共线; (3) 假设点 D 的坐标为 ?

15.(几何证明选讲选做题)如图 3, 半径为 5 的圆 O 的两条弦

?3 ? B 问是否存在经过 A 、 两 , ?1? , ?2 ?

AD 和 BC 相交于点 P , OD ? BC , P 为 AD 的中点,
D

点且与 l1 、 l2 都相切的圆,若存在,求出该圆的方程;若不存 在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分)

BC ? 6 , 则弦 AD 的
A

B P

C

长度为

.

O

已知函数 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字 图3 说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分 12 分)已知 tan ? (1) 求 tan ? 的值; (2) 求

f ? x ? ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a,b ? R)的一个极值
2

点为 x ? 1 .方程 ax ? x ? b ? 0 的两个 实根为 ? , ? 调的. (1) 求 a 的值和 b 的取值范围;

1 ?? ? ? ? ? ? 2, tan ? ? . 2 ?4 ?

?? ? ? ? ,

函数

f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单

sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?

2sin ? sin ? ? cos ?? ? ? ?

的值.

(2) 若 x1 , x2 ?

?? , ? ? ,

证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 .

17. (本小题满分 12 分)如图 4, 在直角梯形 ABCD 中,

?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 1, AD ? CD ,
把△ DAC 沿对角线 AC 折起后如图 5 所示(点 D 记为点

21. (本小题满分 14 分) 已知数列

?an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? b1 ,且对任意 n? N * 都有
an?1 b ? n2. an 1 ? an

P ), 点 P 在平面 ABC 上的正投影 E 落在线段 AB 上, 连
接 PB . (1) 求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的大小; (2) 求二面角 P ? AC ? B 的大小的余弦值. 图4 图5

an ? bn ? 1 ,
(1) 求数列 (2)证明:

?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

a a a2 a3 a4 a a a ? ? ? ? ? n?1 ? ln ?1 ? n ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n b2 b3 b 4 bn ?1 b1 b2 b 3 bn

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