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2011年高考数学一轮复习 10.8线面角与线线角


线面角与线线角
例 2: .如图:已知直三棱柱 ABC—A1B1C1,AB=AC,F 为棱 BB1 上一点,BF∶FB1 =2∶1,BF=BC=2a。 (I)若 D 为 BC 的中点,E 为 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明 EF⊥FC1; (II)试问:若 AB=2a,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60°角,为什么?证明你的结论。

答案: (I)连结 DF,DC

∵三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,

∴CC1⊥平面 ABC,∴平面 BB1C1C⊥平面 ABC ∵AB=AC,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC,AD⊥平面 BB1C1C ∴DF 为 EF 在平面 BB1C1C 上的射影, 在△DFC1 中,∵DF2=BF2+BD2=5a2, DC12 = CC12 +DC2=10a2,
2 FC1 =B1F2+ B1C12 =5a2, ∴ DC12 =DF2+ FC12 ,∴DF⊥FC1 FC1⊥EF

(II)∵AD⊥平面 BB1C1C,∴∠DFE 是 EF 与平面 BB1C1C 所成的角 在△EDF 中,若∠EFD=60°,则 ED=DFtg60°= 3 · 5a = 15a , ∴ 15a > 3a ,∴E 在 DA 的延长线上,而不在线段 AD 上 故线段 AD 上的 E 点不能使 EF 与平面 BB1C1C 成 60°角。 例 3: 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是 AB=2, BC A = 2 的矩形, 侧面 PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB⊥底面 ABCD. D (Ⅰ)证明:BC⊥侧面 PAB; B (Ⅱ)证明: 侧面 PAD⊥侧面 PAB; (Ⅲ)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的大小; C 答案: (Ⅰ)证: ∵侧面 PAB⊥底面 ABCD, 且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, 在 矩形 ABCD 中, BC⊥AB,.∴BC⊥侧面 PAB. (Ⅱ)证: 在矩形 ABCD 中, AD∥BC, BC⊥侧面 PAB, ∴AD⊥侧面 PAB. 又 AD ? 平面 PAD, ∴侧面 PAD⊥侧面 PAB. (Ⅲ)解: 在侧面 PAB 内, 过点 P 做 PE⊥AB, 垂足为 E, 连结 EC, ∵侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB, PE⊥AB, ∴PE⊥底面 ABCD. 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得 PE= 3 , EC= 3 .在 Rt△PEC 中, ∠PCE=45°. 例 4 :设 △ ABC 内 接于⊙ O ,其中 AB 为 ⊙ O 的 直径, PA ⊥ 平面 ABC 。 如图 P

cos ?ABC ?
答案:

5 , PA : PB ? 4 : 3, 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小. 6
5 x 2

设PA ? 4 x, AB ? 3x, 则PB ? 5 x, BC ? 3x cos?ABC ? ? AB是?O的直径 ? ?ACB ? 90? ,即BC ? AC 又 ? PA ? 面ABC,? PA ? BC ? BC ? 面PAC ? ?BPC是PB和面PAC所成的角 5x 1 在Rt?BPC中, sin ?BPC ? 2 ? ,? ?BPC ? 30? 5x 2 即直线PB和平面PAC所成的角为 30?

3.设正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面 直线 BE 与 SC 所成的角是 A.30° B.45° C.60° 答案:C 。解析:连 AC、BD 交于 O,连 OE,则 OE//SC. ( D.90° )

3 2 ? BE 2 ? 2, OB 2 ? , OE ? ,? cos?BEO ? 2 2

1 3 ? 2 2 ? 1 ,? ?BEO ? 60? 2 2 2? 2 ? 2 2?

4.异面直线 a , b 所成的角为 60 ? ,过空间一定点 P,作直线 L,使 L 与 a ,b 所成的角 均为 60 ? ,这样的直线 L 有 条。 答案:三条。解析:如换成 50°,70°呢。 5.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,D 是底面三角形内一点,且 ∠DPA=450,∠DPB=600,则∠DPC=__________。 答案:600 。解析:以 PD 为对角线构造长方体 6.正方体 AC1 中,过点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角都相 等,试写出满足条件的一个截面____________ 答案: 面 AD1C。 解析: 可得 12 条棱分成三类: 平行、 相交、 异面, 考虑正三棱锥 D-AD1C, 7.如图,四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M C 为 AB 的中点,求: (1)BC 与平面 SAB 所成的角; (2)SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。

H

S
M
A

B

解析: (1)∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面 SAB。 于是 SB 就是直线 BC 与平面 SAB 所成的角,为 60°。 (2)联结 SM, CM,∵在 Rt△SAB 中,∠SBA=45°,∴SM⊥AB, ∴AB⊥平面 SCM。 作 SH⊥CM 于 H,则 AB⊥SH,故 SH⊥平面 ABC,所以∠SCH 为 SC 与平面 ABC 所

成的角。 设 SA=a,则 SB=a,SC= 3a ,SM= 在 Rt△CSM 中, CM ?

2 a。 2

1 SC 2 ? SM 2 ? 3a 2 ? a 2 , 2 2 a SM 7 2 sin ?SCH ? sin ?SCM ? ? ? 。 CM 7 7 a 2 7 即 SC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。 7
8.如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB = 2,侧棱 BB1 的长为 4, 过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F, ⑴求证:A1C⊥平面 BDE; ⑵求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值。

答案:⑴由三垂线定理可得,A1C⊥BD,A1C⊥BE ? A1C⊥平面 BDE ⑵以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立坐标系,则 A1 (2, 0, 4) , C (0, 2, 0)

B (2, 2, 0) ,∴ AC ? (?2, 2, ?4) , A1B ? (0, 2, ?4) 1
∴ cos ? A1C , A1 B ?? 设 A1C

A1C ? A1 B A1C ? A1 B

?

30 6

平面 BDE=K,由⑴可知,∠A1BK 为 A1B 与平面 BDE 所成角,

30 6 9.A 是△BCD 所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°,AB=3,AC=AD=2. (Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.
∴ sin ?A1 BK ? cos ? A1C , A1 B ??
答案: (Ⅰ)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°, AC=AD=2,AB=3, ∴△ABC≌△ABD,BC=BD. 取 CD 的中点 M,连 AM、BM,则 CD⊥AM,CD⊥BM. ∴CD⊥平面 ABM,于是 AB⊥BD. (Ⅱ)由 CD⊥平面 ABM,则平面 ABM⊥平面 BCD,这样∠ABM 是 AB 与平面 BCD 所成的角. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,? BC ?

AB2 ? AC2 ? AB ? AC ? 7 . 在△ACD 中,

AC=AD=2,∠CAD=60°,∴△ACD 是正三角形,AM=

3.

在 Rt△BCM 中,BC=

7 ,CM=1,

2 2 2 ? BM ? 6 .? cos?ABM ? AB ? BM ? AM ? 6 .

2 AB ? BM

3

10.已知等腰 ?ABC 中,AC = BC = 2, ? ACB = 120?,?ABC 所在平面外的一点 P 到三 角形三顶点的距离都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。

答案:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB、OC,则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影, ∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。∵ PA = PB = PC, ∴点 P 在底面的射影是 ?ABC 的外心, 注意到 ?ABC 为钝角三角形,∴点 O 在 ?ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是 ?ABC 的外心,∴OC⊥AB 在 ?OBC 中,OC = OB, ? OCB = 60?,∴?OBC 为等边三角形,∴OC = 2 在 Rt?POC 中, cos ?PCO ?

OC 1 ? ∴ ? PCO = 60? 。 PC 2

6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=5,AD=8,AA1=4,M 为 B1C1 上一点, 且 B1M=2,点 N 在线段 A1D 上,A1D⊥AN,求: (1) cos ? A 1D, AM ? ; (2) 直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切; (3) 平面 ANM 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余 弦值.

解析:(1) 以 A 为原点,AB、AD、AA1 所在直线 则 D(0,8,0),A1 (0,0,4),M(5,2,4)

为 x 轴,y 轴,z 轴.

? A1 D ? (0,8,?4 )

AM ? (5,2,4)

∵ A1 D ? AM ? 0 ∴ cos?A1 D, AM ?? 0 (2) 由(1)知 A1D⊥AM,又由已知 A1D⊥AN,? A1 D ? 平面 AMN,垂足为 N. 因此 AD 与平面 ANM 所成的角即是 ? DAN .

∴ tan ?DAN ? tan ?AA 1D ? 2 (3) ∵ AA1 ? 平面 ABCD,A1N ? 平面 AMN, ∴ AA 1和NA 1 分别成为平面 ABCD 和平面 AMN 的法向量。 设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角(锐角)为 ? ,则 。 8. 如图,正方形 ACC1A1 与等腰直角△ACB 互相垂直,∠ACB=90°,E、F 分别是 AB、 BC 的中点, G 是 AA1 上的点. (1)若 AC1 ? EG ,试确定点 G 的位置; (2)在满足条件(1)的情况下,试求 cos< AC , GF >的值.

解析:(1)以 C 为原点, CB 为 x 轴正方向, CA 为 y 轴正方向, CC1 为 z 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系。 令 A(0,1, 0) ,则 B (1, 0, 0), E ( , , 0), C1 (0, 0,1) , 设 G (0,1, a) ,则 AC1 ? (0, ?1,1), EG ? (? , , a) ,

z

1 1 2 2

C1
C
E

A1 G
A y

1 1 2 2

1 由 AC1 ? EG 得 a ? ,∴G 为 AA1 的中点。 2

F

x B 1 1 1 6 (2) GF ? ( , ?1, ? ), AC ? (0, ?1, 0) ,? cos ? AC , GF ?? 。 ? 2 2 3 3 2

5.一个直角三角形的两条直角边长为 2 和 4,沿斜边高线折成直二面角,则两直角边所夹 角的余弦值为_____。 答案:

2 。解析:CD 为斜边上的高, 5

设 BD ? x, AB ?

22 ? 42 ? 2 5

x?

22 2 5

?

2 5

?

2 2 5 5? 5 5 AD ? 2 5 ? 5 8 5

? CD ? AB,? BD ? CD, AD ? CD

? ?ADB 为二面角的平面角,? ?ADB ?

?
2

? AB ? (

2 8 20 ? 320 2 85 5) 2 ? ( 5) 2 ? ? 5 5 25 5
22 ? 42 ? ( 2 85) 2 2 5 ? 2? 2? 4 5

? cos?ACB ?

6.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD, PD ? CD ? AD ? 1 AB , 2 ∠ADC = 120? , ⑴求证:求异面直线 AD,PB 的所成角; ⑵若 AB 的中点为 E,求二面角 D-PC-E 的大小。

3 答案: ⑴连 BD, ∵∠ADC=120? , AB∥CD, ∴∠DAB=60? , 又A ∴ BD ? AB D ? 1A B , 2 2
∴AD⊥BD,又∵PD⊥面 ABCD,∴PD⊥AD,∴AD⊥平面 PDB,∴AD⊥PB, 即异面直线 AD、PB 的所成角为 90°。 ⑵连 DE,由已知可得△DEC 为正三角形,取 DC 的中点 F,连 EF,则 EF⊥CD, ∵PD⊥面 ABCD,∴EF⊥PD,∴EF⊥面 PCD,过 F 作 FG⊥PC,连 EG, 则∠EGF 为二面角 D-PC-E 的平面角

1 CP ? PD 3 a ,在△PDC 中, PC ? 2a ,则 FG ? 2 设 CD=a,则 EF ? ? a 2 PC 2 2
∴ tan ?EGF ? EF ? FG

6 ∴ ?EGF ? arctan 6 (注:本题用空间向量做也可)

7. 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a,A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上. (Ⅰ)求 AB 与侧面 AC1 所成的角; (Ⅱ)若 O 恰是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积.

答案:(Ⅰ)在△ABC 中, AB= 2a , BC=AC=a,∴△ABC 是等腰直角三角形,BC⊥AC,

∠CAB=45°,又 BC⊥A1O,故 BC⊥侧面 AC1,AB 与侧面 AC1 所成角就是∠BAC=45°. (Ⅱ)由(Ⅰ)知四边形 B1BCC1 为矩形,? S B BCC ? a 2 .? A1O ? AC, O为AC 中点, 1 1
? A1O ? 3 3 2 a, S A1 ACC1 ? AC ? A1O ? a .作OE ? AB 于 E,连结 A1E,则 AB⊥A1E. 在 2 2

Rt△AOE

2 2 14 ? AO ? a ,在 Rt△A1EO 中, A1 E ? A1O 2 ? OE 2 ? a. 2 4 4 7 2 ? S ABB1 A1 ? AB ? A1 E ? a . ? S 侧 ? ( 3 ? 2 ? 7 )a 2 . 2 8.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP⊥底面 ABC. P
中, OE ? (Ⅰ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; 2
O B

D

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 答案:(Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点,? OD∥PA
A C

又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB
AB ? BC,OA ? OC,
? OA ? OB ? OC,



OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC.

取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE , 作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC

? ?ODF 是OD与平面PBC所成的角.
又 OD∥PA ,

? PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF ,
OF 210 ? , OD 30
王新敞
奎屯 新疆

在Rt ?ODF中, sin ?ODF ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OF ? 平面PBC ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影 ∵D 是 PC 的中点,

若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线,∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1

王新敞
奎屯

新疆

反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心
王新敞
奎屯 新疆


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