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广东省揭阳市2014届高考数学第二次模拟考试试题 理 新人教A版


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广东省揭阳市 2014 届高三 4 月第二次模拟 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,

如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

V ?
棱锥的体积公式:

1 Sh 3 .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? R , A ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 C R A ? A. (??,1) B. (0,1] C. [1, ??) D. (1, ??)

( 1+i) (1 ? mi) ? 2i (i 是虚数单位) 2.已知 ,则实数 m 的值为
A. ?1 3.已知等差数列 B.1 C. 2 D. ?1

?an ? 中, a2 ? 6 ,前 7 项和 S7 ? 84 ,则 a6 等于

A.18 B. 20 C.24 D. 32 4.运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是

1 A. 6

25 B. 24

3 C. 4

11 D. 12

? p 5.已知命题 :函数 y ? sin 4 x 是最小正周期为 2 的周期函数,命题

1

( , ?) q :函数 y ? tan x 在 2 上单调递减,则下列命题为真命题的是
A. p ? q x y B. (?p) ? q 6 2 8 3 C. (?p) ? (?q) 10 5 D. (?p) ? (?q) 12 6

?

6.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 中的 b 的值为 0.7 ,

?

?

?

?

? ? ? 则记忆力为 14 的同学的判断力约为(附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, a ? y ? b x ,
其中 x , y 为样本平均值) A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5

?

?

f ( x) ? cos( x ? ) 4 ,则 7. 若
A. f (?1) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (?1) ? f (0) B. f (?1) ? f (1) ? f (0) D. f (1) ? f (0) ? f (?1)

?

? x ? 0, ? y ? 0, ? ? ? x ? 2 y ? 6, M ( x1, y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 的坐标满足不等式组 ? 1) ,则 MN ?a ?3x ? y ? 12. ,若 a ? (1, ? 8.已知点
的取值范围是 A. [?3,3] B. [?4, 4] C. [?6, 6] D. [?7, 7]

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 | 2 x ? 1|? 2 的解集为 .

1 (x ? )10 x 的展开式中 x 4 的系数为 10.
2 2

. .
2

11.过点(2,1)作圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 的弦,其中最短的弦长为

图 2

12.已知一棱锥的三视图如图 2 所示,其中侧视图和俯视图都是 等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则该棱锥的体积为 13.已知函数 y ? f ( x) ? x 为偶函数,且 f (10) ? 10, 若函数
3



g ( x) ? f ( x) ? 4 ,则 g (?10) =



(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题)

π? ? A? 4 , ? ? 2 ? 引圆 14.(坐标系与参数方程选做题)[在极坐标系中,过点 ?

? ? 4sin ? 的一条切线,则切线长为


图 3

15. (几何证明选讲选做题)如图(3) , PA 是圆 O 的切线,切点为 A ,
PO 交圆 O 于 B, C 两点,且 PA ? 2, PB ? 1, 则 AB 的长为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1 13 cos A ? , cos( A ? B) ? , 7 14 且 B ? A . 在 △ ABC 中,已知
(1)求角 B 和 sin C 的值; (2)若 △ ABC 的边 AB ? 5 ,求边 AC 的长. 17. (本小题满分 12 分) 下表是某市从 3 月份中随机抽取的 10 天空气质量指数(AQI)和“PM2.5”(直径小于等于 2.5 微米的颗粒物)24 小时平均浓度的数据,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良. 日期编号 空气质量指数(AQI) “PM2.5”24 小时平均浓度( ug / m )
3

A1 179 135

A2 40 5

A3 98 80

A4 124 94

A5 29 80

A6 133 100

A7 241 190

A8 424 387

A9 95 70

A10 89 66

(1)根据上表数据,估计该市当月某日空气质量优良的概率; (2)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取两个对其当天的数据作进一步的 分析,设事件 M 为“抽取的两个日期中,当天‘PM2.5’的 24 小时平均浓度不超过 75 ug / m ” , 求事件 M 发生的概率;
3
3

(3)在上表数据中,在表示空气质量优良的日期中,随机抽取 3 天,记 ? 为“PM2.5”24 小时 平均浓度不超过 75 ug / m 的天数,求 ? 的分布列和数学期望.
3

18. (本小题满分 14 分)

已知等比数列 ( n ? N ). (1)求数列
?

?an ?

4 2 2 S n ? b n ? an ? {b } a ? 4, 公比 q ? 2 , S 且 3 3 3 满足: 2 数列 n 的前 n 项和为 n ,

?an ? 和数列 {bn} 的通项 an 和 bn ;
bn c c1 c2 n (n ? N ? ) ? ? ... ? n ? an c c3 cn ?1 2 . ,证明: 2

cn ?
(2)设

19. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且∠ACB=90°, ∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6 ,点 P、M、N 分别为 BC1、CC1、AB1 的中点. (1)求证:PN//平面 ABC; (2)求证:AB1⊥A1M; (3)求二面角 C1—A B1—A1 的余弦值. 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线的方程为 y ? ax ? 1 ,直线 l 的方程为
2

图4

y?

x 2 ,点 A ? 3, ?1? 关于直线 l 的对称点在抛

物线上. (1)求抛物线的方程;

?1 ? 15 P ? ,1? F (0, ? ) 16 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,求 | MP | ? | MF | 的 (2)已知 ? 2 ? ,点
最小值及此时点 M 的坐标; (3)设点 B、C 是抛物线上的动点,点 D 是抛物线与 x 轴正半轴交点,△BCD 是以 D 为直角顶点 的直角三角形.试探究直线 BC 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理 由. 21. (本小题满分 14 分)

4

f ( x) ? ln x, g ( x) ?
已知函数

1 2 x ? bx ? 1 2 ( b 为常数) .

(1)函数 f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g ( x) 的图象相切,求实数 b 的值;

h( x1 ) ? h( x2 ) ? M 成立,求满足上述 x x (2)若 b ? 0, h( x) ? f ( x) ? g ( x) , ? 1 、 2 ? [1, 2] 使得
条件的最大整数 M ; (3)当 b ? 2 时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围.

数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:CDAB DBAD 解析:

f (?1) ? cos( ? 1) ? cos(1 ? ) ? cos( ? ) ? f (0) ? 0 ? 1? ? ? 4 4 2 4 4 7. 因 , 而 2 , 故 f ( 1? ) c o? s ( 1? ) 0 4 ,所以选 A.

?

?

?

?

?

?

?

8. 设

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由 条 件 知 : x1 、 x2 ?[0, 4] , y1 、 y2 ?[0,3] , 则

? x2 ? x1 ? y1 ? y2[ ? 7 ,?, 7当且仅当点 ] M (4, 0), N (0,3) 时上式取得最小值-7, M N? a 当且仅
5

当点点 M (0,3), N (4, 0) 时,上式取最大值 7.故选 D.

{x | ?
二、填空题:9.

3 1 ?x? } 2 2 ;10.-120 ;11. 2 2 ;12.16,13.2014,14. 4 2 ,

3 5 15. 5 .
解析:

1 1 V ? ? ? (4 ? 2) ? 4 ? 4 ? 16 3 2 12. 该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,依题意得 .
13.由函数 y ? f ( x) ? x 为偶函数得 f (? x) ? x ? f ( x) ? x ,则 f (?10) ?10 ? f (10) ? 10 ,
3 3 3 3 3

f (?10) ? 2010 ,故 g (?10) ? f (?10) ? 4 ? 2014 .
14.把 A 点和圆化为直角坐标系下的坐标和方程得

A? 0 , ? 4?

2 2 ,圆 x ? y ? 4 y ,A 点到圆心的距

2 2 离为 6,半径为 2,所以切线长为 6 ? 2 ? 4 2 .

PB
15 由 ?PBA ?PAC , 可得: PA

?

PA BA ? , PC AC ,由已知 PA ? 2, PB ? 1, ,可解得 PC ? 4 ,所以圆直

3 5 BA 1 AB ? ? , BA2 ? AC 2 ? 9 5 . 径为 3,又由 AC 2 可解得
三.解答题:

cos A ?
16. 解( 1 )由 分

1 13 ? ? cos( A ? B ) ? 0? A? 0 ? A? B ? 7 ?0, 14 ? 0, 得 2且 2 --------1

1 4 3 ? 1 ? ( )2 ? , 7 7 ---------------------------------------2 分 可得 sin A ? 1 ? cos A
2
2 sin( A ? B) ? 1 ? cos ( A ? B)

13 3 3 ? 1 ? ( )2 ? , 14 14 ---------------------------------3 分

?cos B ? cos[ A ? ( A ? B)] ? cos A cos( A ? B) ? sin A sin( A ? B)

6

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? 7 14 7 14 2 ---------------------------------------------------------5 分
∵0 ? B ??

?B ?

?

. 3 --------------------------------------------------------6 分

∵在△ABC 中, C ? ? ? ( A ? B) ∴ sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

? sin A cos B ? cos A sin B --------------------------------------------------------7 分

?

4 3 1 1 3 5 3 ? ? ? ? . 7 2 7 2 14 ------------------------------------------------------9 分

AB AC ? (2)在△ABC 中,由正弦定理得: sin C sin B ,---------------------------------10 分

3 AB ? sin B 2 ?7 AC ? ? sin C 5 3 14 ∴ . ------------------------------------------------12 分 5?
17.解: (1)由上表数据知,10 天中空气质量指数(AQI)小于 100 的日期有: A2 、A3 、A5 、A9 、A10 共 5 天,------------------------------------------------1 分

P?
故可估计该市当月某日空气质量优良的概率

5 1 ? 10 2 .------------------------------3 分

(2)由(1)知 10 天中表示空气质量为优良的天数为 5,当天“PM2.5”的 24 小时平均浓度不 超过 75 ug / m 有编号为 A2 、A9 、A10,共 3 天,-----------------------------------4 分
3

P( M ) ?
故事件 M 发生的概率

C32 3 ? C52 10 .---------------------------------------------6 分

(3)由(1)知, ? 的可能取值为 1,2,3. --------------------------------------------7 分

7

P(? ? 1) ?


1 2 C3 C2 3 ? , 3 C5 10 --------------------------------------------------------8 分

P(? ? 2) ?

1 C32C2 3 ? , 3 C5 5 -----------------------------------------------------------9 分 3 C3 1 ? 3 C5 10 , -----------------------------------------------------------10 分

P(? ? 3) ?

故 ? 的分布列为:

?
P (? )

1

2

3

3 10

3 5

1 10

--------------------------------------------------------11 分

? 的数学期望

E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 5 10 5 .-------------------------------------12 分

18.(1) 解法一:由

a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------------------------------------2 分
Sn ? 4 2 2 4 2 b n ? an ? Sn ? b n ? (2n ? 1) 3 3 3得 3 3 , 4 2 4 2 ? bn ? (2n ? 1) ? bn ?1 ? (2n ?1 ? 1) 3 3 3 3 ,-----------------4 分

由上式结合

b ? Sn ? Sn?1 则当 n ? 2 时, n

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 -------------------------------------------------------5 分

? bn ? 2n ? 4(bn?1 ? 2n?1 ) , -------------------------------------------------------7 分
b1 ? S1 ? 4 2 b1 ? ? 1 3 3 ,∴ b1 ? 2 ,------------------------------------------------8 分



∴数列 ∴

{bn ? 2n } 是首项为 b1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,---------------------------9 分

bn ? 2n ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,∴ bn ? 4n ? 2n .-----------------------------------------10 分
8

【解法二:由

a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. ---------------------------------------------------------------2 分
Sn ? 4 2 2 4 2 b n ? an ? Sn ? b n ? (2n ? 1) 3 3 3得 3 3 , 4 2 4 2 ? bn ? (2n ? 1) ? bn ?1 ? (2n ?1 ? 1) 3 3 3 3 ,-----------------4 分

由上式结合

b ? Sn ? Sn?1 则当 n ? 2 时, n

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ? bn ? 4bn?1 ? 2n (n ? 2) --------------------------------5 分
bn bn ?1 1 ? ? (n ? 2) ? 4n 4n ?1 2n , ------------------------------------------------------6 分

bn b1 1 1 ? ? ? ? 4n 4 22 23


1 1 (1 ? n ?1 ) 1 22 2 ? n ? 1 1 1 2 ? ? n 1? 2 2 ,-----------------------------8 分 2

∵ ∴

b1 ? S1 ?

4 2 b1 ? ? 1 3 3 ,∴ b1 ? 2 ,------------------------------------------------9 分

bn ? 4n ? 2n .---------------------------------------------------------------10 分】
cn ? bn 4n ? 2n cn ? ? 2n ? 1 n an 得 2 ,------------------------------------------11 分

(2) 由

ck 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , (k ? 1, 2,..., n) ck ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 -----------------------------------13 分

ck 2k ? 1 2k 1 ? k ?1 ? k ?1 ? ,(k ? 1, 2,..., n) c 2 ?1 2 2 【或 k ?1 】
c c1 c2 n ? ? ... ? n ? . c c3 cn?1 2 ----------------------------------14 分 ∴ 2
19. (1)证明:连结 CB1,∵P 是 BC1 的中点 ,∴CB1 过点 P,--1 分 ∵N 为 AB1 的中点,∴PN//AC,-------------------- ---------2 分
9

又∵ AC ? 面 ABC , PN ? 面 ABC , ∴PN//平面 ABC. ------------------------------------------3 分 (2)证法一:在直角 Δ ABC 中,∵BC=1,∠BAC=30°, ∴ AC=A1C1= 3 --------------------------------------------------------------4 分

∵棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且

B1C1 ? C1 A1 ,以点 C1 为

原点,以 C1B1 所在的直线为 x 轴建立如图所示空间直角坐标系如图示,则

C1 (0,0,0) , A1 (0, 3,0) , B1 (1,0,0) , A(0, 3, 6) ,


M (0, 0,

6 ) 2 ---------------------6

AB1 ? (1, ? 3, ? 6) , ∴
AB1 ? A1M ? 3 ? 6 ?

A1M ? (0, ? 3,

6 ) 2 -----------------7 分



6 ?0 2 -----------------------------8 分

∴ A1M⊥AB1---------------------------------------------9 分 【证法二:连结 AC1,在直角 Δ ABC 中,∵BC=1,∠BAC=30°, ∴ AC=A1C1= 3

CC1 AC ? 1 1 AC MC1 = 2 ,-----------------------------------4 分 ∵ 1 1


Rt ?AC 1 1M

Rt ?C1CA ---------------------------------5 分

??A1MC1 ? ?CAC1 ,??AC1C ? ?CAC1 ? ?AC1C ? ?A1MC1 ? 90
即 AC1⊥A1M. -------------------------------------------6 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且

C1 A1 ? CC1 ? C1

∴B1C1⊥平面 AA1CC1,-----------------------------------7 分 ∴B1C1⊥A1M,又

AC1 ? B1C1 ? C1 ,故 A1M⊥A B1C1,-------------------------------8 分

AB1 ? 面 A B1C1, ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9 分】
【证法三:连结 AC1,在直角 Δ ABC 中,∵BC=1,∠BAC=30°,

10



AC=A1C1= 3 -------------------------------------------------------------4 分

设∠AC1A1=α ,∠MA1C1=β

tan ? tan ? ?


AA1 MC1 6 2 ? = ? =1 AC 3 2 1 1 AC 1 1 ,------------------------------------------5 分

∴α +β =90° 即 AC1⊥A1M. -------------------------------------------------------6 分 ∵B1C1⊥C1A1,CC1⊥B1C1,且

C1 A1 ? CC1 ? C1

∴B1C1⊥平面 AA1CC1,-----------------------------------------------------------7 分 ∴B1C1⊥A1M,又

AC1 ? B1C1 ? C1

故 A1M⊥面 A B1C1,-------------------------------------------------------------8 分

AB1 ? 面 A B1C1, ∴ A1M⊥AB1. -----------------------------------------------9 分】
(3)解法一:∵棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱与底面垂直,且

B1C1 ? C1 A1 ,

以点 C1 为原点,以 C1B1 所在的直线为 x 轴建立如图所示空间直角坐标系, 依题意得

C1 (0,0,0) , A1 (0, 3,0) , B1 (1,0,0) , A(0, 3, 6) , B(1,0, 6) ,
M (0, 0, 6 ) 2 ------------------------------------11 分

C(0,0, 6) ,
设面

AB1C1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)
x?0 ? ? ? ? 3 y ? 6 z ? 0 ,令 z ? 1, 得 n ? (0, ? 2,1) .-----12 分 得?



? ?n ? C1 B1 ? 0 ? ? ? n ? C1 A ? 0

同理可得面

AA1B1 的一个法向量为 m ? ( 3,1,0) ------------------------------------13 分

故二面角的平面角 ? 的余弦值为

cos? ? cos n, m ?

| n?m | 6 ? | n | ? | m | 6 ----------------------------------------------14 分

【解法二:过 C1 作 C1E⊥A1B1 交 A1B1 于点 E,过 E 作 EF⊥AB1 交 AB1 于 F,连结 C1 F, ∵平面 AA1BB1⊥底面 A1B1C1,∴ C1E⊥平面 AA1BB1, ∴ C1E⊥AB1,∴ AB1⊥平面 C1EF,∴ AB1⊥C1F,

11



?C1FE 为二面角 C1—A B1—A1 的平面角,-------------11 分
C1 E ?
1 3 B1 E ? 2 2 ,

?A B C 在 1 1 1 中,

Rt B1EF ~ Rt B1 AA1 ,

?

B1E EF ? AB1 AA1 ,----------------12 分

1 15 EF ? 2 6 ? AB1 ? 10 故 10 -----------------13 分 10 又

15 EF 6 cos ?C1 FE ? ? 10 ? FC1 3 10 6 10 -----------------------------------------------14 分】
20.解:(1)设点 A(3,-1)关于直线 l 的对称点为坐标为 A ' (x,y),
y ?1 ?x?3 ? 2? ?0 ? ? 2 2 ? ?x ? 1 ? y ? 1 ? ?2 ? y ? 3 ---------------------------3 分 ?x ?3 则? 解得 ?

把点 A ' (1,3)代入 y ? ax ? 1 ,解得 a = 4,
2

所以抛物线的方程为 y ? 4 x ? 1---------------------------4 分
2

F (0, ?
(2)∵

15 ) 16 是抛物线的焦点,抛物线的顶点为(0,-1) , x?? 17 16 , ------------------------------------------------------5 分

∴抛物线的准线为

过点 M 作准线的垂线,垂足为 A,由抛物线的定义知 | MF |?| MA | , ∴ | MP | ? | MF | = | MP | ? | MA |?| PA | ,当且仅当 P、M、A 三点共线时“=”成立,-------7 分 即当点 M 为过点 P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时, | MP | ? | MF | 取最小值,

12



(| MP | ? | MF |) min ? 1 ? (?

17 33 1 )? ( , 0) 16 16 ,这时点 M 的坐标为 2 .-------------------9 分

1 1 (? , ) (3)BC 所在的直线经过定点,该定点坐标为 2 4 , 1 ( , 0) 令 y ? 4 x ?1=0 ,可得 D 点的坐标为 2
2



B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 ,

kBC ?


y1 ? y2 4( x12 ? x2 2 ) ? ? 4( x1 ? x2 ), x1 ? x2 x1 ? x2 --------------------------------------10 分

1 1 k DB ? 4( x1 ? ), k DC ? 4( x2 ? ), 2 2 -------------------------------------------------11 分 1 1 5 1 k DB ? k DC ? 16( x1 ? )( x2 ? ) ? ?1 x1 x2 ? ? ? ( x1 ? x2 ), 2 2 16 2 ∵ BD ? CD ,∴ ,即
直线 BC 的方程为

y ? y1 ? 4( x1 ? x2 )( x ? x1 ),
1 4 --------------------------------13 分



y ? 4( x1 ? x2 ) x ? 4 x1 x2 ? 1 ? 2( x1 ? x2 )(2 x ? 1) ?

1 1 (? , ) 所以直线 BC 经过定点 2 4 .---------------------------------------------------14 分
21.解: (1)∵ f ( x) ? ln x ,∴
f ' ( x) ? 1 x , f ' (1) ? 1 ,

∴函数 f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 ,--------------------------2 分

? y ? x ? 1, ? ? 1 y ? x 2 ? bx ? 1, 2 ? y ? x ? 1 g ( x ) 2 ∵直线 与函数 的图象相切,由 ? 消去 y 得 x ? 2(b ? 1) x ? 4 ? 0 ,
则 ? ? 4(b ? 1) ? 16 ? 0 , 解得 b ? 1或 ? 3 -------------------------------------------4 分
2

13

(2)当 b ? 0 时,∵

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

1 2 x ? 1( x ? [1, 2]) 2 ,

h '( x) ?


1 (1 ? x)(1 ? x) ?x? x x ,--------------------------------------------------5 分

当 x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,∴在 [1, 2] 上单调递减,

h( x) max ? h(1) ? ?

3 2 , h( x)min ? h(2) ? ln 2 ? 3, -------------------------------------7 分 ? 3 ? ln 2 2 ,

[h( x1 ) ? h( x2 )]max ? h( x)max ? h( x)min 则
M?


3 ? ln 2 2 ? 1 ,故满足条件的最大整数 M ? 0 .----------------------------------9 分

(3)不妨设 x1 ? x2 ,∵函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增函数,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∵函数 g ( x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 2 ,∴函数 g ( x) 在区间[1,2]上是减函数, ∴

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,--------------------------------------------------------------10 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) , ∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于


f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , ------------------------------------------------11 分

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? x 2 ? bx ? 1
等价于 在区间[1,2]上是增函数,

1 2

? '( x) ?
等价于 分

1 ? x ?b ? 0 x 在区间 [1,2] 上恒成立, ----------------------------------12

b? x?
等价于

1 x 在区间[1,2]上恒成立,

∴ b ? 2 ,又 b ? 2 ,∴ b ? 2 .------------------------------------------------------14 分

14

15


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