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必修5课件3.4基本不等式


基本不等式

请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案?

赵爽弦图

若a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab
?该结论成立的条件是什么
? 形的角度 ? 数的角度



a2+b2-2ab
a>0,b>0

/>=(a-b)2≥0

若a,b∈R,那么 (当且仅当a=b时,取“=”号)
?公式中等号成立的条件是什么? ?是否仅仅当a=b时等号才成立?
? 形的角度 ? 数的角度

2+b2≥2ab a

a=b

当a=b时 a2+b2-2ab =(a-b)2=0

若a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时,取“=”号)
?公式两边具有何种运算结构?
? 数的角度:平方和不小于积的2倍

a2+b2

2ab

若a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时,取“=”号)
?以下不等式是否成立?

-2ab,

a2+b2≥ a2+b2≥2|ab|

?换元法

?如果用 a , b 去替换a、b,前提

是什么?能得到什么结论?

若a>0 b>0 若a∈R,b∈R
2+b2≥2 那么a + b ≥2 那么a

a b a b

(当且仅当a=b时,取“=”号)

(当且仅当a=b时,取“=”号)
?类比重要不等式的结论,填写

a?b 若a ? 0, b ? 0, 那么 ab ? 2

表格.

a?b 若a ? 0, b ? 0, 那么 ab ? 2

(当且仅当a=b时,取“=”号)
?几何解释:
D

半径不小于半弦

a?b 2
A

ab
C

a

O

b

B

E

熟悉运算结构
? 我们把

叫做a,b的算术平均数,把 ab 叫做a,b的几何平均数。 ? 从形的角度来看,基本不等式具有特定的几 何意义;从数的角度来看,基本不等式揭示 了“和”与“积”这两种结构间的不等关系。 ? 回忆一下你所学的知识中,有哪些地方出现 过“和”与“积” 的结构?

a?b 2

发现运算结构,应用不等式
1 ? 例1.试判断 x ? ( x ? 0) 与 2 的大小 x

关系?
? 如果将条件“x>0”

去掉,上述结论是否

仍然成立?

发现运算结构,应用不等式
b a ? (a ? 0, b ? 0) 与 2 的 ? 变式1.试判断 a b

大小关系?
? 在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”

可以变化吗?

发现运算结构,应用不等式
? 变式2.试判断 x(2 ? x)(0 ? x ? 2)

与1的

大小关系?
4 ? x( x ? 3) 与 7的 ? 变式3.试判断 x ?3

大小关系?

发现运算结构,应用不等式
? 例2.甲、乙两商场对单价相同的同类产

品进行促销.甲商场采取的促销方式是在

原价 p 折的基础上再打 q 折;乙商场的 p?q 促销方式则是两次都打 折.对顾客 2 而言,哪种打折方式更合算?
(0<p<10, 0<q<10, p≠q )

发现运算结构,应用不等式
? 例3.用一个两臂长短有差异的天平称一

样物品,有人说只要左右各秤一次,将 两次所称重量相加后除以2就可以了.你 觉得这种做法比实际重量轻了还是重了?

课堂小结
? 知识要点:

(1)重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 (2)基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义 ? 思想方法技巧: (1)数形结合思想、“整体与局部” (2)换元法、*比较法、*分析法 (3)配凑等技巧

回家作业
必做题:书P114:练习1、2、4 ? 选做题: (1)试判断 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 与 4 x1 x2 ;( x1 ? 0, x2 ? 0) 的大小关系?并说明什么时候取到等号?
?

(2)试判断

x2 ? 2 x ?1
2

( x ? R) 与

2 的大小关系?

并说明什么时候取到等号? 思考题:能否利用图形解释下列不等式 ? a?b a 2 ? b2 ab ? ? 2 2


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