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广东省肇庆市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


试卷类型:A

广东省肇庆市 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学(理) 试题
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选

出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内相应的位置上;如需改动,先划掉原的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积公式: V ?

4 3 ?R ,球的表面积公式: S ? 4?R 2 ,其中 R 为球的半径 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 是高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? R , ln x ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , ln x ? 0 C. ?x ? R , ln x ? 0
? ? ?

B. ?x ? R , ln x ? 0 D. ?x ? R , ln x ? 0
?

?

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e ? 2.双曲线 4 5
A.

3 2

B.

5 2

C.

3 4

D.

9 4

3. 某四棱锥的三视图,如图 1 所示(单位:cm), 则该四棱锥的体积是 A. 27 cm
3

B. 9 cm

3

C. 3 2 cm

3

D. 3 cm

3

4.设命题 p:直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 135

;命题 q:直角坐标平面内的三点 A(-1,

-3) ,B(1,1) ,C(2,2)共线. 则下列判断正确的是 A. ? P 为假
2

B. q 为真
2

C. ?p ??q 为真
2

D. p ? q 为真
2

5.点 P 在圆 C1 : x ? ( y ? 3) ? 1 上,点 Q 在圆 C2 : ( x ? 4) ? y ? 4 上,则 PQ 的最大

-1-

值是 A.8 B.5 C.3 D.2

6.已知直线 a , b 与平面 ? ,则下列四个命题中假命题 是 ... A.如果 a ? ? , b ? ? ,那么 a / / b C.如果 a ? ? , a ? b ,那么 b / /? B.如果 a ? ? , a / /b ,那么 b ? ? D.如果 a ? ? , b / /? ,那么 a ? b

7.已知双曲线与抛物线 y 2 ? 8x 有公共的焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的标准方 程为 A. x ?
2

y2 ?1 3

B. y ?
2

x2 ?1 3

C. x ?
2

y2 ?1 9

D. y ?
2

x2 ?1 9

8.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 , C1 与 ,双曲线 的方程为 C 2 a2 b2 a2 b2

C 2 的离心率之积为
A. 2 x ? y ? 0

3 ,则 C 2 的渐近线方程为 2
B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.抛物线 y ? ? x 的焦点到它的准线的距离等于 ▲
2

.

10.若 A(m ? 1, n ? 1,3) , B(2m, n, m ? 2n) , C (m ? 3, n ? 3,9) (m, n ? R) 三点共线, 则 m? n = ▲ .

11.过点 M (?3, 2) 且与

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点的 9 4

椭圆的方程是 ▲ . 12.过点 P(3,5) 且与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 相切的
2 2

切线方程是 ▲ . 13.一个空间几何体的三视图如图 2 所示,则该 几何体的体积等于 ▲ .

14.如图,四边形 ABED 内接于⊙ O,AB∥ DE,

-2-

AC 切⊙ O 于 A,交 ED 延长线于 C. 若 AD ? BE ?

2,

CD ? 1 ,则 AB ?

▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(?4,0), B(0,6), C (1, 2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (3)设过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线为 l ,求 l 与两坐标轴围成的三角形的面积.

16. (本小题满分 13 分) 如图 4,在正四面体 S ? ABC 中, E , F , G, H 分别是棱 SB, SA, AC, CB 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; (2)求证: SC / / 平面 EFGH ; (3)求证: BC ? 平面 SAH .

17 . (本小题满分 13 分) 如图 5,已知点 C 是圆心为 O 半径为 1 的半圆弧上从点 A 数起的第一个三等分点, AB 是直径, CD ? 1 , CD ? 平面 ABC ,点 E 是 AD 的中点. (1)求二面角 O ? EC ? B 的余弦值. (2)求点 C 到平面 ABD 的距离.

-3-

18. (本小题满分 14 分) 已知动点 M 到点 (8, 0) 的距离等于 M 到点 (2, 0) 的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 5 与轨迹 C 没有交点,求 k 的取值范围; (3)已知圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 16 ? 0 与轨迹 C 相交于 A, B 两点,求 | AB | .

19. (本小题满分 14 分)

, B C上 的 点 , 将 如 图 6 , 边 长 为 4 的 正 方 形 ABCD 中 , 点 E , F 分 别 是 A B
?AED 和?DCF 折起,使 A, C 两点重
合于 P . (1)求证: PD ? EF ; (2)当 BE ? BF ?

1 BC 时, 4

求四棱锥 P ? BEDF 的体积.

20. (本小题满分 14 分)

-4-

设椭圆 点相同.

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点 E 与抛物线 C : y 2 ? ?4 x 的焦 2 a b 2

(1)求此椭圆的方程; (2)若过此椭圆的右焦点 F 的直线 l 与曲线 C 只有一个交点 P ,则 ①求直线 l 的方程; ②椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 存在,请说明理由.

1 ,若存在,请说明一共有几个点;若不 2

2014—2015 学年第一学期统一检测题 高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题 9.

1 2

10.0

11.

x2 y2 ? ?1 15 10
13.384 14.2

12. 3x ? 4 y ? 11 ? 0 和 x ? 3 (答对一个给 3 分)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)

K AB ? 解: (1)∵

6?0 3 ? , 0 ? (?4) 2 2?0 2 ? , 1 ? (?4) 5

(1 分)

K AC ?

(2 分)

∴ K AB ? ? K AC ,

(3 分) (4 分)

A, B, C 三点不共线. ∴

-5-

A, B 的中点坐标为 M (?2,3) , (2)∵
直线 x ? y ? 2 ? 0 的斜率 k1 ? ?1, 所以满足条件的直线方程为 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 为所求.

(5 分) (6 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

3 2 ,∴ 与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 k 2 ? ? , 2 3 2 所以满足条件的直线 l 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 3 8 因为直线 l 在 x , y 轴上的截距分别为 4 和 , 3 1 8 16 所以 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ? ? 4 ? ? . 2 3 3 K AB ? (3)∵

16. (本小题满分 13 分) 证明: (1)∵ E , F , G, H 分别是棱 SB, SA, AC, CB 的中点, ∴ FG / / SC , EH / / SC ,且 FG ? ∴ FG / / EH 且 FG ? EH , ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)由(1)知, FG / / SC , 且 FG ? 平面 EFGH , SC ? 平面 EFGH , ∴ SC / / 平面 EFGH . (3)∵ S ? ABC 是正四面体, 所以它的四个面是全等的等边三角形. ∵ H 是 BC 的中点, ∴ BC ? SH , BC ? AH . 又 SH 平面 SAH,AH 平面 SAH,且 SH (11 分) (9 分)

1 1 SC , EH ? SC , 2 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (7 分) (8 分)

AH ? H , (12 分)
(13 分)

∴ BC ? 平面 SAH .

17. (本小题满分 13 分) 解 : (1)∵ C 是圆心为 O 半径为 1 的半圆弧上

-6-

从点 A 数起的第一个三等分点,∴∠AOC=60 ∴ ?OAC 是等边三角形,∴ CA ? CD ? 1 .

, (1 分)

∵C 是圆周上的点,AB 是直径,∴ AC ? AB ,∴ CB ?

AB2 ? CA2 ? 3

(2 分)

又 CD ? 平面 ABC ,∴ AC , BC , CD 两两垂直. 以点 C 为坐标原点, CA 、 CB 、 CD 分别 为 x 、y 、 建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) , C (0,0,0) , D(0,0,1) , z 轴的正向, B(0, 3,0) ,

1 3 ?1 1? ,0) , E ? , 0, ? , O ( , 2 2 ?2 2?
于是, CB ? (0, 3,0) , CE ? ( , 0, ) , CO ? ( ,

(3 分)

1 2

1 2

1 3 ,0) . 2 2

(4 分)

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BCE 的法向量, m ? ( p, q, r ) 为平面 OCE 的法向量,

n ? CB ? 0 ? y ? 0 , n ? CE ? 0 ?
m ? CE ? 0 ?

1 1 x ? z ? 0 ,取 x ? 1 得 n ? (1, 0, ?1) . (5 分) 2 2

1 1 1 3 p ? r ? 0 , m ? CO ? 0 ? p ? q?0, 2 2 2 2

取 p ? 1 得 m ? (1, ?

3 , ?1) . 3

(6 分)

n?m cos ? ? ? n m

3 ) ? (?1) ? (?1) 42 3 , = 7 3 12 ? 02 ? (?1) 2 ? 12 ? (? ) 2 ? (?1) 2 3 1? 1 ? 0 ? ( ?
42 . 7

(7 分)

因此,二面角 O ? EC ? B 的余弦值是

(8 分)

(2)方法一:由(1)知 AB ? (?1, 3,0), AD ? ( ?1,0,1), CD ? (0,0,1) 设 h ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 ABD 的法向量,则

(9 分)

? ? ? ? x ? 3 y1 ? 0 ? AB ? h ? 0 ,即 ? 1 ,取 y1 ? 3 得 h ? (3, 3,3) . ? ? x ? z ? 0 ? ? ? 1 1 ? AD ? h ? 0
设向量 h 和 CD 所成的角为 ? ,则 cos ? ?

(10 分)

h ? CD h CD

?

3 ? 0 ? 3 ? 0 ? 3 ?1 32 ? 3 ? 32 ?1
2

=

21 (12 分) 7

-7-

设点 C 到平面 ABD 的距离为 d ,则 d ?| CD | cos ? ? 方法二:由(1)知 AC ? 1 , BC ? 3

21 . 7

(13 分)

因为直线 CD ? 平面 ABC ,所以, CD ? AC , CD ? BC , 于是, AD ?

AC2 ? CD2 ? 12 ? 12 ? 2 ,

BD ? BC2 ? CD2 ? 3 ? 1 ? 2 .
因为 AB ? 2 ? BD ,点 E 是 AD 的中点,所以 BE ? AD . (9 分) (10 分)

? 2? 7 因此, BE ? AB ? AE ? 2 ? ? , ? 2 ? ? ? 2 ? ?
2 2 2

2

从而, S?ABC ?

1 1 3 , AC ? BC ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2

(11 分)

S?ABD ?

1 1 7 7 . AD ? BE ? ? 2 ? ? 2 2 2 2
1 3

(12 分)

因为, VC ? ABD ? VD? ABC ,设点 C 到平面 ABD 的距离为 h ,则有 S ?ABD ? h ?

1 S ?ABC ? CD , 3



7 3 21 ?h ? ? 1 ,于是, h ? . 2 2 7

(13 分)

18. (本小题满分 14 分)
2 2 2 2 解:(1)设 M ( x, y ) ,则 ( x ? 8) ? y ? 2 ( x ? 2) ? y ,

(2 分) (4 分)

整理得 x ? y ? 16 ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x ? y ? 16 .
2 2 2 2

? x 2 ? y 2 ? 16 (2)由 ? ,消去 y 并化简得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 10kx ? 9 ? 0 ? y ? kx ? 5
2 2 因为直线 y ? kx ? 5 与轨迹 C 没有交点,所以 ? ? 100k ? 36(1 ? k ) ? 0

(6 分)

(8 分) (9 分) (10 分)

即 16k ? 9 ? 0 ,解得 ?
2

3 3 ?k? . 4 4

2 2 (3)圆 x ? y ? 8x ? 8 y ? 16 ? 0 的圆心坐标为 C1 (4, 4) ,半径 r ? 4

-8-

由?

? x 2 ? y 2 ? 16 ? 得 x ? y ? 4 ? 0 这就是 AB 所在的直线方程, (11 分) 2 2 ? ? x ? y ? 8 x ? 8 y ? 16 ? 0

又圆心 C1 (4, 4) 到直线 AB 的距离 d ?

|1? 4 ? 1? 4 ? 4 | 12 ? 12

? 2 2,

(13 分)

所以 | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 16 ? 8 ? 4 2 .

(14 分)

或 : AB 所 在 的 直 线 方 程 x ? y ? 4 ? 0 与 x2 ? y 2 ? 16 的 交 点 坐 标 为 A( 4, 0 )B , ( 0, , 4) (13 分) 所以 | AB |?

42 ? 42 ? 4 2

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 证明: (1)折起前 AD ? AE, CD ? CF , 折起后, PD ? PE, PD ? PF . ∵ PE (2 分)

PF ? P ,∴ PD ? 平面 PEF , (4 分)
(6 分) (7 分) (8 分)

∵ EF ? 平面 PEF ,∴ PD ? EF . (2)当 BE ? BF ?

1 BC 时,由(1)可得 PD ? 平面 PEF . 4 1 1 此时, EF ? 2 , S ?BEF ? , S ?ADE ? S ?CDF ? ? 3 ? 4 ? 6 . 2 2
?PEF 的高为
2 2 ? 2? 34 ? EF ? ? EF ? 2 2 h1 ? PF ? ? ? CF ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2

(9 分)

∴ S?PEF ?

1 1 34 17 EF ? h1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 1 1 17 2 17 S?PEF ? DP ? ? ?4 ? 3 3 2 3
1 7 ?6?6 ? 2 2 1 7 ? S ?DEF ? h ? h 3 6

(10 分)

∴ VD ? PEF ?

(11 分) (12 分)

∵ S ?DEF ? S ABCD ? S ?BEF ? S ?ADE ? S ?CDF ? 16 ? 设点 P 到平面 BEDF 的距离为 h ,则 VP ? DEF ∵ VD? PEF ? VP? DEF ,∴

2 17 7 4 17 ? h 解得 h ? 3 6 7
-9-

(13 分)

∴四棱锥 P ? BEDF 的体积

1 1 ? 7 1 ? 4 17 16 17 VP? BEDF ? (S?DEF ? S?BEF ) ? h ? ? ? ? ? ? 3 3? 2 2 ? 7 21

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)抛物线 C 的焦点为 E (?1, 0) , 所以 c ? 1 . 由e ? (1 分) (2 分) (3 分)

c 1 ? ,得 a ? 2 , a 2

所以 b ?

a2 ? c2 ? 3

因此,所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( *) (4 分) 4 3

(2)①椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点.设直线 l 的斜率为 k . (5 分)

当 k ? 0 时,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线 l 的方 程为 y ? 0 ; (6 分)

2 当 k ? 0 时, 因直线 l 过点 F (1, 0) , 故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 将其代入 y ? ?4 x 消

去 y ,得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 .
2 2 2 2

因为直线 l 与曲线 C 只有一个交点 P ,所以判别式 4(k ? 2) ? 4k ? k ? 0 ,于是
2 2 2 2

k ? ?1 ,即直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .
因此,所求的直线 l 的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . ②由①可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . 当点 P 的坐标为 (0, 0) 时, 则 PF ? 1 .于是 S ?MPF ?

(7 分) (8 分)

1 1 = ? 1? y , 从而 y ? ?1 , 代入 (*) 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ?1 ? ? ?1 2 6 ? ? 式联立: ? 4 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件的点 M 有 4 个 3 3 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
- 10 -

?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? ? ? 3 , 1? ?, ? ? ? 3 , 1? ?, ? ? 3 , ? 1? ?, ? ? ? 3 , ? 1? ?. ? ? ? ? ? ? ? ?

(10 分)

当点 P 的坐标为 (?1, 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线 l : y ? ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,于是有

x ? y ?1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ?1 , 2 2 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ? 1 ? ?1 ? ? 1 ?4 ?4 3 3 从而 x ? y ? 1 ? ? ,与(*)式联立: ? 或? 解之,可求出满足 2 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
条件的点 M 有 4 个

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ? ? ? ?, 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ,? ,? , ? ?1, ? . ? ? ? ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 2? ? ?

(12 分)

当点 P 的坐标为 (? 1, ? 2),则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线 l y ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,于是有

x ? y ?1 1 1 ? S?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ?1 , 2 2 2

? x2 y2 ? x2 y2 ? ? 1 ? ?1 ? ? 1 ?4 ?4 3 3 从而 x ? y ? 1 ? ? ,与(*)式联立: ? 或? , 2 ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
解之,可求出满足条件的点 M 有 4 个

? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , , , ? ,? , , ? ?1, ? ? . (14 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 14 ? ? 7 14 7 14 2? ? ? ? ?
综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个.图上椭圆上的 12 个点即为所求.

- 11 -


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