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2009北京市高一数学竞赛复赛试题及答案


2009 北京市高一数学竞赛复赛试题
一、填空题(满分 40 分,每小题答对得 8 分) 1 2 题 号 答 案 3 4

2009.5.10 5

1. 已知单位向量 a、b, 向量 c=a+2b, d=5a-4b, c⊥d. 求:< a,b>. 2. 求值:

1 1 . ? + cos 290

3 sin 250?
O

3. 已知 AO 交圆 O 于点 C, AB 切圆 O 于点 B, M 为弧 BC 中点. 且 AB=4 3 , AC=4. 求: S 阴影 AMC.

C M

4. 求值:

3

20 - 14 2 + 3 20 + 14 2

B

A

5. 在坐标平面内,对任意非零实数 m, 求抛物线 y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线 y= -x+1 的点坐标. 二. (满分 15 分) 已知: RT?ABC 内切圆半径为 r, 直角平分线长为 t. 求证: 直角边 a、b 为关于 x 的二次方程 (t-2 2 r)x2+2 2 r2x-2tr2=0 的两个根.

三. (满分 15 分) 已知函数 f(x): Z+?Z+满足:(1)f(1)=1; (2) f(x+y)=f(x)+f(y)+xy. 求: 函数 f(x)解析式 .

四. (满分 15 分) 如图.? ABCD 中, AF 为?BAD 的平分线, 交 DC 于点 F., 交 BC 延长线于点 F , ?ECF 的外接圆为圆 O, 圆 O 交 ?BCD 外接圆于点 K. 求证: (1) 点 O 在?BCD 外接圆上; (2) ?AKC=90? .

K O D E C F

A
五. (满分 15 分)任意给定的 7 个实数, 求证: 必有两个实数 x、y, 使得 0≤

B
3 x- y ≤ .[写背面] 3 1 + xy

2009 北京市高一数学竞赛复赛试题 参考解答
一. 填空题(满分 40 分,每小题答对得 8 分) 题 答 号 案 1 2 3 4

2009.5.10

5

4? (-3,4),(1,0), 4 3 4 8(1.5,-0.5) 3 3 3 1. 已知单位向量 a、b, 向量 c=a+2b, d=5a-4b, c⊥d. 求:<a,b>. [分析]: ∵|a|=|b|=1 ∴c⊥d?0= c?d=(a+2b)(5a-4b)=5-8+6 a?b=6?1?1?cos<a,b>-3 1 ? ∴cos<a,b>= ∴<a,b>= . 2 3

?

2. 求值:

1 1 . ? + cos 290 3 sin 250?

3 1 ? 1 1 3 cos 20 - sin 20 ? 4( 2 cos 20 - 2 sin 20 ) [分析]: 原式= = = sin 20 ? 2 3 sin 20 ? cos 20 ? 3 cos 20 ? 3 sin 20 ? cos 20 ?

=

4 cos(20 ? + 30 ? ) 3 sin 40
?

=

4 cos 50 ? 3 sin 40
?

=

4 3 . 3

3. 已知 AO 交圆 O 于点 C, AB 切圆 O 于点 B, M 为弧 BC 中点. 且 AB=4 3 , AC=4. 求: S 阴影 AMC. [分析]: 连接 MB,作 MN⊥OB 于点 N, 设半径为 r 易知 RT⊿ABO 中, r2+AB2=(r+AC)2 ∴ r2+48=(r+4)2 解得: r=4=OM=OB=OC ∴ ∠BOA=60?, ∠BOM=∠COM= ∴ ON=OMcos

O

?
6
N B

C M A

?
6

=2 3 , NM=2, BN=4-2 3 ,

∴ S 阴影 AMC.= S?A0B-S?AMB-S?M0B–S 扇形 M0C =8 3 -2 3 (4-2 3 )-44. 求值:
3

4? 4? =83 3

20 - 14 2 + 3 20 + 14 2

[分析]: 原式= 3 ( 2 - 2 ) 3 + 3 (2 + 2 ) 3 =(2- 2 )+(2+ 2 )=4 5. 在坐标平面内,对任意非零实数 m, 求抛物线 y=mx2+(2m+1)x-(3m+2)上都不通过直线 y= -x+1 的点坐标. [分析]: 关于 x 的方程 mx2+(2m+1)x-(3m+2)= -x+1 对任意非零实数 m 均为矛盾等式

3 ,-1 或-3 满足条件. 2 3 1 对应点坐标为(-3,4), (1,0), ( ,- ) 2 2
整理: m(x2+2x-3)=3-2x, 故 x=

二. (满分 15 分) 已知:RT?ABC 内切圆半径为 r, 直角平分线长为 t. 求证: 直角边 a、b 为关于 x 的二次方程 (t-2 2 r)x2+2 2 r2x-2tr2=0 的两个根. 证明: 易由知 S⊿ABC=S⊿ABO+ S⊿ACO+ S⊿BCO 得: ab=r(a+b+ a + b )
2 2

C
b r O a

a + b - a2 + b2 ∴ r= = 2 a + b + a2 + b2

ab

另一方面由角平分线定理:

AD BD = AC BC

A

D

B



b a2 + b2 a AD AD + BD = ∴ AD= 又∠ACD=45?, sinA= a+b AC AC + BC a2 + b2
b a 2 +b 2 a +b

AD sin A ∴⊿ACD 中由正弦定理: CD= = sin 45 ?
方程中取 x=a, 则: (t-2 2 r)x2+2 2 r2x-2tr2=[

×
2 2

a a 2 +b 2

=

2ab =t a+b

2ab 2ab - 2 (a+b- a 2 + b 2 )]a2+2r2( 2 a) a+b a+b

= 2 a2·

ab - (a + b) 2 + (a + b) a 2 + b 2 (a + b - a 2 + b 2 ) 2 b +2 2 a· (1) a+b 4 a+b

= 2 a2·

(a + b) a 2 + b 2 - a 2 - b 2 - ab (a + b) 2 - 2(a + b) a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2 a2· a+b 2(a + b) (a + b) a 2 + b 2 - a 2 - b 2 - ab 2a 2 + 2b 2 + 2ab - 2(a + b) a 2 + b 2 + 2 a2· a+b 2(a + b) (a + b) a 2 + b 2 - a 2 - b 2 - ab a 2 + b 2 + ab - (a + b) a 2 + b 2 + 2 a2· =0 a+b a+b

= 2 a2·

= 2 a2·

∴ x=a 为原方程的根. 同法可计算得 x=b 也为原方程的根. 原命题得证. 三. (满分 15 分) 已知函数 f(x): Z+?Z+满足:(1)f(1)=1; (2) f(x+y)=f(x)+f(y)+xy. 求: 函数 f(x)解析式 . 解: 令 y=1, 则对任意 x?N*, 均有: f(x+1)=f(x)+1+x 当 x≥2 时, f(x)=f(x-1)+x , f(x-1)=f(x-2)+(x-1), …, f(2)=f(1)+2 上述 x-1 个式子相加: f(x)= x+(x-1)+…+2+f(1)= x+(x-1)+…+2+1=

x2 + x 2

x2 + x 而 x=1 时, 上式使用. 故对任意 x?N*, 有 f(x)= . 2

四. (满分 15 分) 如图.? ABCD 中, AF 为?BAD 的平分线, 交 BC 于点 E, 交 DC 延长线于点 F. ?ECF 的外接圆为⊙O, ⊙O 交?BCD 外接圆于点 K. 求证: (1)点 O 在?BCD 外接圆上; (2)?AKC=90? . 证明: (1)设?BCD 外接圆圆心为点 Q K O1(O) 取∠FCD 的平分线交⊙Q 于点 O1 F 下证 O1 即为?ECF 外接圆圆心 D 连接 O1E、O1C、O1F.先证 O1E=O1C E C Q 取∠BCD 的平分线交⊙Q 于点 P, T 则?Q1CP=90?, 弧 DP=弧 BP. P 连接 O1P, 则 O1P 为⊙Q 直径, A B 故为 O1P 垂直平分弦 BD ∴ DO1=BO1 , 又?O1DE=?O1BC 易证:EC=FC, AB=FB ∴DE=DC-EC=AB-FC=BF-FC=BC ∴ ⊿O1DE≌⊿O1BC K O1(O) ∴ O1E=O1C 易证: O1E=O1F ∴O1 为?ECF 外接圆圆心 O F 故: 点 O 在?BCD 外接圆上 D (2) 设直径 O1P 与弦 BD 交点为 T, 则 T 为中点 E C Q 连接 AC、KT, 则 T 在 AC 上, 且 AT=CT T 又⊙Q 与⊙O 连心线垂直平分公共弦 KC P ∴ KT=CT =AT ∴?AKC=90? A B 五. (满分 15 分) 任意给定的 7 个实数, 求证: 必有两个实数 x、y, 使得 0≤ 证明: 设 7 个实数的值为 tan? i (i=1,2,?,7), 其中? i?(-

3 x- y ≤ . 3 1 + xy
)

? ?
,

2 2 ? ? - (- ) 2 2 ? 则由抽屉原理, 存在? i、? j(i?j), 满足|? i-? j|≤ = . 7 -1 6
不妨设? i≤? j, 则 0≤? j -? i≤ 则

?
6

. 令 x=tan? j, y= tan? i

tan ? j - tan? i x- y 3 ? = = tan(? j-? i)∈[0, tan ]=[0, ].原命题得证. 3 1 + xy 1 + tan ? j tan ? i 6


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