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7.备课资料(3.3.2 均匀随机数的产生)


备课资料 赌棍“考验”数学家 对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌 博者的请求. 传说,17 世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注 32 个金币.双方 约定,梅累如果先掷出三次 6 点,或者赌友先掷出三次 4 点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间, 梅累已经两次掷出 6 点,赌友已经一次掷出 4 点.这时候梅累接到通

知,要他马上陪国王接见外 宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题:两个人应该怎样分这 64 个金币才算合理呢? 赌友说,他要再碰上两次 4 点,或梅累要再碰上一次 6 点就算赢,所以梅累分 64 个金币的

2 1 1 ,自己分 64 个金币的 .梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了 4 点,他还可以得 ,即 32 3 3 2 3 个金币;再加上下一次还有一半希望得 16 个金币,所以他应该分 64 个金币的 ,赌友只能分 4 1 得 64 个金币的 .两人到底谁说得对呢? 4
梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助 作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题. 帕斯卡是 17 世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了. 他苦苦思考了近三年,到 1654 年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并 取得了一致的意见: 梅累的分法是对的,他应得 64 个金币的

3 1 ,赌友应得 64 个金币的 .这时 4 4

有位荷兰的数学家惠更斯 ,在巴黎听到这件新闻 ,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果 写成一本书叫做《论赌博中的计算》 (1657 年),这就是概率论的最早一部著作. 除保险事业之外,各行各业都经常会碰到 “某事件发生的可能性大小 ”的问题.因此,概率 论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了 19 世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个 非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题: “设圆内接等边三角形的边长为 a,在圆上任作一弦,问其长度超过 a 的概率是多少?” 贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪 论,或贝特朗奇怪论. 贝特朗奇的解法如下: 解法一:任取一弦 AB,过点 A 作圆的内接等边三角形(如右图).因为三角形内角 A 所对的 弧占整个圆周的 故所求概率是

1 .显然,只有点 B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长 a, 3

1 . 3

解法二: 任取一弦 AB,作垂直于 AB 的直径 PQ.过点 P 作等边三角形,交直径于 N,并取 OP 的 中点 M(如下图).容易证明 QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与 PQ 垂直 的弦,如果通过 MN 线段的,其弦心距均小于 ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概 率是

1 . 2

解法三:任取一弦 AB.作圆内接等边三角形的内切圆(如右图),这个圆是大圆的同心圆,而

1 1 ,它的面积是大圆的 ,设 M 是弦 AB 的中点,显然,只有中点落在小圆 2 4 1 内时,AB 弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是 . 4
且它的半径是大圆的

细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同:第一种假设了弦的端点在四周上均匀分 布;第二种假设弦的中点在直径上均匀分布;第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于 前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念(如事件、 概率及可能性等) 还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样, 对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论. 概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933 年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫 提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支. (设计者:邓新国)


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