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09-10高二(2)(文)期末数学参考答案


高二(文科)数学期末参考答案及评分标准
2010.1.29
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号 答案

1 B

2 B

3 D

4 C

5 D

6 A

7 B

r />8

9 C

10 C

11 A

12

二、填空题(每小题4分,共4小题16分) 13. 2 15. 14. (2) 16.

n(n ? 1) ?3 2

三、解答题(共 6 大题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:由已知可得 A( 2, 0),
2

B( 0, 2), C (1, 1) ,

……………… 3 分 ……………… 6

解得抛物线方程为 y ? x . 分 于是焦点 F ? 1 , 0 ? . ? ? ? 4 ?

……………… 9 分
1 ?0?2 7 2. 4 ? 8 2

? 点 F 到直线 AB 的距离为

……………… 12 分

18. (本小题满分 12 分)解:

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(1)由 cos B ? ? 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

33 . 65

33 1 33 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(1)知 sin A ? , 65 故 AB ? AC ? 65 ,
(2)由 S△ ABC ?
1

AB ? sin B 20 ? AB , sin C 13 20 13 故 AB 2 ? 65 , AB ? . 13 2 AB ? sin A 11 所以 BC ? ? . sin C 2
又 AC ? 19. (本小题满分 12 分) 解: (1) a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 12 ? a2 ? 4, d ? 2,? an ? 2n 。---------5 分 (2) bn ? 2nx ,其前 n 项和记为 S n ,
n

当 x ? 1 时, S n = n ? n ;
2
2

--------------------------------7 分
3 n ?1

当 n ? 1 时, xSn ? 2( x ? 2 x ? ? ? nx

) ,-----------------9 分

(1 ? x) S n ? 2 ( x ? x 2 ? ? ? x n ? nxn?1 ) ,

? Sn ? 2

x ? (n ? 1) x n ?1 ? nx n ? 2 (1 ? x) 2

------------------------------12 分

20. (本小题满分 12 分)

21.(12 分) 解: 根据椭圆的定义, (1) 可知动点 M 的轨迹为椭圆, 设椭圆方程: 其焦距为 2c , 则 a ? 2 , c ? 3 ,则 b ? 所以动点 M 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a2 ? c2 ? 1 .
………………………5 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 M ( x1, y1 ) , N ?x 2 y 2 ? , ∵ OM ? ON ∴ OM ? ON ? 0 ,

???? ???? ?

2

∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

………………………6 分

∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . (1) ………………………8 分

? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
2

得.

?1 ? 4k ? x
2

2

? 16kx ? 12 ? 0

由 ? ? ? ?16k ? ? 48 1 ? 4k 则 x1 ? x2 ?

?

2

??0

得 k ?

3 2
………………………10 分

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12 16k 代入①,得 ?1 ? k 2 ? ? ? 2k ? ?4 ? 0. 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
即 k 2 ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 . 经验证 ? ? 0 。 所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 22. (本小题满分 14 分) (1)解:设椭圆方程为

………………………12 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a2 b2 x2 y2 ? ?1 a2 b2
2 2

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入
2 2 2 2 2 2

化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 . 令 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ?

----------------------------------2 分

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x1 x 2 ? . a2 ? b2 a2 ? b2

由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ), a ? (3,?1), OA ? OB与a 共线,得

3( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.
又y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c,? 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0,? x1 ? x2 ? 即 2a 2 c 3c ? , 所以a 2 ? 3b 2 .? c ? 2 2 a ?b 2 c 6 故离心率e ? ? . a 3 a2 ? b2 ? 6a , 3 3c ---------4 分 . 2

3

------------------------------------------------------6 分 (2)证明:由(I)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b

设OM ? ( x, y ),由已知得( x, y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ),
? ? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? ? y ? ?y1 ? ?y 2 .
----------------------------------------------------8 分

? M ( x, y) 在椭圆上, ? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 .

2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 . ①-------------------10 分

由(1)知 x1 ? x2 ?

3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2

? ?

a 2 c 2 ? a 2b 2 3 2 x1 x 2 ? ? c . 8 a2 ? b2 x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? 3( x1 ? c)( x 2 ? c)

? 4 x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 )c ? 3c 2 3 2 9 2 c ? c ? 3c 2 2 2 ? 0. ?
---------------------------------------------------------------12 分 又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y 2 ? 3b 又,代入①得
2 2 2 2 2 2 2 2

?2 ? ? 2 ? 1.

故 ? ? ? 为定值,定值为 1.----------------------------------------------------14 分

4


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