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福建省师大附中2009届高三最后一次模拟考试数学理科


福建师大附中 2008-2009 学年第二学期高三模拟考试卷
数学(理科)
命题人:叶文榕 审核人:江 泽 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答 案是正确的)

1.已知复数 z= a ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z 6 的值为 A. ? 1 2.下列命题错误的是 .. A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为: “若方程 x 2 ? x ? m ? 0 无实 根,则 m ? 0 ”. B. x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. “
2

B. 1

C. ? i

D. i

C.命题“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否定是: “若 xy ? 0 ,则 x, y 都不为零”. D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;则 ?p 是 : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1≥ 0 .
2 2

3.右图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位: cm )画 出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字, 从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是 A. 161 cm

15 16 17

5578 1335 12

B. 162 cm C. 163 cm D. 164 cm 2 2 x y 4.已知离心率为 e 的双曲线 2 ? ? 1 ,其右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合,则e 的 a 7 值为 4 23 23 3 4 A. B. C. D. 23 4 4 3 5.在等差数列 {a n } 中, a 2 ? 4a7 ? a12 ? 96, 则 2a3 ? a15 的值是 A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定

6.已知直线 l:y ? k ( x ? 1) ? 3 与圆 x ? y ? 1 相切,则直线 l 的倾斜角为
2 2

A.

7.设函数 f ( x) ? cos x , f ( x) 的图象向右平移 m 个单位后, 把 图象恰好为函数 y ? ? f '( x) 的图象, 则 m 的值可以为 A.

? 6

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6

? 4

B.

? 2

C.

3? 4

D. ?

8. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体 的体积是
第 1 页 共 10 页

正视图

侧视图

俯视图

A.

4 3 ? 3

B. ?

1 2

C.

3 ? 3

D.

3 ? 6
开始 输入 x Y ①

9.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为:不超过 50 kg 按 0.53 元/ kg 收费,超过 50 kg 的 部分按 0.85 元/ kg 收费.相应收费系统的流程图 如右图所示,则①处应填

x ? 50

N ②

A. y ? 0.85x B. y ? 50 ? 0.53 ? ( x ? 50) ? 0.85
C. y ? 0.53x D. y ? 50 ? 0.53 ? 0.85x

输出 y 结束

10.已知集合 M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数 f : M ? N .若点 A(1, f (1))、B(2, f (2) )、 C(3, f (3) ),Δ ABC 的外接圆圆心为 D,且 DA ? DC ? ? DB (? ? R) ,则满足条件的函数 f (x) 有 A. 6个 B. 10 个 C. 12 个 D. 16 个

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上. ) 11.已知 a ? ?0,
a ? ?? ? ,则当 ?0 (cos x ? sin x)dx 取最大值时, a =_____________. ? 2?
n
3

12. 已 知 (1 ? 2 x) 的 展 开 式 中 , 所 有 项 的 系 数 之 和 等 于 81 , 那 么 这 个 展 开 式 中 x 的 系 数 是 __________. y≥0 2 2 13.已知 x、y 满足约束条件 x≥-2 ,则 z=(x+3) +y 的最小值为 x+y ≥15. 14.设函数 f ( x) ? ? .

?log3 x, ? g ( x).
*

(x ? 0)

1 若 f ( x ) 是奇函数,则 g (? ) 的值为 9 (x ? 0)



15.把数列{2n+1}(n∈N ),依次按第 1 个括号一个数,第 2 个括号两个数,第 3 个括号三个数,第 4 个 括 号 四 个 数 , 第 5 个 括 号 一 个 数 , ? , 循 环 为 (3) , (5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41), (43),?,则第 104 个括号内各数之和为 .

第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 13 分) 在 Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ?

B?C ? cos 2 A 的值; 2 3 (Ⅱ)若 a ? 2 , c ? ,求∠C 和 Δ ABC 的面积. 2
(Ⅰ)求 cos2

1 . 3

17. (本小题满分 13 分) 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两条 公路,汽车走公路①堵车的概率为

概率为 p ,不堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他 原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响.

1 3 ,不堵车的概率为 ;汽车走公路②堵车的 4 4

7 ,求走公路②堵车的概率; 16 (Ⅱ)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期望.
(Ⅰ)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

18. (本小题满分 13 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 0 ,其侧面展 开图是边长为 8 的正方形。 E 、 F 分别是侧棱 AA1 、 CC1 上的动点, AE ? CF ? 8 . (Ⅰ)证明: BD ? EF ;

A1 B1
E

1 (Ⅱ)当 CF ? CC1 时,设面 BEF 与底面 ABCD 4
所成角为θ (0? ? ? ? 90?),求 cos? ; (Ⅲ)多面体 AE ? BCFB1 的体积 V 是否为常数? 若是,求这个常数,若不是,求 V 的取值范围.

D1

C1

A D F B

C

第 3 页 共 10 页

19.(本小题满分 13 分) 如 图 , 已 知 椭 圆 C:
x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的 上 顶 点 为 A , 右 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆 a2

M : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相 ??? ???? ? 交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0, 求证:直 线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.

y
A
Q

l

O

F

x

P

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x 3 , g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? xf ( x) . x 8

(Ⅰ)求函数 y ? g (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? g (x) 在[ e ,??)( m ? Z ) 上有零点,求 m 的最大值;
m

( Ⅲ ) 证 明 f ( x) ? 1 ?

1 2 2 2 在 其 定 义 域 内 恒 成 立 , 并 比 较 f (2 ) ? f (3 ) ? ? ? f (n ) 与 x

(2n ? 1)( n ? 1) * (n ? N 且 n ? 2 )的大小. 2(n ? 1)

第 4 页 共 10 页

21.本题有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做, 、 、 则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选 题号填入括号中 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 设 A 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍, 纵坐标伸长到 3 倍的伸缩变换所对应的变换矩阵; B 是将点(2,0)变为点( 3 ,1)的旋转变换所对应的变换矩阵;若 M ? AB ;求矩阵 M 及 M ?1 .

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? cos ? 已知曲线 C1 : ? ,直线 C 2 : ,在曲线 C1 求一点,使它到直线 C 2 的距离最 (? 为参数) ? y ? sin ?

小,并求出该点的直角坐标和最小距离.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

第 5 页 共 10 页

一、1. A 2. C 3.B 二、11.

4.C

09 年高考数学模拟试卷参考答案 5.B 6.D 7.B 8.D 9.B 13. 162 14. 2

10.C

π 4

12. 32

15. 2072

三、16.解(1)

cos 2

B?C 1 ? cos( B ? C ) ? cos 2 A ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2
=

1 ? cos A 4 ? 2cos2 A ? 1 = ? 2 9 1 2 2 (2)? cos A ? , 0 ? A ? ? ? sin A ? 3 3 a c 3 2 ? ? , a ? 2, c ? ? sin C ? , sin A sin C 2 2
?c ? a?0 ? C ? A ?
?A? B?C ??

?
2

,? C ?

?
4
) ? sin A cos

? sin B ? sin( A ? C ) ? sin( A ?
= ∴ S ?ABC

?
4

?
4

? cos A sin

?
4

?

2 2 2 1 ( ? ) 2 3 3

2 2 ? 3 6 1 2 ? ac sin B ? 1 ? 2 4
2

17.解: (1)由已知条件得

(2)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3

7 ?3? 1 1 3 C2 ? ? ? (1 ? p) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4? 1 答: p 的值为 . 3

即 3 p ? 1 ,则 p ?

1 3

3 3 2 3 P(? ? 0) ? ? ? ? 4 4 3 8 1 1 2 1 1 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 ? 的分布列为:

P(? ? 1) ?

7 16

1 1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 48

?

0

1

2

3

P

3 8

7 16

1 6

1 48

所以 E? ? 0 ? ? 1?

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 16 6 48 6
第 6 页 共 10 页

答:数学期望为

5 . 6

18. 解: (Ⅰ)连接 AC ,因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD , ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是直四棱柱, AA1 ? ABCD , BD ? ABCD , ∴ AA1 ? BD , ∵ AA1 ? AC ? A ,∴ BD ? AA1C1C , ∵ EF ? AA1C1C ,∴ BD ? EF .

(Ⅱ)设 AC ? BD ? O , 以 O 为原点, AC 、 BD 分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,

依题意,菱形 ABCD 的边长为 2 ,棱柱侧棱长为 8 ,所以 B(0 , ? 3 , 0) , E (?1 , 0 , 6) 、 F (1 , 0 , 2) , 设平面 BEF 的一个法向量为 n1 ? ( x , y , z ) , ,解得 n1 ? (2 3 , ? 4 , ?n1 ? BE ? ? x ? 3 y ? 6 z ? 0 ? 底面 ABCD 的一个法向量为 n2 ? (0 , 0 , 1) , 设面 BEF 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 ? , | n ? n2 | 3 93 ? ? 则 cos? ? 1 . 31 31 | n1 || n 2 | 则?

?n1 ? EF ? 2 x ? 4 z ? 0 ?

3) ,

(Ⅲ)多面体 AE ? BCFB1 是四棱锥 B1 ? AEFC 和三棱锥 B1 ? ABC 的组合体, 依题意,BB1 ? 8 , AB ? 2 , BB1 三棱锥 B1 ? ABC 的高, BO 是四棱锥 B1 ? AEFC 的高,

16 3 1 1 是常数. ? S ?ABC ? BB1 ? ? S AEFC ? BO ? 3 3 3 2 2 2 2 19.解: (Ⅰ)将圆 M 的一般方程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 3 ,
所以 V ? 圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 3 . 由 A(0,1) , F (c, 0)(c ?

a 2 ? 1) 得直线 AF :

x ? y ? 1 ,即 x ? cy ? c ? 0 , c

由直线 AF 与圆 M 相切,得

3? c ?c c2 ? 1

? 3,

c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去).

x2 ? y 2 ? 1. 当 c ? 2 时, a ? c ? 1 ? 3 , 故椭圆 C 的方程为 C : 3 ??? ???? ? (Ⅱ)(解法一)由 AP ? AQ ? 0, 知 AP ? AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直, 1 由 A(0,1) 可设直线 AP 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线 AQ 的方程为 y ? ? x ? 1(k ? 0) k 2 x ? y 2 ? 1 并整理得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 0 , 将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程 3
2 2

解得 x ? 0 或 x ? ?

6k 6k 2 6k 1 ? 3k 2 6k ,? ? 1) ,即 (? , ) ,因此 P 的坐标为 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 6k k 2 ? 3 1 , ). ,得 Q ( 2 k ? 3 k2 ? 3 k
第 7 页 共 10 页

将上式中的 k 换成 ?

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 6k k2 ?3 直线 l 的方程为 y ? k ? 3 1 ? 3k ( x ? 2 )? 2 6k 6k k ?3 k ?3 ? 2 k ? 3 1 ? 3k 2
化简得直线 l 的方程为 y ?

k 2 ?1 1 x? , 4k 2

因此直线 l 过定点 N (0, ? ) . (解法二) 1? 若直线 l 存在斜率,则可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m( ? A(0,1) ? l ,? m ? 1) ,

1 2

x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6mkx ? 3(m 2 ?1) ? 0 , 3 由 l 与椭圆 C 相交于 P( x1 , kx1 ? m) 、 Q( x2 , kx2 ? m) 两点,则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程两个不相等
代入椭圆 C 的方程 的实数解,从而 ? ? (6mk ) ? 4(1 ? 3k ) ? 3(m ? 1) ? 12(3k ? 1 ? m ) ? 0
2 2 2 2 2

6mk 3(m2 ? 1) x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 2 ??? ???? 1 ? 3k ? 由 AP ? AQ ? 0, 得
x1 x2 ? (kx1 ? m ? 1)(kx2 ? m ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k (m ? 1)( x1 ? x2 ) ? (m ? 1) 2 ? 0 ,

(1 ? k 2 ) ?

3(m2 ? 1) 6mk ? k (m ? 1) ? (? ) ? (m ? 1) 2 ? 0 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
2

整理得: 2m ? m ? 1 ? 0, (2m ? 1)(m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ? 此时 ? ? 9(4k ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .
2

1 . 2

2? 若直线 l 不存在斜率,则可设直线 l 的方程为: x ? m (? A(0,1) ? l ,? m ? 0) ,
x2 m2 2 2 ? y ? 1并整理得: y ? 1 ? 将 x ? m 代入椭圆 C 的方程 , 3 3 2 2 当 m ? 3 时, y ? 0 ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点,这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点产生
矛盾! 当 0 ? m ? 3 时 , 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 P( m, y ) 、 Q(m, y2 ) 两 点 , y1 , y2 是 关 于 y 的 方 程 1
2

1 2

m2 m2 ? 1. 的两个不相等实数解,从而 y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 3 3 ??? ???? ? ??? ???? ? 4 2 2 但 AP ? AQ ? m ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? m ? 0 ,这与 AP ? AQ ? 0 产生矛盾! 3 1 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) . 2 注:对直线 l 不存在斜率的情形,可不做证明. y2 ? 1?

第 8 页 共 10 页

20. 解: (Ⅰ)由题知: g (x) 的定义域为(0,+∞)∵ g / ( x) ? ∴函数 g (x) 的单调递增区间为 ? 0, ?和[2,??) 3

(3x ? 2)( x ? 2) 4x

? ?

2? ?

2 g (x) 的单调递减区间为 [ ,2] 3 2 (Ⅱ)∵ g (x) 在 x∈ [ ,?? ) 上的最小值为 g ( 2) 3 3 2 1 ln 4 ? 1 且 g ( 2) = ? 2 ? 4 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? ? ?0 8 2 2 2 ∴ g (x) 在 x∈ [ ,?? ) 上没有零点, 3
∴要想使函数 g (x) 在 [e ,??) (n∈Z)上有零点,并考虑到 g (x) 在 ? 0, ? 单调递增且在 [ ,2] 单 3 3
n

? ?

2? ?

2

调递减,故只须 e ?
n

2 n 且 f (e ) ? 0 即可, 3

易验证 g (e ) ?

?1

3 ?2 3 1 2 ? e ? 2 ? e ?1 ? 1 ? 0, g (e ?2 ) ? ? 4 ? 2 ? 2 ? ln e ?2 ? 8 8 e e

1 3 1 ( ? ? 2) ? 0 , e2 8 e2
当 n≤-2 且 n∈Z 时均有 g (e ) ? 0 , 即函数 g (x) 在 [e , e ] ? [e ,??)( n ? Z ) 上有零点,∴n 的最 大值为-2.
n n n ?1

1 ln x 1 ,即证 ? 1 ? ( x ? 0) x x x ? 只须证 lnx-x+1 ? 0在(0, ?) 上恒成立. 1 令 h(x)=lnx-x+1(x>0),由 h?( x) ? ? 1 ? 0得x ? 1 x
(Ⅲ)要证明 f ( x) ? 1 ? 则在 x=1 处有极大值(也是最大值)h(1)=0 ? ∴lnx-x+1 ? 0在(0, ?) 上恒成立.

1 , n ? N *. 2 n 2 2 2 ∴ f (2 ) ? f (3 ) ? ? ? f (n ) 1 1 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? ??? =(n-1)- ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) <(n-1)-[ ] 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 =(n-1)-( ? ? ? ? ? ? ? ) ? (n ? 1) ? ( ? ) 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 (2n ? 1)( n ? 1) = 2(n ? 1) (2n ? 1)( n ? 1) 2 2 2 ∴ f (2 ) ? f (3 ) ? ? ? f (n ) < . 2(n ? 1)
∴ f (n ) ? 1 ?
2

第 9 页 共 10 页

21.(1) 设矩阵 B 为 ? ∴ 2 cos? ?

?cos? ? sin ?

? sin ? ? cos? ? ?

则?

?cos? ? sin ?

? sin ? ? cos? ? ?

?2? ? 3 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?1 ?

3

1? ? ? 2? . 2sinα =1, 3? 2 ? ? ? 3 1? 2 0? 2 0? ? 2 ? 2 ? ? 3 ? ? 又矩阵 A= ? ??? 3 ? ,∴ M ? AB = ?0 3? ? 3? ? ? 0 3? ? 1 ? ? ?2 ? 2 2 ? ? ? ? 3 1 ? ? ? -1 6 ?. ∵|M|=6≠0 ∴M = ? 4 3? ?? 1 ? 4 6 ? ? ? (2)直线 C2 化成普通方程是 x ? y ? 1 ? 2 2 ? 0 3 2 1 2
设所求的点为 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,则 C 到直线 C2 的距离

? ? 所以,B 为 ? ? ? ?

?1 ? 3 3? ? 2 ?

d?

|1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 1| 2

? = sin(? ? ) ? 2 4 ? 3? 5? 当? ? ? 时,即 ? ? 时, d 取最小值 1 4 2 4 ? 2 2? ,? 此时,点 P 的直角坐标是 ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? ?
5

y

y= x+1 + x-2

(3) (Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出 函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示), 知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .

y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x

(Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3,即a ? ?3 .

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