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【原创精品资料】7.5《综合问题选讲》错误解题分析


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7.5《综合问题选讲》错误解题分析
一、知识导学 (一)直线和圆的方程 1、理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点 式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。 2、掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到

直线的距离公式,能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系。 3、了解二元一次不等式表示平面区域。 4、了解线性规划的意义,并会简单的应用。 5。、了解解析几何的基本思想,了解坐标法。 6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1. 2. 3. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

4、了解圆锥曲线的初步应用。 (三)目标 1、能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导出直 线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形 式写出直线的方程, 熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化, 能利用直线的方程来研究 与直线有关的问题了。 2、能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约 束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线 性规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性 规划方法解决一些实际问题。 3、理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的方 程的方法。 4、掌握圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0),明确方程中各字母的几何意义,
2 2 2

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能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程, 能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标 和半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件 并正确地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解 圆的参数方程 ? 判定方法。 5、正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据 条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范 围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、 双曲线和抛物线;掌握 a 、b、 c 、 p 、 e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲 线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭 圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置 关系的判定方法。 二、疑难知识导析 1、 ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度。当 斜率 k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x = a ( a ∈R)。因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑。 ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a 、 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距, b 因为 a ≠0, b≠0, 所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,而应选 择其它形式求解。 ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式。 ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的运用, 这样可以简化计算。 2、 ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种都存 在。 ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a 、b、 c 、 e 间的互求,并能根据所给的方程
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? x ? r cos ? (θ 为参数),明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的 y ? r sin ? ?

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画出椭圆。 ⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后, 运用待定系数法求解。 ⑷双曲线

b x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x 或表示为 2 ? 2 ? 0 。若已知双曲线的 a a b a2 b m x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n

渐近线方程是 y ? ?

m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零的常数。
⑸双曲线的标准方程有两个

x2 y2 y2 x2 2 2 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 a >0, ( b>0) 这里 b ? c ? a , 。 2 a b a b

其中| F1 F2 |=2c。要注意这里的 a 、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。 ⑹求抛物线的标准方程, 要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型, 再求抛物线的标准方 程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值。同时,应明 确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、焦 点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个。 三、经典例题导讲 [例 1]已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT= t (0< t <1),以 AB 为直腰作直角梯 形 AA?B?B ,使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两 点,建立如图所示的直角坐标系。 (1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光 线通过点 Q。 解 : (1 ) 显 然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 1 ? t ? 于 是 直 线 , ,
' ‘

A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;
(2)由方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,

解出

P (0,1) 、 Q (

2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

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(3) k PT ?

1? 0 1 ?? , 0?t t

k QT

1? t2 ?0 2 1? t2 1 ? 1? t ? ? 。 2 2t t t (1 ? t ) ?t 1? t2

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光 线通过点 Q。 [例 2]设 P 是圆 M:( x -5)2+( y -5)2=1 上的动点,它关于 A(9, 0)的对称点为 Q,把 P 绕原点 依逆时针方向旋转 90° 到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P( x , y ),则 Q(18- x , - y ),记 P 点对应的复数为 x + y i ,则 S 点对应的复数为:

i ( x + y i )· =- y + x i ,即 S(- y , x )
∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x2 ? y 2 ?36x ? 36y ? 2xy ? x2 ? y2 ? 2xy ? 2 ? x2 ? y 2 ?18x ?18y ?81?81 ? 2 ? (x ?9)2 ? ( y ? 9)2
其中 (x ?9)2 ? ( y ?9)2 可以看作是点 P 到定点 B(9, -9)的距离, 共最大值为| MB | ?r ? 2 53?1 最 小值为 | MB | ?r ? 2 53?1,则 |SQ|的最大值为 2 106? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 。 [例 4](天津卷)已知两点 M(-1,0),N(1,0)且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的等差数列, (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ。 解:(1)记 P( x , y ),由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y)
所以

MN ? ?NM ? (2,0) PM ? PN ? x 2 ? y 2 ?1 NM ? NP ? 2(1 ? x)

MP ? MN ? 2(1 ? x)

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

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1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。 (2)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 。
2 2

???? ??? ? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ???? ? PM ? PN 1 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 所以 cos ? ? ???? ???? ? . ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0

tan? ?

sin ? ? cos?

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y 0 。

[例 4]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30° 且与 B 相距 4 千米,它们准备 捕海洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹。 设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/ 3

秒,其中 g 为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是 多少? 【分析】 答好本题, 除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上, 又在以 A、 B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚。 技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解。对空间 物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程。 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系。由题意可 知,A、B、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 )。

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由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|。于是 P 在线段 BC 的中 垂线上,易求得其方程为 3 x -3 y +7 3 =0。 又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线 的右支上。 直线与双曲线的交点为(8, 3 ), 5 此即为动物 P 的位置, 利用两点间距离公式, 可得|PA|=10。 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60° ,于是舰 A 发射炮弹的方位 角应是北偏东 30° 。 设发射炮弹的仰角是 θ,初速度 v0=

x2 y2 ? =1 4 5

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ=

10g v0
2

?

3 ,∴仰角 θ=30° 。 2

答:方位角北偏东 300,仰角 30° 。 【点评】解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形 与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知 识、提高能力的目的。 (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组) 求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域。 (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可 先建立目标函数,再求这个函数的最值。 [例 5]已知抛物线 C: y 2=4 x 。 (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合, 试求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若有,
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求出其值;若没有,说明理由。 解:由抛物线 y 2=4 x ,得焦点 F(1,0),准线 l : x =-1。 (1)设 P( x , y ),则 B(2 x -1,2 y ),椭圆中心 O′,则|FO′|∶|BF|= e ,又设点 B 到 l 的距离为 d ,则 |BF|∶ d = e ,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶ d ,即(2 x -2)2+(2 y )2=2 x (2 x -2),化简得 P 点轨迹方程为

y 2= x -1( x >1)。
(2)设 Q( x ,y),则 |MQ|= ( x ? m) 2 ? y 2 ?

1 5 ( x ? m) 2 ? x ? 1 ? [ x ? (m ? )]2 ? m ? ( x ? 1) ? 2 4

(ⅰ)当 m-

1 3 1 5 ≤1,即 m≤ 时,函数 t =[ x -(m- )2]+m- 在(1,+∞)上递增,故 t 无最小值, 2 2 2 4

亦即|MQ|无最小值。 (ⅱ)当 m-

1 3 1 5 1 >1,即 m> 时,函数 t =[ x 2-(m- )2]+m- 在 x =m- 处有最小值 m- 2 2 2 4 2

5 5 ,∴|MQ|min= m ? 。 4 4
[例 6]已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行,顶点到原点的距离为 5。若将抛物线 C 向上平移 3 个单位,则在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物 线 C 向左平移 1 个单位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程。 解:设所求抛物线方程为( x - h )2= a ( y - k )( a ∈R, a ≠0) 由①的顶点到原点的距离为 5,得 h2 ? k 2 =5 ② ①

在①中,令 y =0,得 x 2-2 h x + h 2+ a k =0。设方程的二根为 x 1, x 2,则 | x 1- x 2|=2 ? ak 。 将抛物线①向上平移 3 个单位,得抛物线的方程为 ( x -h)2= a ( y - k -3) 令 y =0,得 x 2-2 h x + h 2+ a k +3 a =0。设方程的二根为 x 3, x 4,则 | x 3- x 4|=2 ? ak ? 3a 。

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依题意得 2 ? ak ? 3a = 即 4( a k +3 a )= a k

1 · ? ak , 2 2


将抛物线①向左平移 1 个单位,得( x - h +1)2= a ( y - k ), 由抛物线过原点,得(1- h )2=- a k ④

由②③④得 a =1, h =3, k =-4 或 a =4, h =-3, k =-4。 ∴所求抛物线方程为( x -3)2= y +4,或( x +3)2=4( y +4)。

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