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暑假高中数学赛前培训经典例题分析(2)


暑假高中数学赛前培训经典例题分析(2) 姓名 一、准确填空: 1、将 1999 表示为两个质数之和:1999=□+□,在□中填入质数,共有 示方法? 种表 解:由奇偶数的性质可知,1999 是奇数,因此 1999 要能表示成两个质数之知,其中 必定有一个是偶数.然而,既是偶数又是质数的自然数只有一个,就是 2,没有其他 可能.因此,另一个数是 1999-2=1997,而 1

997 又恰好是质数,满足题目要求. 答:1999=2+1997,只有一种表示方法. 评注:2 是惟一的一个既是偶数又是质数的自然数,它在质数中的地位很特别,其他的质数都 是奇数.了解这一点是解答本题的关键. 同学们都知道(记住)100 以内的质数有哪些,但对于三位数、四位数中的质数可能就不清楚 了.例如,1999 和 1997 都是质数,那么如何来判定它们的确是质数呢?判定质数最基本的方法是 “筛法” ,我们不仔细叙述了.对于 1997(或 1999),取 a 为使得 a ≥1997 的最小自然数, 因为 44 =1936<1997< 45 =2025,即 a =45. 1997 如果不是质数,那么它可以分解为两个或两个以上的质因子的乘积,因此其中至少有 一个质因子是小于 45(不然的话,所有质因子的乘积必定大于 1997),这样一来,只要判断在小于 45 的质数中有没有是 1997 的因子的,这只要用试除法即可完成.对 2,3,5,11,一眼即可看出, 其余的 7,13,17,19,23,29,31,37,41,43 逐一试除,可知无一能整除 1997. 1997 为质数,对 1999 也一样. 1997 和 1999 都是质数,且 1999-1997=2,像这种相差为 2 的两个质数,称为“孪生质数”. 这种数有很多,例如(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(41,43),……,(1997,1999),还可举 出更大的一些,如(4967,4969).那么,这种“孪生质数”是否有无穷多个(对)呢?即是否可以无限 地数下去呢?我们已经知道,质数是有无穷多个的,没有最大的一个!人们猜测, “孪生质数”也 有无穷多个,这就是著名的“孪生质数猜想” ,它和“哥德巴赫猜想”齐名,后者即是“任何一 个大于 2 的偶数都可以表示为两个质数之和”.孪生素数猜想也是很难的,至今还没有被数学家 2 2 2 1 证明.这两个猜想之间是有联系的,实际上,它们是“等价的”. 2、澳门是世界上人口密度最大的地区之一,它由一个半岛和两个小岛组成 .已知澳 门的人口为 43 万人,其中 90%居住在半岛上,半岛的面积为 7 平方千米,问:半岛 上平均每平方千米有 万人?(取两位小数) 解:43×90%÷7=38.7÷7=5.53(万). 答:澳门半岛上平均每平方千米有 5.53 万人. 二、谨慎推理: 3、 图 7-1 是由 9 个等边三角形拼成的六边形.已知中间最小的等边三角形的边长是 1, 问:这个六边形的周长是多少? 解:将图中正三角形编号 1,2,?,9 看出各三角形边长之间的关系,从而可以建立方程来 求解.中间的△9 的边长为 1.设最大的正三角形△1 的 边长为 x,则△2 和△3 的边长都是 x-1,△4 和△5 的 边长都是 x-2,△6、△7、△8 的边长都是 x-3,而△6 和△8 的边长之和等于△1 的边长,故得方程: 2×(x-3)=x. 所以 2x-6=x,解得 x=6. 图 7-1 所以这个六边形的周长是 6+2×(6-1)+2×(6

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