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北师大版、选修 导数与函数的单调性


北师大版、选修 导数与函数的单调性

姓名 课型 是否采用 多媒体

陈世伟 新授课 课时

单位 1 采用多媒体技术 教学对象

西乡二中 高二

一、教材分析
本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学 习的内容,学好它既可加深对导

数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于 学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节 课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次和三 次以上的多项式函数,或图象难以画出的函数而言) ,充分展示了导数解决问题的优越性。

二、学情分析
课堂学生为高二,学生基础一般,用定义法判断函数的单调性在高一第一学期学习过,本 学期已经学习过导数的计算,虽然学生的掌握情况一般;但导数作为一种工具,在判断函数单 调性中有很强的实用性,如何让学生将导数与函数单调性联系起来是本节课内容的一个难点。

三、教学资源与策略
函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中,对于函数 单调性的研究分成两个阶段:第一个阶段是用定义研究单调性,知道它的变化趋势;第二阶段 用导数的性质研究单调性,知道它的变化快慢。那么高一是处在第一个阶段,而高二我们是处 在第二个阶段。 启发、探究法教学

四、教学目标
1. 知识与能力:能探索并应用导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间; 会求不超过三次的多项式函数的单调区间,能由导数信息绘制函数大致图象。 2. 过程与方法:通过利用导数研究函数单调性问题的过程,学会由图形——性质;从 特殊到一般的,数形结合的研究方法。掌握研究函数单调性的另一种常用方法—— 导数法。 3. 情感、态度与价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,认识

到数学是一个有机整体。培养学生勇于探索善于发现的创新思想。

五、教学重难点
1. 教学重点:利用导数判断函数单调性,应用导数求函数的单调区间 2. 教学难点:如何用导数研究函数的单调性

六、教学过程
教学环节 (一)复习引入
问题1: (让学生思考) 求函数的单调区间? 1 、函数 数? 解:

教师活动

学生活动

设计意图 以问题形式 复习相关的旧知 识,同时引出新 问题:二次函数 判断单调性,定 义法、图象法很 不方便,有没有 捷径?通过创设 问题情境,使学 生产生强烈的问 题意识,积极主 动地参与到学习 中来。

y ? x2 ? 4x ? 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函

y ? x2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2)2 ?1 ,在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上

是增函数。

y ? f ( x) ? x y ? f ( x) ? 2 x 2 ? 5 x ? 2 y ? f ( x) ? 2 x
x y ? f ( x) ? log 3

问题2:求下列几个函数的导数 (1)

问题3:某点处导数的几何意义?

这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 (二)讨论研究 导数和函数的单调性之间有什么关系呢? 1、 画出函数

y ? f ( x) ? x 2 的图像,导数是 f , ( x) ? 2x ,

通过对导数的学 习让学生清楚导 数的简单应用, 引出导数与函数 的单调性之间有 什么关系?

当 x ? ( 0,+ ?) 时, 是增加的;

f , ( x) ? 2x ? 0 ,函数 y ? x 2 在区间(0,+ ? )上

当 x ? ( - ? ,+ 0) 时,

f , ( x) ? 2x ? 0 ,函数 y ? x 2 在区间( ? ?, 0)

上是减少的。 2、研究二次函数 (1) (2) (3) (4)

y ? x2 ? 2 x ? 1的图象;

(让学生先作 图, ,归纳出定 理)通过具体的 函数实例来引出 导数与函数单调 性之间的关系

学生自己画图研究探索。 提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? (开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。 提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变 化规律?

(5) 学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。 (学生总结) : ①该函数在区间 (??, 2) 上单调递减,切线斜率小于 0,即其导数为负; 在区间 (2, ??) 上单调递增,切线斜率大于 0,即其导数为正; 注:切线斜率等于 0,即其导数为 0;如何理解? ②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢? 3、再看我们熟悉的函数的导数及单调性 (1)

y ? 2x , 1 x (2) y ? ( ) 2 (3) y ? log3 x

(4) 抽象概括 定理:

y ? log 1 x
2

f / ( x) ? 2 x ln 2 1 1 f / ( x) ? ( ) x ln 2 2 1 / f ( x) ? x ln 3 1 / f ( x) ? 1 x ln 2

抽象概括出定理 (可有学生先总 结, 教师再完善) 求单调区间 是导数的一个重 要应用,也是本 节重点。

讨论导数求 函数单调性的步

一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内 单调递增;

2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x)在这个区间(a,b)内单调递减。 注意:

变式练习: 依 次涉及二次,三

①应正确理解

“ 某个区间 ”
/

的含义,

它必是定义域内的某个子区间。

②如果在某个区间内恒有f (x)=0 (三)举例演练: 例1、求函数

,则 f(x) 为常数函数.

f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 36x ? 16 的递增区间与递减区间。

分析:函数的单调性与导数的符号有关,所以可以通过分析导数的符号求出函 数的单调区间。 2 :确定函数f(x)=2x +3x -24x -1 在哪个区间是减函数?在哪个区间上是增函 数?(让学生自己先动手作,再从解题过程中归纳出利用导数讨论函数单调的步 骤) 例3、已知导函数f (x)的下列信息: 当1<x<4时,f (x)>0; 当x>4,或x<1时,f (x)<0; 当x=4,或x=1时,f (x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。 (让学生自己先作图,再总结) 利用导数讨论函数单调的步骤: (1)求y=f(x)的定义域D (2)求导数f (x) (3)解不等式组
/ / / / / / 3 2

次函数,三角函 数,含指数的函 数、这样一题多 变,逐步深化, 从而让学生领 会:如何应用及 哪类单调性问题 该应用“导数 法”。

f (x)>0

/

得f(x)的单调递增区间; 得f(x)的单调递减区间

X∈D

解不等式组 f (x)<0 练一练: 求下列函数的单调性,并求出单调区间。 (1) f (x)=x +3x (2) f (x)=x -2x-3 (3) f(x)=sinx-x 归纳: x∈(0,π )
2 3

X∈D

什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便? 总结: 导数法。 【课堂小结】 1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f ′ (x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求调性问题时,应考虑

2. 本节课中, 用导数去研究函数的单调性是中心, 能灵活应用导数解题是目的 , 另

外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. (五)布置作业――自主探究 习题3-1 A组 第1、2大题

七、教学评价
函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中,对于函数 单调性的研究分成两个阶段:第一个阶段是用定义研究单调性,知道它的变化趋势;第二阶段 用导数的性质研究单调性,知道它的变化快慢。那么高一是处在第一个阶段,而高二我们是处 在第二个阶段。 根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面:一是能探索并应用函数的单 调性与导数的关系求单调区间;二是掌握判断函数单调性的方法;三是能由导数信息绘制函数 大致图象。 本节课分析学生的实际情况设计出本课期望能通过这些环节达到教学目的。

八、教学反思
教学反思:1、在具体的实施过程中时间的搭配不够充分,是的难点地方不够突出解答。 2、在实施师生互动体现学生的自主有些不够,教师代替较多,没达到设计的预期 目的。 3、个别例题解答不够完整,步骤应写完整。

九、板书设计 导数与函数的单调性
1、函数的单调性 2、导数与函数的单调性
3 练习

例1、 例2、

专家点评(师大附中 张文俊)
本课例教学目标定位较准确,教学方法选择合理。课例力求以问题为情景,引导学生探索并 应用导数与函数的单调性的关系求函数的单调区间;通过利用导数研究函数单调性问题的过程,

学会由图形——性质;从特殊到一般的,数形结合的研究方法。掌握研究函数单调性的另一种常 用方法—— 导数法,教学过程较为流畅,并注意在教学过程中通过力求让学生多动手、多观察、 勤思考、善总结,认识到数学是一个有机整体,这样培养学生的自信心,保持学生的学习热情和 培养学生勇于探索善于发现的创新意识。 这些设计思想都符合新课程理念, 但在具体的实施过程 中师生互动体现学生的自主不够,教师代替较多,没达到设计的预期目的,另外,个别例题解答 不够完整,即示范性不够,因为,例题。


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