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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-1:第二章 圆锥曲线与方程 单元同步测试]


第二章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小 题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的) x2 y2 1.方程 + =1 所表示的曲线是( sinθ-1 2sinθ+3 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 )

B.焦点在 y 轴上的椭圆

D.焦点在 y 轴上的双曲线

解析 ∵sinθ-1<0,2sinθ+3>0,∴方程表示焦点在 y 轴上的双曲 线. 答案 D )

2.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( A.-1 10 C.- 20 B.1 10 D. 2

x2 y2 3 解析 把方程化为标准形式- 1 + 3 =1,则 a2=-m,b2=- -m -m 1 4 2 2 2 ,∴ c = a + b =- m m=4,∴m=-1. 答案 A

3.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的 取值范围是( ) B.(1,2) D.(0,1)

A.(1,+∞) 1 C.(2,1)

x2 y2 2 解析 把方程 x +ky =2 化为标准形式 2 + 2 =1,依题意有k >2, k
2 2

∴0<k<1. 答案 D

4.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,则 k 的值为 ( ) A.1 C.1 或 0 解析 B.0 D.1 或 3 1 适合题意.

?x= , ? ?y=2, ? 验证知,当 k=0 时,有 2 ?? 2 ?y =8x ? ?y=2.

? ? ?y=x+2, ?x=2, 当 k=1 时,有? 2 解得? 也适合题意, ?y =8x, ?y=4. ? ?

∴k=0 或 1. 答案 C

x2 y2 5. 已知曲线 a + b =1 和直线 ax+by+1=0(a, b 为非零实数)在同 一坐标系中,它们的图象可能为( )

A.

B.

C.

D.

1 解析 直线 ax+by+1=0 中,与 x 轴的交点为 P(-a,0),与 y 1 轴的交点为(0,-b),在图 A,B 中,曲线表示椭圆,则 a>b>0,直线 与坐标轴负半轴相交,图形不符合.

在图 C 中,a>0,b<0,曲线为双曲线,直线与 x 轴负半轴相交, 与 y 轴正半轴相交,适合. 答案 C

1 6.已知 F 是抛物线 y=4x2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线 段 PF 中点的轨迹方程是( 1 A.x2=y-2 C.x2=2y-1 ) 1 B.x2=2y-16 D.x2=2y-2

1 解析 由 y=4x2?x2=4y, 焦点 F(0,1), 设 PF 中点为 Q(x, y), P(x0,
? ?2x=0+x0, y0),则? ?2y=1+y0, ? ? ?x0=2x, ∴? 又 P(x0,y0)在抛物线上, ? ?y0=2y-1.

∴(2x)2=4(2y-1),即 x2=2y-1. 答案 C

7.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 解析 将方程 mx +ny =1 变形为 1 + 1 =1, 它表示焦点在 y 轴上 m n
2 2

的椭圆的充要条件是

?m>0, ?1 ?n>0, ? 1 <1 ?m n
答案 C

1

m>0, ? ? ??n>0, ? ?m>n

?m>n>0.

8.如图正方体 A1B1C1D1-ABCD 的侧面 AB1 内有动点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1 的距离相等,则动点 P 所在的曲线的形状为( )

解析 点 P 到 B1 的距离等于到 AB 的距离, 符合抛物线的定义. ∵ 点 P 在正方形 ABB1A1 内运动,当 P 在 BB1 的中点适合,当点 P 与 A1 重合时,也适合,因此选 C. 答案 C

9. 动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过点( A.(4,0) C.(0,2) ) B.(2,0) D.(0,-2)

解析 直线 x+2=0 是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上, 由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0). 答案 B

x2 2 10.设 F1 和 F2 是双曲线 4 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上, 且满足∠F1PF2=90° ,则△F1PF2 的面积为( A.1 C.2 解析 5 B. 2 D. 5
? ?|PF1|-|PF2|=4, 由题设知? 2 2 ? ?|PF1| +|PF2| =20.

)

① ②

②-①2 得|PF1|· |PF2|=2. 1 ∴△F1PF2 的面积 S=2|PF1|· |PF2|=1. 答案 A

x2 y2 11.从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左 焦点 F1, A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( 2 A. 4 2 C. 2 1 B.2 3 D. 2 )

解析

b? ? 由已知, 点 P(-c, y)在椭圆上, 代入椭圆方程得 P?-c, a ?. ? ?

2

b b2 ∵AB∥OP,∴kAB=kOP.即-a=-ac,∴b=c.又 a2=b2+c2=2c2,∴e2 c2 1 2 =a2=2,e= 2 . 答案 C

12.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 )

B.2 2 D.4

解析 由 y2=4 2x 知,抛物线的焦点 F( 2,0),准线 x=- 2, 如图. 由抛物线的定义知|PF|=|PM|, 又|PF|=4 2,∴xP=3 2. 代入 y2=4 2x,求得 yP=2 6. 1 1 ∴S△POF=2· |OF|· yP=2× 2×2 6=2 3. 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填 在题中横线上)

x2 y 2 5 13.已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则 C 的 渐近线方程为________________.
2 2 c 2 a +b b2 5 解析 ∵e =a2= a2 =1+a2=4, 2

b2 1 b 1 ∴a2=4,a=2. 1 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 2 x. 答案 1 y=± 2x

14.设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且 它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程为________. x2 y2 解析 双曲线 1 - 1 =1 的焦点为 F1(-1,0), F2(1,0). 离心率 e= 2. 2 2

?a -b =1, x y 设椭圆的方程为a2+b2=1,依题意得?1 ?a· 2=1,
2 2

2

2

∴a2=2,b2=1.

x2 2 故椭圆方程为 2 +y =1. x2 2 答案 2 +y =1 x2 y2 15.设 F1,F2 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________.

解析 依题意及双曲线的对称性,不妨设 F1,F2 分别为双曲线的 左、右焦点,点 P 在双曲线的右支上,由双曲线的定义得 |PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a, 解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 而|F1F2|=2c.∠PF1F2=30° , ∴在△PF1F2 中,由余弦定理,得|PF2|2= |PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2, 3 即 4a2=16a2+4c2-2×4a×2c× 2 , 即 3a2-2 3ac+c2=0. c 又 e=a,得 e2-2 3e+3=0, ∴e= 3. 答案 3

3π 16.过抛物线 y2=4x 的焦点,作倾斜角为 4 的直线交抛物线于 P, Q 两点,O 为坐标原点,则△POQ 的面积等于__________.
?y=-?x-1?, ? 解析 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), F 为抛物线焦点, 由? 2 ? ?y =4x,

得 y2+4y-4=0,

∴|y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 = ?-4?2+4×4=4 2. 1 ∴S△POQ=2|OF||y1-y2|=2 2. 答案 2 2 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 5 17. (10 分)求与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距, 且离心率为 5 的 椭圆的标准方程. x2 y2 解 把方程 4x +9y =36 写成 9 + 4 =1,则其焦距 2c=2 5,∴c
2 2

= 5. c 5 又 e=a= 5 ,∴a=5. b2=a2-c2=52-5=20, x2 y2 y2 x2 故所求椭圆的方程为25+20=1,或25+20=1. 3 18.(12 分)已知直线 x+y-1=0 与椭圆 x2+by2=4相交于两个不 同点,求实数 b 的取值范围. 解

?x+y-1=0, 由? 2 3 2 x + by = ? 4,

得(4b+4)y2-8y+1=0.

因为直线与椭圆相交于不同的两点,
?4b+4≠0 ? 所以? ,解得 b<3,且 b≠-1. ?Δ=64-4?4b+4?>0 ?

3 又方程 x2+by2=4表示椭圆,所以 b>0,且 b≠1.

综上,实数 b 的取值范围是{b|0<b<3 且 b≠1}. 19.(12 分)已知双曲线中心在原点,且一个焦点为( 7,0),直线 2 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 的中点的横坐标为-3,求此双 曲线的方程. x2 y 2 解 设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),依题意 c= 7,∴方 x2 y2 程可以化为a2- =1, 7-a2

?x2- y 2=1, 由?a 7-a ?y=x-1,

2

2



(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. -2a2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= , 7-2a2 ∵ x1+x2 2 =- 2 3,

-a2 2 2 ∴ 2=- ,解得 a =2. 3 7-2a x2 y2 ∴双曲线的方程为 2 - 5 =1. 20.(12 分)如图线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A, B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线.

(1)求抛物线方程; → → (2)若OA· OB=-1,求 m 的值. 解 (1)设直线 AB 为 y=k(x-m),抛物线方程为 y2=2px.

? ?y=k?x-m?, 由? 2 消去 x,得 ? ?y =2px,

ky2-2py-2pkm=0. ∴y1· y2=-2pm. 又∵y1· y2=-2m,∴p=1, ∴抛物线方程为 y2=2x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2).
2 2 → → y1 y2 则OA· OB=x1x2+y1y2= 4 +y1y2=m2-2m.

→ → 又OA· OB=-1, ∴m2-2m=-1,解得 m=1. 21.(12 分)已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1),试讨论实 数 k 的取值范围,使: (1)直线 l 与双曲线有两个公共点;

(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点.
? ?y=k?x-1?, 解 由? 2 2 消去 y 得 x2-k2(x-1)2=4, ?x -y =4, ?

即(1-k2)x2+2k2x-4-k2=0.(*) 当 1-k2≠0 时,Δ=16-12k2=4(4-3k2).
2 ? ?4-3k >0, 2 3 2 3 (1)当? 即- 3 <k< 3 ,且 k≠± 1 时,方程(*)有两 2 ?1-k ≠0, ?

个不同的实数解;
2 ? ?4-3k =0, 2 3 (2)当? 即 k = ± 2 3 时,方程(*)有两个相同的实数解; ?1-k ≠0, ?

?4-3k2<0, ? 2 3 2 3 (3)当? 即 k<- 3 , 或 k> 3 时, 方程(*)无实数解. 2 ?1-k ≠0, ?

5 而当 k=± 1 时,方程(*)变形为 2x-5=0,x=2,方程(*)也只有一 解. 2 3 2 3 ∴当- 3 <k<-1,或-1<k<1,或 1<k< 3 时,直线与双 曲线有两个公共点; 2 3 当 k=± 1,或 k=± 3 时,直线与双曲线有且只有一个公共点; 2 3 2 3 当 k<- 3 ,或 k> 3 时,直线与双曲线没有公共点.

22.(12 分)如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点,∠POB=30° .曲线 C 是满足||MA|-

|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E,F. 若△OEF 的面积不小于 2 2,求直线 l 斜率的取值范围. 解 (1)以 O 为原点,AB,OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立

平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P( 3,1),依题意得 ||MA|-|MB|| =|PA|-|PB| = ?2+ 3?2+12- =2 2<|AB|=4, ∴曲线 C 是以原点为中心,A,B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2, ∴a2=2,b2=c2-a2=2. x2 y2 ∴曲线 C 的方程为 2 - 2 =1. (2)依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程 并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.① ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F,
2 ? ? 1, ?k≠± ?1-k ≠0, ? ? ∴ ? 2 2 ?Δ=?-4k? +4×6?1-k ?>0 ? ? ?- 3<k< 3.

?2- 3?2+12

∴k∈(- 3,-1)∪(-1,1)∪(1, 3).② 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2= 4k 6 ,于是 2,x1x2=- 1-k 1-k2

|EF|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2

= ?1+k2??x1-x2?2 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 2 2 3-k2 = 1+k · . |1-k2|
2

而原点 O 到直线 l 的距离 d= 1 ∴S△OEF=2d· |EF|
2 1 2 2 2 2 3-k =2· · 1+k · |1-k2| 1+k2

2 , 1+k2

2 2 3-k2 = . |1-k2| 若△OEF 面积不小于 2 2,即 S△OEF≥2 2,则有 2 2 3-k2 ≥2 2?k4-k2-2≤0, |1-k2| 解得- 2≤k≤ 2.③ 综合②③知,直线 l 的斜率的取值范围为 [- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2].


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