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三角函数图像与性质知识点总结和经典题型


函数图像与性质知识点总结和经典题型
1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

>7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2.三角函数的单调区间: 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要 特别注意 A、 ? 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同 一单调区间;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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? ?? ? y ? sin x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 2 2? ?
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; ? 2 2? ?
2k? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 y ? cos x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?,

?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,
? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
3.对称轴与对称中心: y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? (k? ,0) k ? Z ; 2 ,对称中心为 y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? 2 ,0) ;
? y ? tan x 无对称轴,对称中心为 ( k2 ,0) ;

对于 y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称轴 与最值点联系。
(其中A ? 0,? ? 0) 4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?

,频率是 f ?

? ,相位是 2?

?x ? ? ,初
相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ?
y ? B 的交点都是该图象的对称中心。
y=Asin(ωx+φ)+B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最高点-最低点 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最高点+最低点 ②B 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 B= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω ④φ 的确定:把图像上的点的坐标带入解析式 y=Asin(ωx+φ)+B,然后根据 φ 的范围确定 φ φ 即可, 例如由函数 y=Asin(ωx+φ)+K 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为- (即 ω φ 令 ωx+φ=0,x=- )确定 φ. ω

?
2

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线

5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩
y ? sin x 的图象
向左(? >0)或向右(? ? 0) ??????? ? 平移 ? 个单位长度
横坐标伸长(0<? <1)或缩短(? >1)

得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 ?????????? 1 到原来的 (纵坐标不变)
?

? 得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 ????????? 为原来的A倍 ( 横坐标不变 )

纵坐标伸长(A?1)或缩短(0<A<1)

? 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象. 先伸缩后平移
? y ? sin x 的图象 ????????? 为原来的A倍(横坐标不变)
纵坐标伸长( A?1)或缩短(0? A?1)

? 得 y ? A sin x 的图象 ????????? 1 到原来的 (纵坐标不变)
?

横坐标伸长(0?? ?1)或缩短(? ?1)

? ? 得 y ? A sin(? x) 的图象 ??????? 平移 个单位
?

向左(? ? 0)或向右(? ? 0)

? 得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象. 得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象 ??????? 平移 k 个单位长度
6.由 y=Asin(ω x+ ? )的图象求其函数式: 给出图象确定解析式 y=Asin(ω x+ ? )的题型,有时从寻找“五点”中的第一 零点(-
? ,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 .. ?

向上 ( k ? 0) 或向下( k ? 0)

7.求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用 周期公式,另外还有图像法和定义法。 2π 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 , |ω | π y=tan(ω x+φ )的最小正周期为 . |ω |

8.五点法作 y=Asin(ω x+ ? )的简图:

五点取法是设 x=ω x+ ? ,由 x 取 0、 、π 、

π 2

3π 、2π 来求相应的 x 值及对 2

应的 y 值,再描点作图。 9. 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; 由于正余弦函数的值域都是[-1,1], 因此对于? x∈R, 恒有-1≤sin x≤1, -1≤cos x≤1,. (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值 域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:
y=sin2x-4sin x+5,令 t=sin x(|t|≤1). 三角函数的图象及常用性质 函数 在[- 单调性 y=sin x π π + 2kπ , + 2 2 y=cos x y=tan x π π 在 ( - + kπ , + 2 2 kπ)(k∈Z) 上 单 调 递增

2kπ](k∈Z) 上单调递增; π 3π 在 [ + 2kπ , + 2 2 2kπ](k∈Z)上单调递减

在[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上单调 递增 ;在 [2kπ , π + 2kπ](k∈Z) 上单调递减

对称中心: (kπ, 0)(k∈Z); 对称性 π 对称轴:x= +kπ(k∈Z) 2

π 对称中心:( +kπ,0)(k∈Z); 2 对称轴:x=kπ(k∈Z)

对称中心: ( 0)(k∈Z)

kπ , 2

四.典例解析 题型 1:三角函数的图象 例 1. (全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除

A、C,当 x∈(0,

? )时,y=-xcosx<0。答案为 D。 2

题型 2:三角函数图象的变换
(四川)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的 10

横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

?
10

)
)

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

解析:将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 析式为 y=sin(x-

? ) 10

? 个单位长度,所得函数图象的解 10

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得

图像的函数解析式是 y ? sin( x ?

1 2

?
10

).

题型 3:三角函数图象的应用
π 例 1:函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示.求 f(x)的解析 2 式; T π 2π π 3 解:由图可知 A=2, = ,则 =4× ∴ω= . 4 3 ω 3 2 π 3 π π π 又 f(- )=2sin[ × (- )+φ]=2sin(- +φ)=0 ∴sin(φ- )=0 6 2 6 4 4 π π π π π π 3 π ∵0<φ< ,∴- <φ- < ∴φ- =0,即 φ= ∴f(x)=2sin( x+ ). 2 4 4 4 4 4 2 4

例 2.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________.
T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 9 ∵-π≤φ<π,∴φ= π. 答案: π 10 10

例 3.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________.
2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π π ∴ω= =2,把点( ,1)代入,可得 2× +φ= ,φ= . T 6 6 2 6

例 4.(辽宁卷改编)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f(2)=-3 ,则 f(0)=
________. T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z), 得 φ=- +2kπ, k∈Z, 12 2 4 2 2 2 2 π 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 2 3 3 3

π

2

例5.右图所示的曲线是 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)的图象的一部分, 求这个函数的解析式 .
解:由函数图象可知

y

2

o ?
12

5? 6

x

?2

4 5? ? 2? A ? 2, T ? ( ? ) ? ? ,即 ? ?, 3 6 12 ? ?? ? 2 5? 又( , 0)是“五点法”作图的 第五个点, 6 5? ? 即2 ? ? ? ? 2?, ?? ? . 6 3 ? 所求函数的解析式为 y ? 2 sin(2 x ?

y 3
N M

?

3

).

o

例6: 右图为y ? A sin(?x ? ? )的图象的一段,求其解 析式.
解 1:以点 N 为第一个零点,则 A ? ? 3,

?

?
3

3

5? x 6

T ? 2(

5? ? ? ) ??, 6 3

?? ? 2, 此时解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ? ? ). ? 点N (? ,0) 6 ??

?

?

6

?2 ?? ? 0 ?? ?

?
3

.? 所求解析式为 y ? ? 3 sin(2 x ?
2? ? 2, T

?
3

)

解 2:以点 M (

?
3

,0) 为第一个零点,则 A ? 3 , ? ?

解析式为 y ? 3 sin(2 x ? ? ), 将点 M 的坐标代入得 2 ?

?

? 所求解析式为 y ? 3 sin( 2 x ?

2? ). 3

3

?? ? 0 ?? ? ?

2? , 3

小结:
求函数y ? A sin(?x ? ? )的表达式: 1. A由图像中的振幅确定 ; 2.?由图像的周期确定 ; 3.求?常用的两种方法: (1)平移法 (2)代点法
题型 4:三角函数的定义域、值域
已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 ? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? ? 6 2? ?

解: (1)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x

∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .

(2)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

题型 5:三角函数的单调性 例.求下列函数的单调区间: ? y ? sin(2 x ? ) +1 6
解:因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? 故 ?

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 ? 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ? ??

?
6

?

?
2

? 2 k? ( k ? Z )

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ( k ? Z )

故函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) ? 1 的单调递增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z )


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