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2012年中考数学提分精讲 第26讲 解直角三角形的应用


第26讲 解直角三角形的应用

考点知识精讲

中考典例精析

举一反三

考点训练

考点一 解直角三角形的应用中的相关概念 1.仰角、俯角:如图①,在测量时,视线与水平线所成的角中,视 仰角、俯角:如图① 在测量时,视线与水平线所成的角中, 线在水平线上方的角叫仰角,在水平线

下方的角叫俯角. 线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角.

水平距离l 2.坡度(坡比)、坡角:如图②,坡面的高度 h 和 水平距离l 的比叫 坡度(坡比) 坡角:如图②
h 坡度(或坡比) tanα= 叫坡角. 坡度(或坡比),即 i=tanα= ,坡面与水平面的夹角 α 叫坡角. l 方向角:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90 90° 3.方向角:指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水

平角,叫做方向角.如图③ 表示北偏东60°方向的一个角. 平角,叫做方向角.如图③,表示北偏东60°方向的一个角. 60

45° 方向,东南方向指南偏东45 注意: 45° 注意:东北方向指北偏东 45° 方向,东南方向指南偏东45°方向 ,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画 西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向. 45 45 图的方位为上北下南,左西右东. 图的方位为上北下南,左西右东. 4.方位角:从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫 方位角: 做方位角. 做方位角.

考点二 直角三角形的边角关系的应用 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题,因此, 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题,因此,直角 三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用, 三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用,在应用时要注意以下 几个环节: 几个环节: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形, (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角 将实际问题抽象为数学问题 形的问题) 形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 根据条件的特点 (3)得到数学问题的答案; (3)得到数学问题的答案; 得到数学问题的答案 (4)得到实际问题的答案. (4)得到实际问题的答案. 得到实际问题的答案

(1)(2011·贵阳)如图, (1)(2011·贵阳)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B= 贵阳 ABC中 90° AC= 30° 30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( BC边上的动点, AP长不可能是( 边上的动点 长不可能是 A.3.5 C.5.8 B.4.2 D. D .7 )

(2)(2010·深圳)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的东北方 )(2010·深圳)如图, 2010·深圳 向, 距离灯塔 40 2 海里的 A 处, 它沿正南方向航行一段时 间后, 30°方向上的 间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处,则海 ________海里 结果保留根号) 海里( 轮行驶的路程 AB 为________海里(结果保留根号).

【点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念.准确掌握 点拨】本组题重点考查解直角三角形的应用及有关概念. 直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键. 直角三角形的两锐角间的关系,三边之间的关系和边角关系是解题的关键.

【 解答】 (1)D 解答 】

∵sinB= ∵sinB =

AC 3 , ∴AB= ∴AB = = 6.又 AC≤AP≤AB, 6. 又 AC≤AP≤AB , sin30° AB sin30°

∴3≤AP≤6, 7.故选 ∴3≤AP≤6,∴AP 的长不可能是 7.故选 D. (2)40+40 3 40+ AP= ∠A=45°, AC=PC= 在 Rt△APC 中,AP=40 2,∠A=45°,则 AC=PC= 2 40.在 PC=40,∠B=30°, BC= =40.在 Rt△PBC 中,PC=40,∠B=30°,则 BC= 2

PA·sinA= PA·sinA=40 2×

PC 40 AB=AC+BC=40+ 海里) = =40 3.所以海轮行驶的路程 AB=AC+BC=40+40 3(海里). tanB 3 3

(2011·芜湖)如图所示, (2011·芜湖)如图所示,某校数学兴趣小组的 芜湖 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度, 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先 BD的高度 在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方 处测得古塔顶端点D的仰角为45° 再沿着BA的方 45 BA 向后退20 m至 测得古塔顶端点D的仰角为30 30° 求该古塔BD BD的高 向后退20 m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°,求该古塔BD的高 ≈1.732,结果保留一位小数) 度.( 3 ≈1.732,结果保留一位小数) 解答】根据题意可知∠BAD 45°,∠BCD=30°,AC=20m. ∠BAD= 【 解答】根据题意可知∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.Rt△ABD 中, 由
BD BD ∠BAD=∠BDA=45°, AB=BD. tan∠BCD= BC= ∠BAD=∠BDA=45°,得 AB=BD.在 Rt△BDC 中,由 tan∠BCD= ,得 BC= BC tan30° BD= AB= BC= ∵BC-AB=20, 20, = 3 BD. 设 BD=xm 则 AB=xm,BC= 3 xm,∵BC-AB=20,∴ 3 x-x=20,x= ≈27.3. 答:该古塔的高度约为 27.3 m. 20 3-1

米的房顶,梯子的倾斜角( 1.某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面 的夹角) 60°,否则就有危险 那么梯子的长至少为( 有危险, 的夹角)不能大于 60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( 8 3 C. 米 3 4 3 D. 米 3 )

A .8 米

B.8 3 米

答案: 答案:C 2.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离) 如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离) m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4 m, 0.75的山坡上种树 为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4 m,那么相邻两 树间的坡面距离为( 树间的坡面距离为( A .5 m 答案: 答案:A B .6 m ) C .7 m D .8 m

BC= 3.河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的 河堤横断面如图所示, 坡比是 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之 的长是( 比),则 AC 的长是( A .5 3 米 ) B.10 米 C.15 米 D.10 3 米

答案: 答案:A 4.如图,有一段斜坡BC长为10米,坡角∠CBD=12°,为方便残疾人 如图,有一段斜坡BC长为10米 坡角∠CBD=12° BC长为10 的轮椅车通行,现准备把坡角降为5 的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°.
参考数据 (1)求坡高CD; 求坡高CD (1)求坡高CD; sin12°≈ °≈0.21 °≈ °≈0.98 °≈ (2)求斜坡新起点 与原起点B的距离(精确到0.1 求斜坡新起点A 0.1米 (2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米). cos12°≈ tan5°≈ °≈0.09 °≈ 答案:(1)2.1米 (2)13.5米 答案:(1)2.1米 (2)13.5米

5.如图所示,在A岛周围25海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到 如图所示, 岛周围25海里水域有暗礁, 25海里水域有暗礁 O处时,发现A岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B处发现A岛 处时,发现A岛在北偏东60°方向,轮船继续前行20海里到达B处发现A 60 20海里到达 在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险? 在北偏东45°方向,该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险?(参 45 考数据: 考数据: ≈1.732) 3

答案:AC≈27.32>25, 答案:AC≈27.32>25,所以轮船不会触礁

解直角三角形的应用

训练时间:60分钟 训练时间:60分钟

分值:100分 分值:100分

一、选择题(每小题4分,共40分) 选择题(每小题4 40分

1.(2011·日照 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,把∠A . 日照)如图 日照 如图, △ = , b 的邻边与对边的比叫做∠ 的余切, 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作 cotA=a.则下列关系 = 则下列关系 式中不成立的是( 式中不成立的是 )

A.tanA·cotA=1 B.sinA=tanA·cosA C.cosA=cotA·sinA D.tan2A+cot2A=1

ab a ab 解析】 【解析】∵tanA·cotA=b·a=1,sinA=c ,tanA·cosA=b· c= = , = = a b ba b cosA= ,cotA·sinA= · = ,∴A、B、C 三项均正确;而 =c =a c c 、 、 三项均正确; c,
4 4 a2 b2 a + b tan2 A+cot2 A= 2+ 2= 2 2 ≠1,∴D 项不成立. 项不成立. + = , b a ab

【答案】D 答案】

处引拉线固定电线杆, 2.(2010中考变式题)如图,在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆, (2010中考变式题)如图,在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆 中考变式题 拉线和地面成60° 的长为( 拉线和地面成60°角,则拉线AC的长为( 60 )

A.5tan60° m . C. 5 m tan60°
5

5 B. m sin60° D. 5 m cos60°

5 解析】 sin60°= 【解析】∵sin60°= ,∴AC= (m). AC sin60°
【答案】B 答案】

3.(2010中考变式题)如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距 (2010中考变式题)如图, 中考变式题 点测得∠ 30° 点测得∠ 60° m, 离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=50 m, 的距离为______m ______m. 则小岛B到公路l的距离为______m.( )

A.25

B.25 3

100 3 C. 3

D.25+25 3 25+

解析】 Rt△ 【解析 】过点 B 作 BE⊥AD 于 E, 设 BE=x, 在 Rt△ABE 中,

x AE = x

x

Rt△ , 在 Rt △CBE 中 ,CE = ,∴ AC =AE -CE = tan30° tan60°

x

50, - = 50,解得 x =25 3,即小岛 B 到公路 l 的距 tan30° tan60° 离为 25 3 m.
【答案】B 答案】

4.(2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛 (2011·潍坊)身高相等的四名同学甲、 潍坊 ,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的), 四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的) 则四名同学所放的风筝中最高的是( 则四名同学所放的风筝中最高的是(
同学 放出风筝线长 线与地面夹角 甲 140 m 30°

)
乙 100 m 45° 丙 95 m 45° 丁 90 m 60°

A.甲 A.甲 B.乙 C .丙 D .丁

1 解析】 h h 【解析】 甲=140·sin 30°=140×2=70(m), 乙=100·sin 45° = × , 2 2 95 =100× =50 2(m),h 丙=95·sin 45°=95× = × , = × 2(m), , 2 2 2 3 h 丁=90·sin 60°=90× =45 3(m), h 丙<h 甲<h 乙<h 丁. = ×2 , ∴
【答案】D 答案】

的山坡走了500 500米 5.(2010中考变式题)某人沿着坡度i=1∶1的山坡走了500米,这时 (2010中考变式题) 中考变式题 他的垂直高度上升了( 他的垂直高度上升了( )

A.500 米 B.500 2米 C.250 米 D.250 2米

【解析】500÷ 2=250 2(米). 解析】 = 米.
【答案】D 答案】

6.(2012中考预测题)如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰 (2012中考预测题)如图,铁路路基横断面为一个等腰梯形, 中考预测题 的坡度为2 的坡度为2∶3,顶宽为3米,路基高为4米,则路基的下底宽是( 顶宽为3 路基高为4 则路基的下底宽是( )

12米 A.15米 B.12米 15米 C .9 米 D .7 米

【解析】过点 A、B 作 AE⊥DC,BF⊥DC,则 AE=BF=4 解析】

AE 2 4 2 米,∵ = ,∴ = ,∴DE=6.同理 CF=6,EF=AB=3, 6.同理 DE 3 DE 3
6×2+ 15(米 ∴DC=6×2+3=15(米).
【答案】A 答案】

边上, 7.(2011·莆田)如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠 (2011·莆田)如图, 莆田 tan∠ 矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处.若AB=4,BC=5,则tan∠AFE 的值为( 的值为( )

4 A. 3

3 B. 5

3 C. 4

4 D. 5

【解析】由折叠知 CF=CB=5,则 DF= 52-42=3, 解析】 = = , = , ∴AF=5-3=2.设 AE=x,则 BE=EF=4-x,∴x2+22= = - = 设 = , = = - , 3 3 AE 2 3 2 (4-x) ,∴x= ,∴tan∠AFE= = = . - = ∠ =AF 2 4 2 【答案】C 答案】

的建筑物顶部看一个旗杆顶( 8.(2010中考变式题)如图,在高为h的建筑物顶部看一个旗杆顶(旗 (2010中考变式题)如图, 中考变式题 杆高出建筑物顶) 仰角为30° 看旗杆与地面的接触点,俯角为60° 杆高出建筑物顶),仰角为30°,看旗杆与地面的接触点,俯角为60°, 30 60 则旗杆的高为( 则旗杆的高为( )

4 A. h 3 5 C. h 4

3 B. h 2 2 D. h 3

h 3 解析】 【解析】在 Rt△AED 中,AE= △ = = h,在 Rt△ , △ tan60° 3 3 3 1 1 4 ACE 中,CE=AE·tan30°= h× = h, CD=h+ h= = = × , ∴ = + = 3 3 3 3 3 h.
【答案】A 答案】

30° 9.(2012中考预测题)如图,在高为2 m,倾斜角为30°的楼梯表面铺 (2012中考预测题)如图,在高为2 m,倾斜角为30 中考预测题 地毯,地毯的长度至少需要( 地毯,地毯的长度至少需要( )

A.[2+( 3+1)] m B.4 m C.2( 3+1) m D.2( 3+3) m

2 解析】 【 解析 】 地毯的长度至少需要 2+ + = 2+ 2 3= + = tan30° 2( 3+1) m. +

【答案】C 答案】

10.(2010中考变式题)如图, 10.(2010中考变式题)如图,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的 中考变式题 20米 与地面成30 30° 坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且 此时测得1米杆的影长为2 此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为( 则电线杆的高度为( )

A .9 米

B.28米 28米

(14+ C.(7+ 3)米 D.(14+2 3)米 (7+

【解析】作 DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 的延长线于 F,在 Rt 解析】 ⊥ , ⊥ , △CDF 中,∠DCF=30°,CD=8 米,∴DF=CD·sin30°=4(米), = , = = = 米, CF=CD·cos30°=4 3(米),∴DE=BF=(20+4 3)米,BE=DF = = 米, = = + 米 = AE 1 1 根据平行投影可知: =4(米). 米 .根据平行投影可知:DE=2.∴AE=2DE=(10+2 3)米, ∴ = = + 米 ∴AB=AD+BE=(14+2 3)米. = + = + 米

【答案】D 答案】

二、填空题(每小题4分,共20分) 填空题(每小题4 20分 11.(2010中考变式题)如图,某河道要建造一座公路桥, 11.(2010中考变式题)如图,某河道要建造一座公路桥,要求桥面离 中考变式题 引桥的坡角∠ 15° 地面高度AC为3米,引桥的坡角∠ABC为15°,则引桥的水平距离BC的长是 ________米 ________米.(精确到0.1米) 精确到0.1米 0.1

AC 3 解析】 【解析】在 Rt△ABC 中,BC= △ = = ≈ 11.2(米). 米. tan15° tan15°
【答案】11.2 答案】

12. 2011·兰 ( 坝内斜坡的 12. 2011·兰州)某水库大坝的横截面是梯形, 某水库大坝的横截面是梯形, 坡度 i=1∶ 3,坝外斜坡的坡度 i=1∶1,则两个坡角的和为 ________. ________.

1 解析】 【解析】设坝内斜坡角为 α,坝外斜坡角为 β.∵tanα= , ∵ = 3 3 = ,∴α=30°.∵tanβ=1,∴β=45°,∴α+β=75°. = ∵ = , = , + = 3
【答案】75° 答案】 °

13. (2010 中考变式题 课外活动小组测量学校旗杆的高 . 中考变式题)课外活动小组测量学校旗杆的高 角时, 度.如图,当太阳光线与地面成 30°角时,测得旗杆 AB 在地面 如图, 角时 的高度约是________米.结 上的投影 BC 长为 24 米, 则旗杆 AB 的高度约是 米 (结 个有效数字, ≈ 果保留 3 个有效数字, 3≈1.732)

解析】 【解析】由题意可得 AB=BC·tan30°=24× = = ×

3 ≈13.9. 3

【答案】13.9 答案】 14.(2011·荆州)如图所示,长方体的底面边长分别为2 cm和 14.(2011·荆州)如图所示,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm 荆州 点开始经过4 ,高为5 cm,若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂 高为5 cm, 蚁爬行的最短路径长为________cm. 蚁爬行的最短路径长为________cm.

解析】如图所示,是长方体的侧面展开图,由题意, 【解析】 如图所示,是长方体的侧面展开图,由题意, 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 路 径 为 PQ = PO2+OQ2 = 122+52 = 13(cm). .

【答案】13 答案】

15.(2012中考预测题)如图是一台起重机的示意图, 15.(2012中考预测题)如图是一台起重机的示意图,它的机身AM高为 中考预测题 20.5米 的长是36.7 36.7米 吊杠与水平方向的倾角可以从30 30° 20.5米,吊杠AB的长是36.7米,吊杠与水平方向的倾角可以从30°转到 80° 则这台起重机工作的最大高度为________米 80°,则这台起重机工作的最大高度为________米,最远水平距离是 ________ ________米 ________米.(精确到0.1米) 精确到0.1米 0.1

【解析】最大高度为:20.5+36.7×sin80°≈56.6(米),最远水平 解析】最大高度为:20.5+36.7×sin80°≈56.6(米 距离为36.7×cos30°≈31.8(米 距离为36.7×cos30°≈31.8(米). 36.7 【答案】56.6 31.8 答案】

三、解答题(共40分) 解答题( 40分 16.(12分)(2011·成都)如图所示, 16.(12分)(2011·成都)如图所示,在亚丁湾一海域执行护航任务的 成都 我海军某军舰由东向西行驶. 处时, 我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北 方向500米处; 处时, 方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶到C处时,发现灯塔A在我军 500米处 舰的北偏东60°的方向. .(计算过程和结果均不取 舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程BC.(计算过程和结果均不取 60 近似值) 近似值)

解 由已知, 可得∠ACB=30°.在 Rt△ABC 中, 30°.在 Rt△ 【答案】 : 答案】 由已知, 可得∠ ∠ ACB = 30° , AB = 500 米 . ∵ tan ∠ ACB =

AB , ∴ BC = BC

500 3 = =500÷ =500 3(米). tan ∠ACB tan 30° 3 答:该军舰行驶的路程为 500 3米.

AB

17.(14分)(2011·贵阳) 17.(14分)(2011·贵阳)某过街天桥的设计图是梯形ABCD(如图所 贵阳 平行, 62米 88米 示),桥面DC与地面AB平行,DC=62米,AB=88米.左斜面AD与地面AB 的夹角为23° 的夹角为30 30° 的夹角为23°,右斜面BC与地面AB的夹角为30°,立柱DE⊥AB于E,立 23 之间的距离(精确到0.1 0.1米 柱CF⊥AB于F,求桥面DC与地面AB之间的距离(精确到0.1米).

【答案】解:设 CD 与 AB 之间的距离为 x 米,则 DE=CF 答案】 = DE x =x,EF=DC=62,在 Rt△ADE 中,AE=tanA=tan 23°. , = = , △ = CF x 在 Rt△BCF 中,BF=tan B=tan 30°.∵AE+BF=AB-DC △ = ∵ + = - x x =88-62=26,∴tan 23°+tan 30°=26,解得 x≈6.4. - = , , ≈ 答:桥面 DC 与地面 AB 之间的距离约为 6.4 米.

18.(14分 (2011·潍坊 今年“五一”假期, 潍坊) 18.(14分) (2011·潍坊)今年“五一”假期,某数学活动小组 组织一次登山活动. 组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点 路线如图所示, 的长为1 040米 沿斜坡BC到达山顶C点,路线如图所示,斜坡AB的长为1 040米,斜坡 的长为400 400米 点的俯角为30 30° 点海拔121 121米 BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°.已知A点海拔121米,C点 海拔721米 海拔721米. 721

(1)求 点的海拔; (1)求B点的海拔; (2)求斜坡 的坡度. (2)求斜坡AB的坡度.

为垂足, 【答案】解:(1)如图所示,过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM 答案】 (1)如图所示, 如图所示 为垂足. ,BD⊥CF,E、D为垂足.

点的俯角为30 30° ∵在C点测得B点的俯角为30°, 30° ∴∠CBD=30°.

1 400× 30°=400× 200( 又 BC=400 米, CD=400×sin 30°=400× =200(米). ∴ 2

721-200=521( ∴B 点的海拔为 721-200=521(米). (2)∵BE=DF=CF-CD=400 米,AB= 1 040 米,
2 2 2 2 960( ∴AE= AB -BE = 1 040 -400 =960(米), 2 2 2 2

BE 400 5 ∴AB 的坡度 iAB= = = ,故斜坡 AB 的坡度为 1∶ AE 960 12
2.4.


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