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高二数学选修11测试试题一 (2)


高二数学选修 1—1 测试试题一
一、选择题: 1.已知 P:2+2=5,Q:3>2,则下列判断错误的是( ) A.“P 或 Q”为真, “非 Q”为假; B.“P 且 Q”为假, “非 P”为真 ; C.“P 且 Q”为假, “非 P”为假 ; D.“P 且 Q”为假, “P 或 Q”为真 2.在下列命题中,真命题是( ) 2 A. “x=2 时,x -3x+2

=0”的否命题; B.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题; C.若 ac>bc,则 a>b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 3.已知 P:|2x-3|<1, Q:x(x-3)<0, 则 P 是 Q 的( ) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 ; C.充要条件 ; D.既不充分也不必要条件 4.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( ) A.[1,4]; B.[2,6]; C.[3,5 ]; D. [3,6]. 5. 函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2,在 x=1 时有极值 10,则 a、b 的值为( ) A.a=3,b=-3 或 a=―4,b=11 ; B.a=-4,b=1 或 a=-4,b=11 ; C.a=-1,b=5 ; D.以上都不对 6.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点坐标为( ) ? A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(-1,-4); D.(2,8)和(-1,-4) 7.函数 f(x)=x3-ax+1 在区间(1,+ ? )内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.a<3 ; B.a>3 ; C.a ? 3; D.a ? 3 )

8.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( k ?2 5?k




A.2<k<5 ; B.k>5 ; C.k<2 或 k>5; 9.函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( A.(

D.以上答案均不对 D. (2? ,3? )

? 3?
2 2 ,

);

B. (? ,2? ) ;

C. (

3? 5? , ); 2 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上,且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为( 10.已知双曲线 6 3
A.

)

3 6 ; 5

B.

5 6 ; 6

C.

6 ; 5

D.

5 6


11.已知两圆 C1:(x+4)2+y2=2, C2:(x-4)2+y2=2,动圆 M 与两圆 C1、C2 都相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是( A.x=0; B.

x2 y2 ? ? 1 (x ? 2 ); 2 14

C.

x2 y2 ? ? 1; 2 14

D.

x2 y2 ? ? 1 或 x=0 2 14

二、填空题: 12.双曲线的渐近线方程为 y= ?

3 x ,则双曲线的离心率为________ 4

13.函数 f(x)=(ln2)log2x-5xlog5e(其中 e 为自然对数的底数)的导函数为_______ 14.与双曲线

x2 y2 ? ? ?1 有相同焦点,且离心率为 0.6 的椭圆方程为________ 5 4

? 处的切线方程为____________ 6 ? 16.过抛物线 y2=4x 的焦点,作倾斜角为 的直线交抛物线于 P、Q 两点,O 为坐标原点,则 ? POQ 的面积为_________ 4
15.正弦函数 y=sinx 在 x= 三、解答题: 17.命题甲: “方程 x2+mx+1=0 有两个相异负根”,命题乙: “方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根” ,这两个命题有且只有一个成立,

试求实数 m 的取值范围。

18.求过定点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线方程。 19. 已知函数 f(x)=2ax3+bx2-6x 在 x= ? 1 处取得极值 (1) 讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2) 试求函数 f(x)在 x=-2 处的切线方程; (3) 试求函数 f(x)在区间[-3,2] 上的最值。 20.已知定点 A(1,0) ,定直线 l:x=5,动点 M(x,y) (1)若 M 到点 A 的距离与 M 到直线 l 的距离之比为

5 ,试求 M 的轨迹曲线 C1 的方程; 5

(2)若曲线 C2 是以 C1 的焦点为顶点,且以 C1 的顶点为焦点,试求曲线 C2 的方程; (3)是否存在过点 F( 5 ,0)的直线 m,使其与曲线 C2 交得弦|PQ|长度为 8 呢?若存在,则求出直线 m 的方程;若不存在,试 说明理由。 21. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原 AO⊥BO(如图 4 所示). (Ⅰ)求△AOB 的重心 G(即三角形三条中线的交点)的 (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出 由. 点 O 的两不同动点 A、B 满足 轨迹方程; 最小值;若不存在,请说明理

22 . 一 条 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 离 心 率 为

3 的双曲线
??? ? ???? ??? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 交 a 2 b2

于 P, Q 两点,直线 l 与 y 轴交于 R 点,且 OP ? OQ ? ?3, PQ ? 4RQ, 求直线与双曲线的方程

23.已知 f(x)=2ax- (2)若对 x∈[

b 1 +lnx 在 x=-1,x= 处取得极值.(1)求 a、b 的值; x 2

1 ,4]时,f(x)>c 恒成立,求 c 的取值范围. 4

选修 1—1 测试试题参考答案:
一、CDACD CCCBC D 二、12.

5 5 , ; 4 3

13.

1 -5x ; x

14.

x2 y2 ? ? 1; 16 25

15. 6 3x ? 12y ? 6 ? 3? ? 0 ; 三、 17.命题甲:m>2,命题乙:1<m<3.

16. 2 2 . 故 1<m ? 2,或 m ? 3

1 18.x=0,y=1,y= x+1 2
19. (1).f(x)=2x3-6x; 故 f(1)=-4 是极小值,f(-1)=4 是极大值

(2).切线方程是 18x-y+32=0 (3) .最大值为 f(-1)=f(2)=4, 最小值为 f(-3)=-36

x2 y2 y2 6 2 ? 1 或 x+m 的方程为 x= 5 或 y= ? ? ? 1 ;C2 方程为 x ? 20.提示:C1 方程为 (x- 5 ) 4 5 4 2
21.解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 则? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?

?(1)

∵OA⊥OB ∴ kOA ? kOB ? ?1,

即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? ?1 ,??(2)

2 2 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 ,代入(2)化简得 x1 x 2 ? ?1 , y2 ? x2

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? ( 3 x ) 2 ? ? 3 x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2

所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3 x ?

2 3

(II) S ?AOB ?

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | OA || OB |? ( x1 ? y1 )( x 2 ? y2 )? x1 x 2 ? x1 y2 ? x2 y1 ? y1 y2 2 2 2 1 1 1 1 6 6 6 6 x1 ? x2 ?2? 2 x1 ? x2 ?2 ? 2 ( ?1) 6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

由(I)得 S ?AOB ?
6 6

当且仅当 x1 ? x 2 即 x1 ? ? x 2 ? ?1 时,等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1; 22.解:由 e ? 3 ?c ? 3a ?b ? 2a ?双曲线方程为 2 x ? y ? 2a
2 2 2 2 2 2

2

设直线 l : y ? x ? m, R(0, m), P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? 2m 2 2 2 ? x ? 2 mx ? m ? 2 a ? 0 ? ........(1) ? 2 2 2 2 2 ?2 x ? y ? 2a ? x1 x2 ? ?m ? 2a ?? ? ???? ??? ? ??? ? 又因为 OP ? OQ ? ?3, PQ ? 4RQ,
则?

?y ? x ? m

则有: x1x2 ? y1 y2 ? ?3?2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? 3 ? 0.........(3)

? x2 ? x1 ? 4 x2 ? x1 ? ?3x2 ?? .......(2) ? ? y2 ? y1 ? 4( y2 ? m) ?3 y2 ? y1 ? 4m
由(1) , (2)得 x 2 ? ?m, x1 ? 3m, m2 ? a2 代入(3)得 m ? 1, a ? 1 ? m ? ?1, a ? 1, b ? 2
2 2 2 2

所以,所求的直线与双曲线方程分别是 y ? x ? 1, x ?
2

y2 ?1 2

23. 解:(1)∵f(x)=2ax- ∵f(x)在 x=-1 与 x=

b 1 b +lnx, ∴f′(x)=2a+ 2 + . x x x

1 1 处取得极值,∴f′(-1)=0,f′( )=0, 2 2

?2a ? b ? 1 ? 0, ?a ? 1, 即? 解得 ? ?2a ? 4b ? 2 ? 0. ?b ? ?1.
(2)由(1)得 f′(x)=2-

∴所求 a、b 的值分别为 1、-1.

1 1 1 1 + = 2 (2x2+x-1)= 2 (2x-1) (x+1). 2 x x x x 1 1 1 1 1 ∴当 x∈[ , ]时,f′(x)<0;当 x∈[ ,4]时,f′(x)>0.∴f( )是 f(x)在[ ,4]上的极小值.又∵只有一 4 2 2 2 4 个极小值,
∴f(x)min=f(

1 )=3-ln2. 2

∵f(x)>c 恒成立,∴c<f(x)min=3-ln2. ∴c 的取值范围为 c<3-ln2.


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