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8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、选择题 1.直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( ) π 3π ? ? A.? B.? ?0,4? ? 4 ,π? π π π π 3π 0, ?∪? ,π? D.? , ?∪? ,π? C.? 4 2 4 2 ? ? ? ? ? ? ?4 ? 3π ? 1 解析:斜率 k=- 2 ,故 k∈[-1,0),由

正切函数图象知倾斜角 α∈? ? 4 ,π?. a +1 答案:B 2.设 A(-2,3)、B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 有交点,则 a 的取值范围是 ( ) 5? ?4 ? A.? ?-∞,-2?∪?3,+∞? 4 5? B.? ?-3,2? 5 4? C.? ?-2,3? 4? ?5 ? D.? ?-∞,-3?∪?2,+∞? 3-?-2? 5 解析:直线 ax+y+2=0 恒过点 M(0,-2),且斜率为-a,∵kMA= =- , 2 -2-0 2-?-2? 4 4 5? 5 4 kMB= = ,由图可知:-a≥- 且-a≤ ,∴a∈? ?-3,2?,故选 B. 3 2 3 3-0

答案:B 3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是(

)

A

B

C

D 解析:当 a>0 时,直线 y=ax 的倾斜角为锐角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a>0, A、B、C、D 都不成立; 当 a=0 时,直线 y=ax 的倾斜角为 0° ,A、B、C、D 都不成立; 当 a<0 时,直线 y=ax 的倾斜角为钝角,直线 y=x+a 在 y 轴上的截距为 a<0,只有

C 成立. 答案:C 4.直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且它的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍,则 直线 l2 的方程为( ) A.y=6x+1 B.y=6(x-1) 3 3 C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 4 4 解析:由 tanα=3 可求出直线 l2 的斜率 2tanα 3 k=tan2α= =- , 4 1-tan2α 再由 l2 过点(1,0)即可求得直线方程. 答案:D 5.若直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( ) A.1 B.2 1 1 C.- D.2 或- 2 2 4m-1 解析:当 2m2+m-3≠0 时,在 x 轴上截距为 2 =1,即 2m2-3m-2=0, 2m +m-3 1 ∴m=2 或 m=- . 2 答案:D π 6.函数 y=asinx-bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为 x= ,则以向量 c=(a,b)为方 4 向向量的直线的倾斜角为( ) A.45° B.60° C.120° D.135° π 解析:由 f(x)=asinx-bcosx 关于 x= 对称, 4 π? 得 f(0)=f? ?2?,代入得 a=-b, ∴向量 c=(a,b)=(a,-a)=a(1,-1), ∴直线的斜率为 k=-1, 即倾斜角 α=135° . 答案:D 二、填空题 y 7 .实数 x 、 y 满足 3x - 2y - 5 = 0(1≤x≤3) ,则 的最大值、最小值分别为 ______ 、 x ______.

y y 解析:设 k= ,则 表示线段 AB:3x-2y-5=0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率. x x ∵A(1,-1)、B(3,2).由图易知: ?y?max=kOB=2, ?x? 3 y ? ?min=kOA=-1. ?x? 2 答案: -1 3 8.直线 l 过点 P(-1,1)且与直线 l′:2x-y+3=0 及 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三

角形,则直线 l 的方程为__________.

解析:如图所示,由直线 l、l′与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形可知:l 与 l′ 的倾斜角互补,从而可知其斜率互为相反数,由 l′的方程知其斜率为 2,从而 l 的斜率为 -2,又过点 P(-1,1),则由直线方程的点斜式,得 y-1=-2(x+1),即 2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0 9 .过点 P( - 1,2) ,且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 __________. x y 解析:当直线过原点时,方程为 y=-2x;当直线不经过原点时,设方程为 + =1, 2a a 3 把 P(-1,2)代入上式,得 a= ,所以方程为 x+2y-3=0. 2 答案:y=-2x 或 x+2y-3=0 三、解答题 10.根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12; (2)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解析:(1)由题设知截距不为 0, x y 设直线方程为 + =1, a 12-a -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为:4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (2)依题设知,此直线有斜率不存在的情况. 当斜率不存在时,所求直线方程为:x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点到线距离公式,得 2 =5,解得 k= . 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 11.在△ABC 中,已知 A(5,-2)、B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程. 解析:(1)设 C(x0,y0), 5+x0 y0-2? 则 AC 边的中点为 M? ? 2 , 2 ?, 7+x0 y0+3? BC 边的中点为 N? ? 2 , 2 ?. 5+x0 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,x0=-5. 2 y0+3 ∵N 在 x 轴上,∴ =0,y0=-3. 2 即 C(-5,-3).

5? (2)∵M? ?0,-2?,N(1,0), x y ∴直线 MN 的方程为 + =1, 1 5 - 2 即 5x-2y-5=0. 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程. 解析:(1)证明:直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0, ? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 解之得? ?1-y=0, ?y=1, ? ? ∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,要 k 1+2k ? ?- ≤-2, k 使直线不经过第四象限,则必须有? 解之得 k>0; ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,合题意,故 k≥0. 1+2k ? (3)由 l 的方程,得 A?- ,0 ,B(0,1+2k). k ? ? 1+2k ? ?- <0, k 依题意得? 解得 k>0. ? ?1+2k>0, 1 1 1+2k ∵S= · |OA|· |OB|= · | |· |1+2k| 2 2 k 2 1 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+k+4? ? 2 k 2 1 ≥ (2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0.


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