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河北省唐山市2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题 Word版含答案


唐山市 2016-2017 学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?x ? N | x ? 3? , B ? ?x | x ? a ? b, a ? A, b ? A? ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2? 2.设复数 z 满足 A. 5 B. ??2, ?1,1, 2? C. ?1? ) C. 2 D. 2 ) D. ?0,1, 2? )

z ?1 ? 1 ? 3i ,则 | z |? ( z?2
B. 5

3.如图是八位同学 400 米测试成绩的茎叶图(单位:秒) ,则(

A.平均数为 64
2

B.众数为 7

C.极差为 17 )

D.中位数为 64.5

4.“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”是“ x ? 2 ”的( A.充分不必要条件 件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条

5.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为(



A. 24 ? ?

B. 24 ? 3?

C. 24 ? ?

D. 24 ? 2?

6.已知双曲线过点 (2,3) ,渐进线方程为 y ? ? 3x ,则双曲线的标准方程是(



A.

7 x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

y 2 x2 ? ?1 3 2

C. x ?
2

y2 ?1 3

D.

3 y 2 x2 ? ?1 23 23


7.函数 y ? A. (1, 2)

2? x , x ? (m, n] 的最小值为 0,则 m 的取值范围是( x ?1
B. (?1, 2) C. [1, 2)

D. [?1, 2) )

8.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ? 5 ,则输出的结果为(

A.4

B.5

C.6 )

D.7

9.已知 ? , ? 均为锐角,且 sin 2? ? 2sin 2? ,则( A. tan(? ? ? ) ? 3tan(? ? ? ) C. 3tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? )

B. tan(? ? ? ) ? 2 tan(? ? ? ) D. 3tan(? ? ? ) ? 2 tan(? ? ? )

10.已知函数 f ( x) ? cos(2x ? ? ) ? 3sin(2x ? ? )( | ? |? 关于 y 轴对称,则 f ( x ) 在区间 ? ? A. ?1 B. 3

?
2

) 的图象向右平移

? 个单位后 12

? ? ? , 0 上的最小值为( ? 2 ? ?
C. ? 3



D. ?2

11.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 6,O 点在棱 BC 上,且 BO ? 2OC ,过 O 点的直线 l 与直线 AA1 , C1D1 分别交于 M , N 两点,则 MN ? ( A. 3 13 B. 9 5 C. 14 ) D. 21 )

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数,且满足 ( x ? 2) f ( x) ? xf '( x) ? 0 ,则( A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0

C. f ( x ) 为减函数 D. f ( x ) 为增函数

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. ( x ? 2 y)( x ? y)7 展开式中,含 x3 y5 项的系数是 .

14.平行四边形 ABCD 中,M 为 BC 的中点, 若 AB ? ? AM ? ? DB , 则 ?? ? 15.已知椭圆 ? :

??? ?

???? ?

??? ?



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,上、下顶点分别为 A , B , a 2 b2


直线 AF 交 ? 于另一点 M , 若直线 BM 交 x 轴于点 N (12, 0) , 则 ? 的离心率是 16.在 ?ABC 中, A ? 是 .

?
3

, BC ? 3 , D 是 BC 的一个三等分点,则 AD 的最大值

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? (2n ?1)an ,且 a1 ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

3 :若初检不合格,则需要进行调试,经 4 4 调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为 .每台仪器各项费 5
18.某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为 用如表: 项目 金额(元) 生产成本 1000 检验费/次 100 调试费 200 出厂价 3000

(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;

(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为 1600 元的概率(注:利润 ? 出厂价 ? 生产成本 ? 检 验费 ? 调试费) ; (Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记 X 为生产两台仪器所获得的利润,求 X 的分布 列和数学期望. 19.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, AB ? 3 , AD ? 2 2 ,

?ABC ? 45? ,P 点在底面 ABCD 内的射影 E 在线段 AB 上, 且 PE ? 2 ,BE ? 2 EA ,F
为 AD 的中点, M 在线段 CD 上,且 CM ? ?CD .

(Ⅰ)当 ? ?

2 时,证明:平面 PFM ? 平面 PAB ; 3

(Ⅱ) 当平面 PAM 与平面 ABCD 所成的二面角的正弦值为 的体积.

2 5 时, 求四棱锥 P ? ABCM 5

20.已知 ?ABC 的顶点 A(1, 0) , 点 B 在 x 轴上移动,| AB |?| AC | , 且 BC 的中点在 y 轴上. (Ⅰ)求 C 点的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)已知轨迹 ? 上的不同两点 M , N 与 P(1, 2) 的连线的斜率之和为 2,求证:直线 MN 过定点. 21.已知函数 f ( x) ? a (ln x ? 1) ?

1 x2 ?1 的图象与 x 轴相切, g ( x) ? (b ? 1) log b x ? . x 2

( x ? 1)2 (Ⅰ)求证: f ( x) ? ; x
(Ⅱ)若 1 ? x ? b ,求证: 0 ? g ( x) ?

(b ? 1)2 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, ?y ? 3 t ? ? 2

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 (1 ? 2sin 2 ? ) ? 3 .
(Ⅰ)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)直线 C1 与曲线 C2 相交于 A , B 两点,点 M (1,0) ,求 || MA | ? | MB || . 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| , P 为不等式 f ( x) ? 4 的解集. (Ⅰ)求 P ; (Ⅱ)证明:当 m , n ? P 时, | mn ? 4 |? 2 | m ? n | .

唐山市 2016-2017 学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案 一、选择题
1-5: DBDBA 6-10: CDBAC 11、12: DA

二、填空题
13.49 14.

2 9

15.

1 2

16. 3 ? 1

三、解答题
17.解: (Ⅰ)由 Sn ? (2n ?1)an ,可得 Sn?1 ? (2 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? (2 ?1)an ? (2
n n?1 n?1

, ?1)an?1 ( n ? 2 )

?1)an?1 ,

(2n ? 2)an ? (2n?1 ?1)an?1 ,即

an 1 ? (n ? 2) , an ?1 2

故 ?an ? 是一个以 1 为首项, 所以 an ? ( )

1 为公比的等比数列, 2

1 2

n ?1



(Ⅱ) bn ? nan ? n( )

1 2

n ?1



Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? …? bn
1 1 1 1 ? 1? ( )0 ? 2 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? … ? n( ) n ?1 ,① 2 2 2 2 1 11 1 2 1 1 Tn ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? … ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n ,② 2 2 2 2 2 1 11 1 2 1 n ?1 1 n n?2 ① ? ②,得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? … ? ( ) ? n( ) ? 2 ? n , 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Tn ? 4 ? n ?1 . 2 3 4 1 18.解: (Ⅰ)记每台仪器不能出厂为事件 A ,则 P( A) ? (1 ? )(1 ? ) ? , 4 5 20 1 19 ? 所以每台仪器能出厂的概率 P ( A) ? 1 ? . 20 20 3 4 1 (Ⅱ)生产一台仪器利润为 1600 的概率 P ? (1 ? ) ? ? . 4 5 5
(Ⅲ) X 可取 3800 , 3500 , 3200 , 500 , 200 , ?2800 .

3 3 9 1 3 3 1 P( X ? 3800) ? ? ? , P( X ? 3500) ? C2 ? ? ? , 4 4 16 5 4 10 1 1 3 1 1 3 1 P( X ? 3200) ? ( ) 2 ? , P ( X ? 500) ? C2 ? ? ( ? ) ? , 5 25 4 4 5 40 1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 200) ? C2 ? ? ( ? ) ? , P( X ? ?2800) ? ( ? ) 2 ? . 5 4 5 50 4 5 400
X 的分布列为: X
3800 3500 3200 500 200

?2800

P

9 16

3 10

1 25

3 40

1 50

1 400

E ( X ) ? 3800 ?


9 3 1 3 1 1 ? 3500 ? ? 3200 ? ? 500 ? ? 200 ? ? (?2800) ? ? 3350 16 10 25 40 50 400

19.(Ⅰ)证明:连接 EC ,作 AN / / EC 交 CD 于点 N ,则四边形 AECN 为平行四边形,

CN ? AE ? 1 , C E 中,BE ? 2 ,BC ? 2 2 ,?ABC ? 45? , 在 ?B 由余弦定理得 EC ? 2 .
2 2 2 所以 BE ? EC ? BC ,从而有 BE ? EC .

在 ?AND 中, F , M 分别是 AD , DN 的中点, 则 FM / / AN , FM / / EC , 因为 AB ? EC ,所以 FM ? AB . 由 PE ? 平面 ABCD , FM ? 平面 ABCD , 得 PE ? FM ,又 FM ? AB , PE ? AB ? E , 得 FM ? 平面 PAB ,又 FM ? 平面 PFM , 所以平面 PFM ? 平面 PAB . (Ⅱ)以 E 为坐标原点, EB , EC , EP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系,则 A(?1, 0, 0) , P(0, 0, 2) , C (0, 2,0) , D(?3, 2, 0) , AP ? (1,0,2) ,

??? ?

???? ? ??? ? ??? ? AM ? AC ? ?CD ? (1 ? 3?, 2,0) .
平面 ABCD 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . 设平面 PAM 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??

?

? ? x ? 2 z ? 0, 令 x ? 2 ,得 n ? (2,3? ?1, ?1) . ?(1 ? 3? ) x ? 2 y ? 0, ?? ? ?? ? 1 5 | m?n | ? 由题意可得, | cos ? m, n ?|? ?? ? ? , 2 5 | m|?| n| 5 ? (3? ? 1)
由 AP ? n ? 0 , AM ? n ? 0 ,得 ?

??? ? ?

???? ? ?

解得 ? ?

1 , 3 1 8 S梯形ABCM ? PE ? . 3 3

所以四棱锥 P ? ABCM 的体积 VP ? ABCM ?

20.解: (Ⅰ)设 C ( x, y) ( y ? 0 ) ,因为 B 在 x 轴上且 BC 中点在 y 轴上,所以 B(? x, 0) ,
2 2 2 由 | AB |?| AC | ,得 ( x ? 1) ? ( x ?1) ? y ,

化简得 y 2 ? 4 x ,所以 C 点的轨迹 ? 的方程为 y 2 ? 4 x ( y ? 0 ) . (Ⅱ)设直线 MN 的方程为 x ? my ? n , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

? y 2 ? 4 x, 由? 得 y 2 ? 4my ? 4n ? 0 , ? x ? my ? n,
所以 y1 y2 ? ?4n ,

k MP ?

y1 ? 2 y1 ? 2 4 4 ? 2 ? ,同理 k NP ? , x1 ? 1 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

所以

4 4 ? ? 2 ,化简得 y1 y2 ? 4 , y1 ? 2 y2 ? 2

又因为 y1 y2 ? ?4n ,所以 n ? ?1 , 所以直线 MN 过定点 (?1, 0) . 21.解: (Ⅰ) f '( x) ?

a 1 ? , x x2

设 f ( x ) 的图象与 x 轴相交于点 ( x0 ,0) ,

1 ? a (ln x0 ? 1) ? ? 0, ? x0 ? f ( x0 ) ? 0, ? 则? 即? ? f '( x0 ) ? 0, ? a ? 1 ? 0, 2 ? ? x0 x0
解得 a ? x0 ? 1 . 所以 f ( x) ? ln x ? 1 ?

1 , x

f ( x) ?

( x ? 1)2 等价于 ln x ? x ? 1 . x
1 ?1, x

设 h( x) ? ln x ? x ? 1 ,则 h '( x ) ?

当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, 所以 h( x) ? h(1) ? 0 ,

即 ln x ? x ? 1 , (*) ,所以 f ( x) ?

( x ? 1)2 . x

1 ln x ? ?1 x ?1 x ( x ? 1) ,则 h '( x) ? (Ⅱ)设 h( x) ? , ln x ln 2 x 1 由(Ⅰ)可知,当 x ? 1 时, ln x ? ? 1 ? 0 , x
从而有 h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递增, 又 1 ? x ? b ,所以 1 ? x ? b ,
2

从而有 h( x 2 ) ? h(b) ,即

x2 ?1 b ?1 ? , ln x 2 ln b

所以

x 2 ? 1 (b ? 1) ln x ? ? (b ? 1) log b x ,即 g ( x) ? 0 , 2 ln b

x 2 ? 1 (b ? 1) ln x x 2 ? 1 ln x 2 x 2 ? 1 g ( x) ? (b ? 1) logb x ? ? ? ? (b ? 1) ? ? 2 ln b 2 2 ln b 2 ? (b ? 1) ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ?1 b ?1 ? ? ?( ? 1) , 2 ln b 2 2 ln b
1 b ?1 ? b, ,所以 b ln b

又 ln b ? 1 ?
2

又 1 ? x ? b ,所以 g ( x) ?

( x 2 ? 1)(b ? 1) (b ? 1)2 ? . 2 2

(b ? 1)2 综上可知, 0 ? g ( x) ? . 2
22.解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 曲线 C2 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3
2

(Ⅱ)将直线 C1 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程整理得: 5t ? 2t ? 4 ? 0 ,

2 t1 ? t2 ? ? , 5
由 t 的几何意义可知: || MA | ? | MB ||?| t1 ? t2 |?

2 . 5

?2 x, x ? 1, ? 23.解: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ?2, ?1 ? x ? 1, ??2 x, x ? ?1. ?
由 f ( x ) 的单调性及 f ( x) ? 4 得, x ? 2 或 x ? ?2 . 所以不等式 f ( x) ? 4 的解集为 P ? x | x ? 2或x ? ?2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 | m |? 2 , | n |? 2 ,所以 m ? 4 , n ? 4 ,
2 2

?

?

(mn ? 4)2 ? 4(m ? n)2 ? (m2 ? 4)(n2 ? 4) ? 0 ,
所以 (mn ? 4)2 ? 4(m ? n)2 , 从而有 | mn ? 4 |? 2 | m ? n | .


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