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26(高中竞赛讲座)整除


26,, 高中数学竞赛讲座 26,, 26 整除
整除是整数的一个重要内容,这里仅介绍其中的几个方面:整数的整除性、最大公约数、 整除是整数的一个重要内容,这里仅介绍其中的几个方面:整数的整除性、最大公约数、最 小公倍数、方幂问题. 小公倍数、方幂问题 Ⅰ. 整数的整除性 初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道,整数集合中可以作加、减、乘 初等数论的基

本研究对象是自然数集合及整数集合 我们知道,整数集合中可以作加、 法运算,并且这些运算满足一些规律(即加法和乘法的结合律和交换律,加法与乘法的分配律), 法运算,并且这些运算满足一些规律(即加法和乘法的结合律和交换律,加法与乘法的分配律), 但一般不能做除法, 是整除, 但一般不能做除法,即,如 a, b 是整除, b ≠ 0 ,则 基本概念:整数的整除性 基本概念:整数的整除性. 定义一: 带余除法) 定义一 : ( 带余除法 ) 对于任一整数 a 和任一整数 b , 必有惟一的一对整数 q , r 使得

a 不一定是整数 不一定是整数. 由此引出初等数论中第一个 b

a = bq + r , 0 ≤ r < b ,并且整数 q 和 r 由上述条件惟一确定,则 q 称为 b 除 a 的不完全商, r 称 由上述条件惟一确定 条件惟一确定, 的不完全商,
的余数. 为 b 除 a 的余数 整除, 的倍数, 的约数(又叫因子), 若 r = 0 ,则称 b 整除 a ,或 a 被 b 整除,或称 a是b 的倍数,或称 b是a 的约数(又叫因子), 否则, 否则 记为 b | a .否则, b | a . 的约数, 的真约数. 任何 a 的非 ± a,±1 的约数,叫做 a 的真约数 0 是任何整数的倍数,1 是任何整数的约数 是任何整数的倍数, 是任何整数的约数. 任一非零的整数是其本身的约数,也是其本身的倍数. 任一非零的整数是其本身的约数,也是其本身的倍数 由整除的定义,不难得出整除的如下性质: 由整除的定义,不难得出整除的如下性质: (1)若 a | b, b | c, 则a | c. )
n

(2)若 a | bi , 则a | )

∑ c b , 其中c
i =1 i i

i

∈ Z , i = 1,2, ? , n.

反之,亦成立. (3)若 a | c ,则 ab | cb. 反之,亦成立 ) (4)若 a | b, 则 | a |≤| b | .因此,若 a | b, 又b | a, 则a = ±b . ) 因此, 因此 互质, (5) a 、 b 互质,若 a | c, b | c, 则ab | c. ) 中的某一个. (6) p 为质数,若 p | a1 ? a 2 ? ? ? a n , 则 p 必能整除 a1 , a 2 , ? , a n 中的某一个 ) 为质数,
n 特别地, 为质数, 特别地,若 p 为质数, p | a , 则p | a.

(7)如在等式 ) 数.

∑ a = ∑b
i =1 i k =1

n

m

k

中除开某一项外, 的倍数, 中除开某一项外,其余各项都是 c 的倍数,则这一项也是 c 的倍

的倍数. (8)n 个连续整数中有且只有一个是 n 的倍数 ) 的倍数. (9)任何 n 个连续整数之积一定是 n 的倍数 ) 本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念,又由上一讲的算术基本定理, 本讲开始在整除的定义同时给出了约数的概念,又由上一讲的算术基本定理,我们就可以讨 论整数的约数的个数了. 论整数的约数的个数了 Ⅱ. 最大公约数和最小公倍数 定义二: 的整数.若整数 满足: 的公约数, 定义二:设 a 、 b 是两个不全为 0 的整数 若整数 c 满足: c | a, c | b ,则称 c为a, b 的公约数,

a与b 的所有公约数中的最大者称为 a与b 的最大公约数,记为 (a, b) .如果 (a, b) =1,则称 a与b 互 的最大公约数, 如果 ,
质或互素. 质或互素 定义三:如果 d是a 、 b 的倍数,则称 d是a 、 b 的公倍数. a与b 的公倍数中最小的正数称为 定义三: 的倍数, 的公倍数

a与b 的最小公倍数,记为 [a, b] . 的最小公倍数,
最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形, 最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形,并用 (a1 , a 2 , ? , a n ) 表示

a1 , a 2 , ? , a n 的最大公约数, [a1 , a 2 , ? , a n ] 表示 a1 , a 2 , ? , a n 的最小公倍数 的最大公约数, 的最小公倍数.
若 (a1 , a 2 , ? , a n ) = 1 ,则称 a1 , a 2 , a3 , ? , a n 互质,若 a1 , a 2 , ? , a n 中任何两个都互质,则称 互质, 中任何两个都互质, 它们是两两互质的.注意, 个整数两两互质是不同的概念, 它们是两两互质的 注意,n 个整数互质与 n 个整数两两互质是不同的概念,前者成立时后者不一 注意 定成立(例如, , , 互质,但不两两互质);显然后者成立时,前者必成立. );显然后者成立时 定成立(例如,3,15,8 互质,但不两两互质);显然后者成立时,前者必成立 的倍数,所以在讨论最小公倍数时,一般都假定这些整数不为 同时 同时, 因为任何正数都不是 0 的倍数,所以在讨论最小公倍数时,一般都假定这些整数不为 0.同时, 有相同的公约数, 有限多个亦成立),因此, ),因此 由于 a, b与 | a |, | b | 有相同的公约数,且 ( a, b) = (| a |, | b |) (有限多个亦成立),因此,我们总限 于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数. 于在自然数集合内来讨论数的最大公约数和最小公倍数 Ⅲ.方幂问题 方幂问题 次方和的问题称为方幂和问题.特别地 特别地, 一个正整数 n 能否表成 m 个整数的 k 次方和的问题称为方幂和问题 特别地,当 m = 1 时称为 k 次方问题,当 k = 2 时,称为平方和问题 次方问题, 称为平方和问题. 能表为某整数的平方的数称为完全平方数.简称平方数 关于平方数, 简称平方数, 能表为某整数的平方的数称为完全平方数 简称平方数,关于平方数,明显有如下一些简单的 性质和结论: 性质和结论: (1)平方数的个位数字只可能是 0,1,4,5,6,9. ) , , , , , 的倍数, (2)偶数的平方数是 4 的倍数,奇数的平方数被 8 除余 1,即任何平方数被 4 除的余数只能 ) , 是 0 或 1. (3)奇数平方的十位数字是偶数 )奇数平方的十位数字是偶数. (4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6. ) 整除.因 (5)不能被 3 整除的数的平方被 3 除余 1,能被 3 整除的数的平方能被 3 整除 因而,平方数 ) , 被 9 除的余数为 0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被 9 除的余数也只能为 0,1,4,7. , , , , , , ,

(6)平方数的约数的个数为奇数 )平方数的约数的个数为奇数. (7)任何四个连续整数的乘积加 1,必定是一个平方数 ) ,必定是一个平方数.

例题讲解
1.证明:对于任何自然数 n 和 k ,数 f ( n, k ) = 2n .证明: 数之积. 数之积
3k

+ 4n k + 10 都不能分解成若干个连续的正整

2.设 p 和 q 均为自然数 使得 . 均为自然数,使得

p 1 1 1 1 = 1? + ??? + . 证明: p 可被 1979 整除 证明: 整除. q 2 3 1318 1319

求证: 3.对于整数 n 与 k ,定义 F (n, k ) = ∑ r 2 k ?1 , 求证: F (n,1) 可整除 F (n, k ).
r =1

n

满足: 整除;( ;(2 4.求一对整数 a, b ,满足:(1) ab(a + b) 不能被 7 整除;(2) (a + b) 7 ?a 7 ? b 7 能被 77 整除. 整除.

求设 a 和 b 是两个正整数,(a, b) = 1, p 为大于或等于 3 的质数,c = (a + b, 是两个正整数, 的质数, 5. 试证:(1 ;(2 试证:(1) (c, a ) = 1 ;(2) c = 1 或 c = p. :(

ap +bp ) , a+b

6. m 盒子中各若干个球,每一次在其中 n( n < m) 个盒中加一球 求证:不论开始的分布情况如何, . 盒子中各若干个球, 个盒中加一球.求证 不论开始的分布情况如何, 求证: 总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是 ( m, n) = 1.

7.求所有这样的自然数 n ,使得 2 + 2 .
8

11

+ 2 n 是一个自然数的平方 是一个自然数的平方.

课后练习
1. 选择题 n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130 ·80·90·100·110·120·130, (1)若数 n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130,则不是 n 的因数 的最小质数是( 的最小质数是( ). (A)19 (B)17 (C)13 (D)非上述答案 2…、 (2)在整数 0、1、2…、8、9 中质数有 x 个,偶数有 y 个,完全平方数有 z 个,则 x+y+z 等于( ). 等于( (A)14 (B)13 (C)12 (D)11 (E)10
11 18 的最小整数是( (3)可除尽 3 +5 的最小整数是( 11 18

).
18

11 18 (A)2 (B)3 (C)5 (D)3 +5 (E)以上都不是

11

2. 填空题 表示为两个整数的乘积,使其中没有一个是 (1)把 100000 表示为两个整数的乘积,使其中没有一个是 10 的整倍数的表达式为 __________. (2)一个自然数与 的倍数, 的倍数, (2)一个自然数与 3 的和是 5 的倍数,与 3 的差是 6 的倍数,这样的自然数中最小的是 _________. (3)在十进制中, 1,并且能被 整除的最小自然数是________. (3)在十进制中,各位数码是 0 或 1,并且能被 225 整除的最小自然数是________. 在十进制中 3.求使 3.求使 为整数的最小自然数 a 的值. 的值.
2

2 4.证明: 的倍数. 4.证明:对一切整数 n,n +2n+12 不是 121 的倍数. 证明

5.设 5.设 倍,

是一个四位正整数, 是一个四位正整数,已知三位正整数 的倍数. 又是 18 的倍数.求出这个四位数

的和是一位正整数 与 246 的和是一位正整数 d 的 111

,并写出推理运算过程. 并写出推理运算过程.

6.能否有正整数 6.能否有正整数 m、n 满足方程 m +1954=n . 7.证明:(1 133|( ),其中 为非负整数. 7.证明:(1)133|(11 +12 ),其中 n 为非负整数. 证明:( (2)若将(1)中的 a,则(1)中的 将作何改动? (2)若将(1)中的 11 改为任意一个正整数 a,则(1)中的 12,133 将作何改动?证明改动后的结 若将(1) 论. 8.设 是三个互不相等的正整数.求证: 三个数中, 8.设 a、b、c 是三个互不相等的正整数.求证:在 a b-ab ,b c-bc ,c a-ca 三个数中,至少有 整除. 一个能被 10 整除.
3 3 3 3 3 3 n+2 n+1

2

2

101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少 则它们的最大公约数的最大可能值是多少? 9. 100 个正整数之和为 101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结 论.

课后练习答案
1.B.B.A
5 5 .(2 27. 2.(1)2 ·5 .(2)27. .(1 5 5

2000a a=5. 3.由 2000a 为一整数平方可推出 a=5.
2 n+12 121k 12= 4.反证法.若是121的倍数,设n +2n+12=121k 反证法.若是121的倍数, 121的倍数 2 11k- ).∵11是素数且除尽(+1 k-1 是素数且除尽(+ (11k-1).∵11是素数且除尽(+1) , 2

(n+1 2 (n+1) =11



∴11除尽n+1 11除尽n+1 除尽n+ 5. 由

2 除尽(n+ (n+1 2 11|11k- k-1 不可能. 11 除尽(n+1) 或11|11k-1,不可能.





是d的111倍, 111倍 是18的倍数,∴ 18的倍数, 的倍数

可能是198,309,420,531, 可能是198,309,420,531,6 198 只能是198. 198+246=444, 只能是198.而198+246=444, 198

42,753; 42,753;又 ∴d=4, d=4

是1984. 1984.
n+2 n+2 2n+1 n+1 n n n

n+2 2n+1 n n n (1 121× 12× 121× 7. 1)11 ( +12 =121×11 +12×144 =121×11 +12 n n n n n 12× 12× 133× 12× ×11 -12×11 +12×144 =…=133×11 +12×(144 -11 n+2 n n n n+2 ).第一项可被133整除 第一项可被133整除. 144-11| 133| ).第一项可被133整除.又144-11|144 -11 ,∴133|11 n+1 +122n+1.

(2)11改为a.12改为a+1,133改为a(a+1)+1.改动后命题为a(a 11改为a.12改为a+1 133改为a(a+1)+1 改动后命题为a(a 改为a.12改为a+ 改为a(a+ n+2 n+1 n+2 2n+1 )+1 +(a+1 可仿上证明. +1)+1|a +(a+1) ,可仿上证明.

);同理有 同理有b(b ).若 8.∵a b-ab =ab(a -b );同理有b(b -c );ca(c -a ).若 a 、b、c中有偶数或均为奇数,以上三数总能被2整除.又∵在a、b、c中若有一个是 b、c中有偶数或均为奇数,以上三数总能被2整除. 中有偶数或均为奇数 a、b、c中若有一个是 2 2 2 的倍数,则题中结论必成立.若均不能被5整除, 个位数只能是1 5的倍数,则题中结论必成立.若均不能被5整除,则a ,b ,c 个位数只能是1, 2 2 2 2 2 2 的个位数是从1 从而a 4,6,9,从而a -b ,b -c ,c -a 的个位数是从1,4,6,9中,任取 三个两两之差,其中必有0 故题中三式表示的数至少有一个被5整除, 三个两两之差,其中必有0或±5,故题中三式表示的数至少有一个被5整除,又2、5 互质. 互质. 最大公约数为d, d,并令 9.设100个正整数为a1,a2,…,a100,最大公约数为d,并令 100个正整数为a 个正整数为

















+a′ )=101101 101×10 101101= 则a1+a2+…+a100=d(a1′+a2′+…+a 100)=101101=101 10 +a +a + +a 01,故知a ,a ,a ,a′ 不可能都是1 从而a +a′ +a′100 01,故知a1′,a2′,a 100不可能都是1,从而a′1+a 2+…+a 100 1×99 +a 100≥1 99 1001,a 2002, 101,d 1001;若取a ,d≤1001 +2=101,d 1001;若取a1=a2=a99=1001,a100=2002,则满 1001×101 101101, d=1001 101= 1001, 足a1+a2+…+a100=1001 101=101101,且d=1001,故d的最 +a 大可能值为1001 大可能值为1001

例题答案: 例题答案:
1. 证明:由性质 9 知,只需证明数 f ( n, k ) 不能被一个很小的自然数 n 整除 因 证明: 整除.因

f (n, k ) = 3n 3k + 3n k ? n 3k + n k + 10 = 3(n 3k + n k + 3) ? n k (n k ? 1)(n k + 1) + 1, 3 | 3(n 3k + n k + 3),3 | n k (n k ? 1)(n k + 1), 3 1,故 3 ,
三个以上的连续自然数的积. 三个以上的连续自然数的积 不能分解成两个连续正整数的积. 再证 f ( n, k ) 不能分解成两个连续正整数的积 由上知, 因而只需证方程: 无正整数解.而这一点 由上知, f ( n, k ) = 3q + 1( q ∈ N ) ,因而只需证方程: 3q + 1 = x( x + 1) 无正整数解 而这一点 形的数来说明. 可分别具体验算 x = 3r ,34 + 1,34 + 2 时, x( x + 1) 均不是 3q + 1 形的数来说明 都不能分解成若干个连续正整数之积. 故 f ( n, k ) 对任何正整数 n 、 k 都不能分解成若干个连续正整数之积

f (n, k ) ,因而 f (n, k ) 不能分解成三个或

2. 证明: 证明:

p 1 1 1 1 1 1 = (1+ + ?+ ) ? 2( + +?+ ) q 2 3 1319 2 4 1318
= (1 +

1 1 1 1 1 + +?+ ) ? (1 + + ? + ) 2 3 1319 2 659

=(

1 1 1 1 1 1 + )+( + ) +?+ ( + ) 660 1319 661 1318 989 990 1 1 1 + +?+ ) =1979× ( 660 × 1319 661 × 1318 989 × 990

两端同乘以 1319!得 1319! × ! ! 为质数, 为质数,且 1979

p = 1979 × m(m ∈ N *). 此式说明 1979|1319!× p. 由于 1979 ! q

1319!,故 1979| p. !,故 !,

的质数, 命题仍成立. 【评述】把 1979 换成形如 3k + 2 的质数,1319 换成 2k + 1(k ∈ N *) ,命题仍成立 评述】 为偶数), 为奇数) 牛顿二项式定理和 ( a ? b) | a ? b , ( a + b) | a ? b (n 为偶数 ( a + b) | a ? b ( n 为奇数
n n n n n n

在整除问题中经常用到. 在整除问题中经常用到 3.证明:当 n = 2m 时, F ( 2m,1) = 证明: 证明
m 2m r = m +1 m

∑ r = m(2m + 1),
r =1

2m

F (2m, k ) = ∑ r 2 k ?1 +
r =1 m

∑r

2 k ?1

= ∑ r 2 k ?1 + ∑ (2m + 1 ? r ) 2 k ?1
r =1 m r =1

= ∑ [r 2 k ?1 + (2m + 1 ? r ) 2 k ?1 ],
r =1

由于[… 能被 整除, 整除,另一方面, 由于 …]能被 r + ( 2m + 1 ? r ) = 2m + 1 整除,所以 F ( 2m, k ) 能被 2m + 1 整除,另一方面,

F (2m, k ) =

∑ [r
r =1

m ?1

2 k ?1

+ (2m ? r ) 2 k ?1 ] + m 2 k ?1 + (2m) 2 k ?1 ,

上式中[… 能被 整除, 整除.因 互质, 上式中 …]能被 r + ( 2m ? r ) = 2m 整除,所以 F ( 2m, k ) 也能被 m 整除 因 m 与 2 m +1 互质, )(即 整除. 所以 F ( 2m, k ) 能被 m (2 m +1)(即 F (m,1) )整除 )( 类似可证当 n = 2m + 1 时,F(2 m +1, k )能被 F(2 m +1,1)整除 ( , ( )整除. 故 F ( n, k ) 能 被

F (n,1) 整除 整除.
4. (a + b) 7 ?a 7 ? b 7 = 7 ab[(a 5 + b 5 ) + 3ab( a 3 + b 3 ) + 5a 2 b 2 ( a + b)] = 7 ab( a + b)( a 2 + b 2 + ab) 2 .

根据题设要求(1)(2)知, 7 6 | ( a 2 + b 2 + ab) 2 |, 即 7 3 | a 2 + b 2 + ab. 知 根据题设要求
2 2 3 2 令 a + b + ab = 7 , 即 ( a + b) ? ab = 343, 即 a + b = 19 , 则 ab = 19 ? 343. 故 可 令
2

a = 18, b = 1 即合要求 即合要求.
5. 由已知得 a + b = ct ,

ap +bp = cs(t , s ∈ N ) ,两式相乘得 a+b

c 2 st = a p + b p = a p + (ct ? a ) p = c p t p ? pac p ?1t p ?1 + ? + pa p ?1ct , 于是 cs = c p ?1t p ?1 ? pac p ? 2 t p ? 2 + ? + pa p ?1 , 故 c | pa p ?1 .
的一个质因子, (1) ) 现用反证法来证明 (c, a ) = 1 .若 (c, a ) = k > 1, 令 q 是 k 的一个质因子, 若 则有 q | c, q | a.

b 的一个公约数, 矛盾, 因c | a + b, q | a + b, 则 从而 q | b. 于是 q 是 a 、 的一个公约数, 这与 (a, b) =1 矛盾, (c, a ) = 1 . 故
p ?1 (2)因为 c | pa , (c, a ) = 1, 所以 c | p. 而 p 为质数且 p ≥ 3 ,故 c = 1 或 c = p. )

此式说明 6. 证明:设 ( m, n) = 1 ,则有 u , v ∈ Z 使得 un = vm + 1 = v( m ? 1) + (v + 1) ,此式说明:对盒子连 证明: 续加球 u 次,可使 m ? 1 个盒子各增加了 v 个,一个增加 (v + 1) 个.这样可将多增加了一个球的盒子 这样可将多增加了一个球的盒子 次加球之后, 选择为原来球数最少的那个, 于是经过 u 次加球之后, 原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒 选择为原来球数最少的那个, 子中的球数之差减少 1,因此,经过有限次加球后,各盒球数差为 0,达到各盒中的球数相等 ,因此,经过有限次加球后, ,达到各盒中的球数相等. 用反证法证明必要性.若 个球, 则不管加球多少次, 用反证法证明必要性 若 (m, n) = d > 1 , 则只要在 m 个盒中放 m + 1 个球, 则不管加球多少次, 例如, 加球 k 次, 例如, 则这时 m 个盒中共有球 m + 1 + kn(个) 因为 d | m, d | n, d > 1, 所以 m + 1 + kn , 的倍数 的倍数,各盒中的球决不能一样多,因此, 不可能是 d 的倍数,更不是 m 的倍数,各盒中的球决不能一样多,因此,必须 ( m, n) = 1 . 7. 证明:(1)当 n ≤ 8 时, N = 2 8 + 211 + 2 n ? ( 2 8? n + 211? n + 1) ,因(…)为奇数,所以要使 N 证明:( ) 为奇数, :( 为平方数, 必为偶数.逐一验证 都不是平方数. 为平方数, n 必为偶数 逐一验证 n = 2,4,6,8 知,N 都不是平方数 不是平方数. (2)当 n = 9 时, N = 2 + 2 + 2 = 2 × 11 不是平方数 )
8 11 9 8 8 n ?8 为平方数, (3)当 n ≥ 10 时, N = 2 (9 + 2 ) ,要 N 为平方数, 9 + 2 ) n ?8

应为奇数的平方, 应为奇数的平方,不妨假设

9 + 2 n ?8 = (2k + 1) 2 ,则 2 n ?10 = (k ? 1) × (k + 2). 由于 k ? 1 和 k + 2 是一奇一偶,左边为 2 的幂,因 是一奇一偶, 的幂, 则

而只能 k ? 1 =1,于是得 k = 2 ,由 2 ,

n ?10

= 2 2 知 n = 12 为所求 为所求.


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