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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第7讲 抛物线


第 7 讲 抛物线

1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等; (3)定点不在定直线上. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p> 0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径 (其中 P(x0,y0)) p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 |PF|=x0+ p 2 p x= 2 p F( ,0) 2 y=0

O(0,0) x=0 p F(- ,0) 2 e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 |PF|=y0+ p 2 p y= 2 y≤0 x∈R 向下 p |PF|=-y0+ 2 p F(0, ) 2 p F(0,- ) 2

x≤0,y∈R 向左 p |PF|=-x0+ 2

[做一做] 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x 解析:选 C.由抛物线准线方程为 x=-2 知 p=4,且开口向右,故抛物线方程为 y2=8x. 2.抛物线 y2=-8x 的焦点坐标是( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 答案:B 1.辨明两个易误点

(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动 点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. (2)抛物线标准方程中参数 p 易忽视只有 p>0,才能证明其几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离,否则无几何意义. 2.与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据) 设 A(x1,y1),B(x2,y2). p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= . 4 (2)|AB|=x1+x2+p= 2p (θ 为 AB 的倾 sin2θ 斜角).

1 1 2 (3) + 为定值 . |AF| |BF| p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. [做一做] 3.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点, 5 |AF|= x0,则 x0=( 4 A.4 C.1 ) B.2 D.8

1 ? 解析:选 C.如图,F? ?4,0?,过 A 作 AA′⊥准线 l,∴|AF|=|AA′|, 5 p 1 ∴ x0=x0+ =x0+ , 4 2 4 ∴x0=1. 4.动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相 等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. 答案:y2=4x

考点一__抛物线的定义及其应用________________ (1)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P → → 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( 7 A. 2 5 B. 2 )

C.3 D.2 (2)(2015· 长春市调研)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,则抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )

3 5 A. 5 11 C. 5 → → [解析] (1)∵FP=4FQ,

B.2 D.3

|PQ| 3 → → ∴|FP|=4|FQ|,∴ = .如图,过 Q 作 QQ′⊥l,垂足为 Q′,设 |PF| 4 l 与 x 轴的交点为 A,则|AF|=4, ∴ |PQ| |QQ′| 3 = = , |PF| |AF| 4

∴|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3, 故选 C. (2)由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点 F 为(1,0),则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|, 则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值即为焦点 F 到直线 l1: |4-0+6| 4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是 =2. 5 [答案] (1)C (2)B [规律方法] 利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距 离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线 焦点弦有关问题的有效途径. 1.(1)(2015· 云南省统一检测)设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交 于 A、B 两点,那么抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心 (2)(2015· 浙江杭州模拟)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d, 7 且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A( ,4),则|PA|+|PM|的最小值是( 2 7 A. 2 9 C. 2 B.4 D.5 )

解析:(1)选 B.设圆心为 M,过点 A、B、M 作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1、B1、M1, 1 则|MM1|= (|AA1|+|BB1|). 由抛物线定义可知|BF|=|BB1|, |AF|=|AA1|, 所以|AB|=|BB1|+|AA1|, 2 1 |MM1|= |AB|,即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径,故以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 2 相切. 1 1 (2)选 C.抛物线焦点 F( ,0),准线 x=- ,如图,延长 PM 交准线于 N,由抛物线定义 2 2 得|PF|=|PN|, 1 1 ∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5, 而|MN|= , ∴|PA|+|PM|≥5- = 2 2

9 ,当且仅当 A,P,F 三点共线时,取“=”号,此时,点 P 位于抛物线上,∴|PA|+|PM| 2 9 的最小值为 . 2

考点二__抛物线的标准方程及性质(高频考点)____ 抛物线的标准方程及性质是高考的热点,考查时多以选择题、填空题形式出现,个别高 考题有一定难度,高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度: (1)求抛物线方程; (2)由已知求参数 p; (3)与其它知识交汇求解综合问题. (1)(2015· 昆明三中、玉溪一中统考)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,O 为坐 标原点,M 为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO 的面积为 4 3,则抛物线方程为( ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x 15 D.y2= x 2

x2 y2 (2)(2015· 山东德州模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2= a b 2px(p>0)分别交于 O,A,B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积 为 3,则 p=( A.1 C.2 ) 3 B. 2 D.3

p p 3p [解析] (1)依题意,设 M(x,y),|OF|= ,所以|MF|=2p,x+ =2p,x= ,y= 3p, 2 2 2 1 p 又△MFO 的面积为 4 3,所以 × × 3p=4 3,解得 p=4,所以抛物线方程为 y2=8x. 2 2 b (2)双曲线的渐近线方程为 y=± x, a 因为双曲线的离心率为 2, 所以 b2 b 1+ 2=2, = 3. a a

?y= 3x, 由? 2 ?y =2px,

?x=0 ? 解得? 或 ? ?y=0

?x= 3 , ? 2 3p ?y= 3 .

2p

1 2 3p 2p 由曲线的对称性及△AOB 的面积得,2× × × = 3, 2 3 3 9 3 3 解得 p2= ,p= (p=- 舍去).故选 B. 4 2 2 [答案] (1)B (2)B [规律方法] (1)求抛物线的标准方程的方法: ①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件确定 p 值即可. ②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. (2)确定及应用抛物线性质的技巧: ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、 准线等性质时, 关键是将抛物线方程化成标准方 程. ②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解. 2.(1)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x (2)抛物线的顶点在原点, 对称轴为 y 轴, 它与圆 x2+y2=9 相交, 公共弦 MN 的长为 2 5, 求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. 解析:(1)选 C.设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N. p ? 由 y2=2px,F? ?2,0?,

?x0+p ? 2 y0?. ∴N 点的坐标为? ? 2 ,2?
p 由抛物线的定义知,x0+ =5, 2 p ∴x0=5- . 2 ∴y0= ∵|AN|= p 5- ?. 2p? ? 2? |MF| 5 25 = ,∴|AN|2= . 2 2 4

2 ?x0+p?2 y0 25 2? +? -2? = . ∴? ?2 ? 4 ? 2 ?



?5-p+p? ? 2 2?
4

2

+?

? ? ?

p? 2p? ?5-2? 2

?2 25 ?= . 4 -2? ?



p? 2p? ?5-2? 2

-2=0.

整理得 p2-10p+16=0. 解得 p=2 或 p=8. ∴抛物线方程为 y2=4x 或 y2=16x. (2)解:由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则|MA|=|AN|,且 AN= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-( 5)2=2, ∴N( 5,±2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± , 2 5 5 故抛物线的方程为 x2= y 或 x2=- y. 2 2 5? 5 5 抛物线 x2= y 的焦点坐标为? ?0,8?,准线方程为 y=-8. 2 5? 5 5 抛物线 x2=- y 的焦点坐标为? ?0,-8?,准线方程为 y=8. 2 考点三__直线与抛物线的位置关系______________ (1)(2014· 高考辽宁卷)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 3

(2)(2014· 高考四川卷)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 → → 的两侧,OA·OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( A.2 17 2 C. 8 B.3 D. 10 )

p p [解析] (1)抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=- ,而点 A(-2,3)在准线上,所以- = 2 2 -2,即 p=4,从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2= k k 1 8x,得 y2-y+2k+3=0(k≠0)①,由于Δ=1-4× (2k+3)=0,所以 k=-2 或 k= . 8 8 2 1 1 因为切点在第一象限,所以 k= .将 k= 代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8, 2 2

8 4 所以点 B 的坐标为(8,8),所以直线 BF 的斜率为 = . 6 3 (2)设直线 AB 的方程为 x=ny+m(如图), → → A(x1,y1),B(x2,y2),∵OA·OB=2, ∴x1x2+y1y2=2. 2 又 y2 1=x1,y2=x2, ∴y1y2=-2.
2 ? ?y =x, ? 联立 得 y2-ny-m=0, ?x=ny+m, ?

∴y1y2=-m=-2,

∴m=2,即点 M(2,0). 又 S△ABO=S△AMO+S△BMO 1 1 = |OM||y1|+ |OM||y2|=y1-y2, 2 2 1 1 S△AFO= |OF|·|y1|= y1, 2 8 1 ∴S△ABO+S△AFO=y1-y2+ y1 8 9 2 = y1+ ≥2 8 y1 9 2 y · =3, 8 1 y1

4 当且仅当 y1= 时,等号成立. 3 [答案] (1)D (2)B [规律方法] (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般 要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦 点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似, 一般是联立两曲线方程, 但涉及抛物线的弦长、 中点、 距离等问题时, 要注意“设而不求”、 “整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用. 3.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 5

解:(1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p×1,

所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,
?y=-2x+t, ? 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ?y =4x, ?

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= |-t| 5 可得 = , 5 5 解得 t=± 1. 1 ? ? 1 ? 因为-1?? ?-2,+∞?,1∈?-2,+∞?, 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 5 , 5

考题溯源——抛物线方程的应用 (2012· 高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________m.

[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2, -2),将其坐标代入 x2=-2py,得 p=1. ∴x2=-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x2=-2y, 得 x2 0=6, ∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m. [答案] 2 6 [考题溯源] 本考题就是教材人教 A 版选修 21 P74 习题 A 组 T8 原题. 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度 为 20 米,拱顶距水面 6 米,桥墩高出水面 4 米,现有一货船欲过此桥孔,该货船水下宽度 不超过 18 米,目前吃水线上部分中央船体高 5 米,宽 16 米,且该货船在现在状况下还 可多装 1 000 吨货物,但每多装 150 吨货物,船体吃水线就要上升 0.04 米,若不考虑水下深 度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔,为什么? 解:建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2,由题意知点 A(10,-2)在抛

1 1 物线上,代入方程求解,得 a=- ,方程即为 y=- x2. 50 50 1 让船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时,y=- ×82=-1.28,此时抛物线上的 50 点 B 距离水面-1.28+6=4.72(米), 又船体水面以上高度为 5 米, 所以无法通过; 又 5-4.72 =0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1 050 吨,故至少应再装 1 050 吨货物才能通过,而现 在只能多装 1 000 吨,故无法通过,只能等到水位下降.

1.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则抛物线 mx2=ny 的焦点 坐标是( ) 1 A.(0, ) 2 1 C.(0, ) 4 1 =2y,其焦点坐标为(0, ). 2 2.已知抛物线 C 与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C 的方 程是( ) A.y2=± 2 2x B.y2=± 2x 2 2 C.y =± 4x D.y =± 4 2x 解析:选 D.因为双曲线的焦点为(- 2,0),( 2,0). p 设抛物线方程为 y2=± 2px(p>0),则 = 2,所以 p=2 2,所以抛物线方程为 y2=± 4 2 2 x. 3.(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的 直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( ) A. 30 3 B.6 1 B.( ,0) 2 1 D.( ,0) 4

解析:选 A.由题意知,2n=m+m+n 且 n2=m· mn,解得 m=2,n=4,故抛物线为 x2

C.12 D.7 3 2 解析:选 C.∵F 为抛物线 C:y =3x 的焦点, 3 ? ∴F? ?4,0?, 3? 3 3 ∴AB 的方程为 y-0=tan 30°? ?x-4?,即 y= 3 x- 4 . y =3x, ? ? 1 2 7 3 联立? 3 3 得3x -2x+16=0. ?y= 3 x- 4 , ?
2

7 - 2 21 21 ∴x1+x2=- = ,即 xA+xB= . 1 2 2 3 由于|AB|=xA+xB+p,所以|AB|= 21 3 + =12. 2 2

4.已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M, 与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( ) A.2∶ 5 C.1∶ 5 B.1∶2 D.1∶3

1 1 解析:选 C.直线 FA:y=- x+1,与 x2=4y 联立,得 xM= 5-1,直线 FA:y=- x 2 2 +1,与 y=-1 联立,得 N(4,-1),由三角形相似知 |FM| xM 1 = = . |MN| 4-xM 5

5.(2015· 衡水中学调研)已知等边△ABF 的顶点 F 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点, 顶点 B 在抛物线的准线 l 上且 AB⊥l,则点 A 的位置( ) A.在 C1 开口内 B.在 C1 上 C.在 C1 开口外 D.与 p 值有关 p p 3p 解析:选 B.设 B(- ,m),由已知有 AB 中点的横坐标为 ,则 A( ,m),△ABF 是边 2 2 2 长|AB|=2p 的等边三角形,即|AF|= 3p p ( - )2+m2=2p,∴p2+m2=4p2,∴m=± 3p, 2 2

3p ∴A( ,± 3p),代入 y2=2px 中,得点 A 在抛物线上,故选 B. 2 6.(2015· 四川资阳模拟)顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(-4,-2)的抛物线 方程是________. 解析:设抛物线方程为 x2=my,将点 P(-4,-2)代入 x2=my,得 m=-8. 所以抛物线方程是 x2=-8y. 答案:x2=-8y 7.(2015· 厦门质检)已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,且点 P 到 y 轴的距离与其到焦点的距 1 离之比为 ,则点 P 到 x 轴的距离为________. 2 解析:设点 P 的坐标为(xP,yP),抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,根据抛物线的定 xP 1 义,点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离,故 = ,解得 xP=1, xP-(-1) 2
2 ∴yP =4,∴|yP|=2. 答案:2 8. (2015· 兰州市、 张掖市联考)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛 物线及其准线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

解析:分别过点 A、B 作准线的垂线 AE、BD,分别交准线于点 E、 D,则|BF|=|BD|,∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BD|, ∴∠BCD=30°,又∵|AE|=|AF|=3, 3 ∴|AC|=6,即点 F 是 AC 的中点,根据题意得 p= ,∴抛物线的方 2 程是 y2=3x. 答案:y2=3x x2 y2 9.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲 a b 3 线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( , 6),求抛物线与双曲线的方程. 2 解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c. 设抛物线方程为 y2=4c· x, 3 ∵抛物线过点( , 6), 2 3 ∴6=4c· , 2 ∴c=1, 故抛物线方程为 y2=4x. x2 y2 3 又双曲线 2- 2=1 过点( , 6), a b 2 ∴ ∴ 9 6 - =1.又 a2+b2=c2=1, 4a2 b2 9 6 - =1. 4a2 1-a2

1 ∴a2= 或 a2=9(舍去). 4 3 ∴b2= , 4 4y2 故双曲线方程为 4x2- =1. 3 10.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方 的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程; (2)若过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标.

p 解:(1)抛物线 y2=2px 的准线为 x=- , 2 p 于是 4+ =5, 2 ∴p=2. ∴抛物线方程为 y2=4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2). 4 又∵F(1,0),∴kFA= , 3 3 ∵MN⊥FA,∴kMN=- . 4 4 又 FA 的方程为 y= (x-1),① 3 3 MN 的方程为 y-2=- x,② 4 8 4 联立①②,解得 x= ,y= , 5 5 8 4? ∴N 的坐标为? ?5,5?. 1.(2015· 河南郑州模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1 的直线交抛 物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 p 解析:选 C.由题意可设直线方程为 y=-(x- ), 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), p ? ?y=-(x-2), 联立方程?

?y2=2px, ?

整理得 y2+2py-p2=0, ∴y1+y2=-2p. ∵线段 AB 的中点的纵坐标为-2, ∴ -2p =-2.∴p=2. 2

∴抛物线的准线方程为 x=-1. 2.(2015· 江西上饶模拟)过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作直线 AB,CD 与抛物线交于 A,B, → → → → C,D 四点,且 AB⊥CD,则FA·FB+FC·FD的最大值等于( A.-4 C.4 B.-16 D.-8 )

→ → → → 解析:选 B.依题意可得,FA·FB=-(|FA|·|FB|).

→ → 又因为|FA|=yA+1,|FB|=yB+1, → → 所以FA·FB=-(yAyB+yA+yB+1). 设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k≠0), 联立 x2=4y,可得 x2-4kx-4=0, 所以 xA+xB=4k,xAxB=-4. 所以 yAyB=1,yA+yB=4k2+2. → → 所以FA·FB=-(4k2+4). 4 → → 同理FC·FD=-( 2+4). k 4 → → → → 所以FA·FB+FC·FD=-(4k2+ 2+8)≤-16. k 当且仅当 k=± 1 时等号成立. 3.(2015· 山西省忻州市联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2 =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 ________. 解析:由题意知,圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,抛物线的焦点为 F(1, 0),根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17- 1. 答案: 17-1 4.已知抛物线 x2=2y,过抛物线的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 P,Q 两点,过 P,Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 1 解析:由 x2=2y,得 y= x2,∴y′=x.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),∴抛物线在 P,Q 两点 2 处的切线的斜率分别为 x1,x2,∴过点 P 的抛物线的切线方程为 y-y1=x1(x-x1),又 x2 1= x2 x2 1 2 2y1,∴切线方程为 y=x1x- ,同理可得过点 Q 的切线方程为 y=x2x- ,两切线方程联立 2 2 x ?x =x + 2 解得? . xx ?y = 2
1 2 A A 1 2

1 又抛物线焦点 F 的坐标为(0, ),易知直线 l 的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y=mx 2 1 ? ?y=mx+2 1 1 + ,由? ,得 x2-2mx-1=0,所以 x1x2=-1,所以 yA=- . 2 2 ?x2=2y ? 1 答案:- 2 5.(2015· 厦门模拟) 如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1, 2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2=4x,准 线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB,则 kPA= y1-2 y2-2 (x1≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 x2-1 2

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 1=4x1,① 2 y2=4x2,② ∴ y1-2 y2-2 =- , 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

∴y1+2=-(y2+2). ∴y1+y2=-4. 2 由①-②得,y2 1-y2=4(x1-x2), ∴kAB= y1-y2 4 = =-1. x1-x2 y1+y2

6.(选做题)(2015· 吉林长春调研)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且 斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. (1)求抛物线 C 的方程; → → (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线,且 l∥MN,P 为 l 上一点,求PM·PN的最小值. p 解:(1)由题可知 F( ,0), 2 p 则该直线方程为 y=x- , 2 p2 代入 y2=2px(p>0),得 x2-3px+ =0. 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则有 x1+x2=3p. ∵|MN|=8, ∴x1+x2+p=8,即 3p+p=8,解得 p=2, ∴抛物线的方程为 y2=4x.

(2)设直线 l 的方程为 y=x+b,代入 y2=4x,得 x2+(2b-4)x+b2=0. ∵l 为抛物线 C 的切线,∴Δ=0,解得 b=1. ∴l 的方程为 y=x+1. → → 设 P(m,m+1),则PM=(x1-m,y1-(m+1)),PN=(x2-m,y2-(m+1)), → → ∴PM·PN=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)] =x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. 由(1)可知:x1+x2=6,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4. 2 ∵y1 -y2 2=4(x1-x2), x1-x2 ∴y1+y2=4 =4, y1-y2 → → ∴PM·PN=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2 =2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14, → → 当且仅当 m=2,即点 P 的坐标为(2,3)时,PM·PN的最小值为-14.


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