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用待定系数法求递推数列的通项公式


用 待 定 系数 法 求 递 推 数 列 的 通 项 公 式
河 南 省 鹤 壁市 高 中数 学 组 王
,

鸿
2


由数 列 的递 推 关系 式 求 通 项 公 式是数 学 竞 赛 中 常 见 的 问 题 其 主 耍解 法有 观 察 法 迭 加 法 ‘ 元 抹 迭 代归 纳 法 特 征 根 法 等 这 换
、 、
. .

:



这样 一 2气 尸

5 /


1



”一




5
,



下 气了)



=



. ‘

些 方 法都 有 一 定 的 局 限 性 或学 生 难 以 接受 等

( 匀


一;



, 2

〔N



缺 陷 笔 者在 历 年 辅 导 数 学 竞赛 过程 中 总 结 出 一 种既 具有 普遍 性 又 易 于 学生 接受 的 方
法一
,


,

,

这类 间 题 最 常 见 而 这 种 方 法 简 便迅 捷 易 于接受
.



,

一 用待 定 系 数 法求 递 推教 列 的 通 项 公 式 使 用 这 种 方 法将数列钓 递推 关 系 式分 为
几 类 简 单 易行 覆 盖 面 广 式 都能 得 以解 决
.





二 型 如 a = 招卜 + f (。 ) ( 沪 0 的 多 项 式 函 数 j的 递推 关 系 式
、 。

,



,

f (。 )
,

,

,

,

,

大 多数 递推关 系
J

同 类 型 一的 方 法 多 设 几 个待 定 系 数 下 面 举 例说 明
.

,





型如

a

:

二 。a

:

_ :

+

(c 砖 乃



e

子工 )




+ 3
.

2

已知
2
,

a

.

,



1

,

a



=

3a 卜 : + 2 怜

一2

,

递 推关 系 式



>



a

在 递 推关 系 式 两 端 同 加 上待 定系 数 A
a


+

A

=

a c
A

二 _

1

+

J

+

A

解 将 递 推式 两 端 同 加 上 A 矿 + 孤 十 口 : , a + A 矿 + B n + 口 = 3 (‘ + 整理 得


,









一 (
.

主 拱专 )
,

A

倪2



B”

+

C


+

2

”2



九 夕 十 只

3

令月二
A

动十A


令 解出 A 此 时 数 列扣
,

A (。

〕 “十 B )

、、



) 1
C
+

+ C
宁 临2 一

+

且n

Z

+

B

扎+

2九 十 3

}是 等 比 数 列 可 解
,

3
,

例1
2)
,

已知
.

a : =

1






A







+




(牡 ‘

比 较 两端 同 次 项 系 数 得
、 j e s l 乙
, . ‘ .r

A



望止兰
3
+



a




a


在 递 推关 系 式 两 端 同加 上






ZA

B



B



2





=

{

万心

一 :

1 ‘

3





A



B




=

=

C




3
2 口二 3

.

3
、 解 之得 A

1

丑二
1)

?

. , a ( 音
+



‘十

这样

,

a





价 十 2。 十 3
(


=

3

a 〔

。_

,



(,



1

广

+

2

”一

+

3〕 3

1 7 一

a 将数 列 丈

。 十 。“ + 艺 +
,

} 看作 以 7 为首
n 3
一 ‘.

A
,

令A



解得

A

=

2


项 公比 为
,

3


的 等 比数 列

?







1

则 故




a




十 2。十 3 “
” ~

7

?



7 3
a
.





价 一 2二 一 3
_

,



〔N

.

1


气 一 下 二 万妙 一 ’ 数

下)

2 、

型如



=

e 份。

:

+

b g
?

” 一



十‘

) (c 沪 。



补 书
.



是 首项为



,

公 比为



的 递 推关系 式 在 关系 式 两 端 同加 上
a


A尹

+

及 则有

+

A坚
一,
.



+


b扩
一 ’

等 比数 列

。 = ca





苗十 A 扩 十 B
.

29



二 。






Aq



A 口十 b


d + B 、
q






- 份尸 - ,
.




2

+ e

x

无 一 ‘:



0

?

.

,

) l
。, +

若 此 方程有 等 根
云 产
a

一_

k。

,

则由
,
一 :

令A
解出 例
7
,

+

b
.

B

=

‘十 B
c

,


+

(


c l+
,

。 a 无) (


a :

. 无a

。一

:

)
,

吐 B

即可
, ‘.

数列 {
5气
_



, ,

。 a

}为 首 项 是
.





a ,



3
2 )
,

已知

a : 二

2

,

a

,



:



‘ 3 2卜 十
?

比为

。,

+

希 的 等 比 数列
a
:

( >



,

a

即有
=

,

:

+ +

k oa
k
o

,

(a :

a

,

解 则

=

将 递 推 关系 式 两 端 加 上 A 2
a

?






B


。 ) (c l 干无 )
,



一1
.

,

+

A
?

?

2
+





B



5 0 卜:

,

卜3

?

2卜





A 2
.



B


上 式 可 变为 类 型 三 的形 式 可 解 , ) 2 若 此 方程 有 两 个不 等根 舌 希:
,

,


5


a

A

?

2

+

B
5
2


此 时 (哟 式 变 为
a
一1


:

+ +

孟。
k
:

:

,

_ :

= =

(一
ZA


+ ZA + 3

+

B

+

7

(

e: +

: 无 ) (a : 希 ) (a

”_

,

+ +

希“ k沙
: a
:

:

。 一:

)
)

,

a



a

:

_ : *

5

(。: 孟
; a
:

+



_ ;



一:

令 且= 解得


3

B



.

5




些二
5

数 列王
数列 即有
=

a



:

+

}及 {


a

:



‘+



}是等 比

a

A
+

1


B
+



7 ’ 4 一


叶:
a : +
,

+

k

:

a

(
:

k

: a , :

) (e

:

:

+


无)
, :



一i




2

一 母 (
?

5

+

2



+

) 备

.

a

,

十;

+

份a

=
,

(a

无 a ) (c
。,

+

弄)
2

”一

‘,



》2

.

加减消 元 法 消 去 a 即 可 解 出通 项 公 a , a: 最 后检 验 也 符 合 该通 项 公 式
,
.

数列


,

: 氏 + 2



可 粤〕看 作 首项 为 琴 公

J

,


a :

4
a


4

=


1

,

= a

比 为 5 的 等比数 列

.

(非 波 那 契数 列 ) 已知 _ , 十a _ : (。 二 3 4 5 .
。 。 ,
,

:
?

a : 二
,



…) 求
。一 ,

a

n

这样

a



+

2


, ,



一 4

7



4 哭

?

d 从 一


a

将 递 推 关 系式 两 端 同 加 上 初
“ 心

?

一誓
说明

:

5卜



2



一 备
,

〔‘

?




,

(1

“ 、( 一 n a


+




=

a

。 一

:

)

.

扮 这 一 类型 中
J
_ 一

a



=

a c



_

L

+





~ 工



.

如果 ‘肠
,

=

0


= 令 凡

丁 芍 ;

.

,

左一 I

0

.

,

等 式 两 端同 除 以 犷
a
” _

JF

这样
竺共 这
,

就有

l



n



一 q

q

“一

1

+
.

b

_

一 a
ea
二_

论 B

-



=

解 得 希二
则有
f
\

l 士 训了








/



就 化 成 了 类 型 一 的形 式

如 果出 现 ?: f ( 川 是 的 多项 式 合 即可
.

2)

,

a
,

:

f( ) 将 二 三 类 型 解 法 相结
=
,

+

b 夕
?



+



,

切n 个

万一

1

_
n _

_


1

+



/

5



_
一 1

.

厄切 n
;

r -

了了一


1





,

一伪



切n

一2


?


c:



型如

a



二 e

a

n

_



+

e : a

。_

:

(
_



>

3

,



) 0 的 递推 关 系 式

上 “了 一


1 + v/ 5




_
了 _ 乙

_
1

!

一 、/

将 递 推 关 系 式 两 端 同 加 上 无“
a
了 2



:
,

——
5
_

一“



(

a





-


_

l 十



a 无 a


。 _



二 c

上a

月 _

,

: 千 c: 。

_

:

+

a 无



,

,


=

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无气
十 ‘)
C
c
:
,

_ ,

/

C。


\
一“



“‘

妒一
,



百丁了 心
:

)





(. )


训了 +
2
1
,

叻刀

_ 竺

。 数歹知







萝2二

a

。_

,

下是

首项 为
.

令 几二






整理 得

公 比 为匕二卫 的 等 比 数 列

数列

30

.

‘ J‘ 了

l

引 一
匕 为
j一

?

共肠
侧 万的
2
a
了 ?





}
a

是首



了一


2

5

a





A



b
d

a a

,

_ ,
_ 1

+



,

十 ‘

+

A


c +



等 比数 列 ( > 2 )
,

.

=

(b

+

AJ)
=

?


,

一 :


,

万 币7 下
一 1

.

Ja

十 。


一。

‘ 仆

:

己 匕号


”一

令A
= 0,

e + e

A

,

b十 Ad

: 即 有 J A Z + (b

)注

一 c

迈事 ( ) 卑 二 (粤 ) ”
?




? ?



) i
? ?

若 此 方 程有等 根
?

A
a

。,
:

则有
+

” _

=





’ 一

?

?

??

?

?

i ; .


……

“’

a

+ “, 二

“+ 及, 。 ) ‘

A
:



丁 蔺不 浦
_



a

:



匕三里
2
.

。。

_ ,

变 倒数有


。 b+ 月 d

d

a

,

_

+ 沙

a






_
。 一

气 l +



a
。 _




1 区 畏华 (二雀 )




? ? ?

即有


r . (





l

a

:

+

A

o

。 b十 A “

+



1





?

( 俘) 爪
(1 )
.



?

? ? ? ??

?

?

?

? ? ?

? ?

? ?

? ? ? ??

(2 )
,

这 已 化 为 类型 一 可 解 出 ,
(2 ) 训 5
2


一—
o


r

弓a




.
,

匕 卫十 二
l r
l +


一 了

进 干共不 而 点
幼” 宁
o J



消 去气

_

,

解出

a

n



i )
了 1


后整 理 得
1

,


若此 方 程 有 两不 等 根
1

A

上、

且,

,

可得



= ~ 勺 二叫 .

V



S L、



>

2

.

检验 尹=
:

1

— 一


2

了、 .
/

训 言丫 1
,
,

一 恤 、

. J

介“
{


=

(“

) d “l 翁
a
”_

。。 +

A

Z



: (。 十 “ ‘ )


1

+

A


:

以a
a
,

。_

:

决 已
_
.

时有
.

a ‘=

, ]

故 上 式就 是 所 求


数 列 的通 项 公 式 a 二 c : a 说 明 1 ) 如 果有 f (叼 f (川 是 多 项 式 或 指 数 式 。 方 法 结合 使 用 就 可 求 出
” ,
,

相 除得
_ :

+

A
A
1 ,

t

_

I b+ A J

ao
a
。 一

l

+


?

连z

a
_

,

+
.

:

b

+
_

A J
:
_

:

江:
,

_ :

+

。: o



+



,

,

可 将前 几 类
,

g 一一 数 夕 了 十气 么 十 寺 比 数 夕U 可 解其 通 项 是 “
J
,

_

.

a 「



A



,

.

~

_

_

.

L





J



,

= + + 如 果有 的 形式 或 更 多 项 出 现 可 按同 类 方 法 解之 ; a 十无 尹 2 将此 类 关系 式 加 上 叭 : : a : 十 十 后a 孟 尹 即

2)

a



。: a
,

二 _

:

e:a

_ :

e s。 。 _ s
.

进而 解 出 例
5

a

。 。

己知

a , =



,

a

a




_ 1
二_

=

一 2
l

,



Za

+

5

>

2

,

。 _

,

_



a



.



,

_

.

二 _


口” +

递推 关系 式 两 端 同 加 上
a
,

A





(

。: +

‘)
:

(
a




口,



:






_

,

饰不百
肠。
_ 3

一:



?



= 气犷罗一一一尸 下 十 乙“ ” 一 工 十 。



,



令 叭

:
,




口二 卜 左 1
。: +
(, :


/

、 刀

SA 一 2



-

a

,

+

A

=

(1

+

ZA

)

?







+
,

获 下了
+

k

:

艺a


_ r

5


+

为,

k

:

C

+


.

l

解出 希

、、


A
=

A

=

SA 一 2
ZA 十 1
a




ZA



4注

+

2

O

,



这 样 就 可 将 阿题 化 为 第 四 类 型



药 “ 纽





b




,,

_

:

十 ‘

.

,

不币不

又 落 娜 子‘“ ‘ 沪

,

, 0

1

,

这样有

+ 1 =

. 3

a

,

_

I
_

十 ,
:



。二

+
_


5
,







> 2 的 递推 关系 式 )

,

将递 推关 系 式两 端 同加 上 待 定 系 数

A

变 倒数有

2 (a




+

1

、+

3

a



1

a

_ l

+

1

.

31

1
吕二




2

a




l + +
_ 1

?

_

飞一

粤的等 差 数 列 石


一 {韶 }
a
” _

l

+

l



a

:

~ 嗯

不 2 丁 万二 训 了

( 只一 训 了 泛


a


+ 亿

,

这 样数 列


,

是首 项 为




公差 为
1 一


数列


{会号}是 首 帅


a

,

+ 亿

a



一 亿

公比 为
.

.

夕一




,


.


a


+

1



— 8

十 欠 二一 土 ] 了

— 3

2

=

I B们

1

3




(:

训 了)饭 “了 名




,



冬 的等 比 数 列

.

艺哇


〔N

设a 且
a


a









,

,

贝。 。





,



一 亿

( ) 李 今





一 ‘ ,





,

_

3 7 一 16 牡 1

6” 一

13

此 即 为所 求数 列 的 通 项



b
b

,

+

1

,

一 1


,

公式

.


6
a



6
n

气 数列 义 } 满 足
十 2 一
a


这 样a
〔N 求
,

, 。。 ,

一 a

‘。;

( 勃 事


-

=

_

_

一_

+ z

=

了了

3 )



a , 。 , 。

一a

‘。,

1一

2 丈



舜事 习
土 1

0 00



_ ‘

,
-

本 题 虽 然 没 有 首项
法 来计 算
,

a

,

的 值 仍 按同 样 方
.



递 推 关 系 式 两端 同 加 上 A
,

+ n a

1 「







二生些二二毛

,

+



叹 宁 合 “ ( 告 令
1



、 . 、 厂

4

n U 内





, 万 6了一一 亿



,



2 (
A


a



气 一 2
“九 十


2

3 )
.

3 仁退
\


10 , 口





训 了+ 且 一
2 (
(2
一 一

万)




训了 一 又了


饭丫


。 。





训 了 )A 」
2 一
1 一

〕一

训万)且 “
且2
3 夕

侧 3
:

_

‘。 。


1

1 一
,

a

f全 三 二丫
\


。”

.



Z /

.



=

训了 十 A 解得 (艺 一 训 万 ) 汪
-

:

吼0



1 气0



0

.

=



, 1

左 二 士店
1 !1 厂 | 少a 从
1护

上 面 就是 用 待定系 数法 解 递推 关 系 式 的 JL 种 基 本类 型 如 果 把 儿 类 问 题 的解 法 结 合
.

l

二 咨 几 十 , 几+

= 一 马 十 乞

1 「



( 2
a





、/

万 )德j

起来

就 更 具 有普 遍 意 义 其 重 要性 在 于 提 供 了 解数 列 递推 关 系 式 的 通 法 这 种方 法直
,

,

.

戒 宁

1 一
? 川
” 甘 d

a



、: 一

训了 )
、/

接 易 行 便 于 掌握
.

,

.

它 可 以 引 起 学生 兴 趣 树
, ,
,

,

=

i 〔+ (2一
a
.

」 了 )店
3 )

一 伏

]



a

,

、2 一



立 自信 心 从 实 践 情 况 来 看 收 效 甚 佳 学 过 这 种 方 法 后 许 多学 生 反 映 在 练 习 或 竞赛 中 感 到 最 有 把握 的题就 是 递 推 关 系 式 间题 从 成 绩 看 在 练 习 或竞赛 中解 递推 关系 式 间 题
,
.

,

相 除得

成 功率 很 高

.

(

_

匕接第 3 页 ) 4



一 夕
,

五。 A P
,

I



,



人K

.

证毕
,

, 以 口< 夕 + A <

所以

si

n o < si n
,

(0
,

+ ,

A )
l

,

1 理可 证得 司
、i 。

si n
,

o<

si n

: ( 口+ A )



in o <

( 夕+ A

m

) 所以


~ 不尸

(

一 1
,

)
n

, s i

n

至 此 这 类 问 题 看 来 己 完全 解 决 其 实 还 : 有 一个 同题 有待 解 决 那 就 是 命 题 中 0 的取 值范 围是 否 是 命 题 成 立的 充 要 条 件 ? 如 果 不
,

价夕


n

‘二 1


si

‘ (0+ A )



< 1

是 那 命 题 成 立 的充 要条件 又 是 什么 ? 希望 有
,

心 的 读 者能 解 决 这 个 问题

.


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